DSP 期末考试速查

本页是把 11 章笔记按考试使用频率重新排列的精简版。考场翻到这一页，先确认题型属于哪一类，再按流程写答案。

1. 题型 → 章节速查表

题干关键词	章节	核心操作
real sequence DFT、conjugate symmetry、odd/even DFT	ch5	$X[k]=X^*[\langle-k\rangle_N]$
DIT-FFT、bit reversal、butterfly、复乘复加	ch5+ch11	$N/2\cdot\log_2 N$ 复乘，DIT 输入比特反转
DFT length change、zero padding、repeat、upsample	ch5	补零→更密采样DTFT；重复→奇数bin为零；插零→频谱压缩+镜像
sampling、aliasing、reconstruction、$(-1)^n$	ch3	$\omega=\Omega T=2\pi f/F_s$；$(-1)^n=e^{j\pi n}$ 平移 $\pi$
linear、time-invariant、causal、stable	ch4	按定义证明
cascade、parallel、overall response	ch4	级联 $H=H_1H_2$；并联 $H=H_1+H_2$
input/output spectrum、system identification	ch4	$H=Y/X$ 只在 $X\ne0$ 频率可确定；$\delta[n]$ 最佳
$H(z)$、ROC、pole-zero、difference equation	ch6	差分方程 $\leftrightarrow H(z) \leftrightarrow h[n]$；因果 ROC 在最外极点外
Direct Form II、canonical structure	ch8	分母反馈 $-a_k$、分子前馈 $b_k$ 共用延时链
linear phase FIR Type I–IV	ch7	对称/反对称 + 长度奇偶
minimum phase、maximum phase、allpass、equalizer	ch7	单位圆外零点倒共轭 $1/z_0^*$ 进单位圆
Butterworth、bilinear transform、prewarping	ch9	$\Omega=\frac{2}{T}\tan(\omega/2)$；阶数向上取整
window method、Hamming/Hann/Blackman	ch10	指标→$\omega_c$→选窗→算阶数→$h[n]=h_d[n-\alpha]w[n]$
fewest multipliers、linear phase structure	ch8+ch10	对称先加再乘

2. 频率换算三件套

$$\boxed{\omega=\Omega T=\frac{2\pi f}{F_s}}$$

已知	求	公式
Hz $f$	数字频率 $\omega$	$\omega=2\pi f/F_s$
数字频率 $\omega$	Hz $f$	$f=\omega F_s/(2\pi)$
模拟角频率 $\Omega$	数字频率 $\omega$	$\omega=\Omega T$
DFT bin $k$	Hz $f_k$	$f_k=kF_s/N$（$k\le N/2$）；$f_k=(k-N)F_s/N$（$k>N/2$）
$f=F_s/2$	$\omega$	$\omega=\pi$（Nyquist）

⚠️ 考场第一件事： 看题目给的频率单位。给 Hz 先换 $\omega$，给 kHz 先除 1000。

3. DFT / FFT 核心公式

3.1 DFT 定义

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn},\quad W_N=e^{-j2\pi/N}$$ $$x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]W_N^{-kn}$$

⚠️ IDFT 有 $1/N$。考试常见丢分点。

3.2 快速检查公式

检查项	公式
$X[0]$（直流）	$\sum_{n=0}^{N-1}x[n]$
$x[0]$	$\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]$
能量（Parseval）	$\sum\|x[n]\|^2=\frac{1}{N}\sum\|X[k]\|^2$

3.3 实序列 DFT 对称

$$X[k]=X^*[\langle -k\rangle_N]$$

• $X[0]$ 一定实数
• $N$ 偶数时 $X[N/2]$ 一定实数
• 实部偶对称、虚部奇对称、幅度偶对称、相位奇对称

3.4 DFT 性质速查

时域	频域
$x[\langle n-n_0\rangle_N]$	$W_N^{kn_0}X[k]$
$W_N^{-k_0n}x[n]$	$X[\langle k-k_0\rangle_N]$
$(-1)^n x[n]$（$N$ 偶）	$X[\langle k-N/2\rangle_N]$
$Y[k]=(-1)^kX[k]$	$y[n]=x[\langle n-N/2\rangle_N]$

3.5 FFT 复杂度

• 级数：$\log_2 N$
• 复乘：$\frac{N}{2}\log_2 N$
• 复加：$N\log_2 N$
• DIT：输入 bit-reversed，输出 normal
• DIF：输入 normal，输出 bit-reversed

8 点 DIT 输入顺序：$0,4,2,6,1,5,3,7$

3.6 DFT 长度变化

操作	频域效果
末尾补零到 $N'$	DTFT 更密采样，不增加真实分辨率
时域重复成 $2N$ 点	$Y[2k]=2X[k]$，$Y[2k+1]=0$
时域插零（$y[2n]=x[n]$）	$Y[k]=X[k\bmod N]$（频谱压缩+镜像）

4. 采样与恢复

4.1 采样频谱

$$G_p(j\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}G_a(j(\Omega-k\Omega_s))$$

• 幅度有 $1/T$ 因子
• 副本间隔 $\Omega_s=2\pi/T=2\pi F_s$

4.2 Nyquist 条件

$$F_s>2f_m\quad\Longleftrightarrow\quad\Omega_s>2\Omega_m$$

4.3 混叠折回

频率 $f$ 采样后等效为距最近 $kF_s$ 的差：

$$f_{alias}=|f-kF_s|$$

数字频率 $>\pi$ 折回：$\cos(\omega n)=\cos((\omega-2\pi)n)$（$\omega>\pi$ 时）

4.4 重构滤波器

通带增益 $=T$（抵消采样时 $1/T$）

4.5 $(-1)^n$ 频谱搬移

$$(-1)^n=e^{j\pi n},\quad (-1)^n x[n]\leftrightarrow X(e^{j(\omega-\pi)})$$

频谱复用 $y[n]=x_1[n]+(-1)^n x_2[n]$：低频 $x_1$ + 高频搬移的 $x_2$，可用低通/高通分离。

5. Z 变换与系统函数

5.1 常用变换对

序列	Z 变换	ROC
$a^n u[n]$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$\|z\|>\|a\|$
$-a^n u[-n-1]$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$\|z\|<\|a\|$
$\delta[n]$	$1$	全平面

5.2 ROC 判断

序列类型	ROC
右边序列（因果）	最外极点外
左边序列（反因果）	最内极点内
双边序列	极点之间圆环

5.3 因果稳定

• 因果：ROC 在最外极点外
• 稳定：ROC 包含单位圆
• 因果且稳定有理系统：所有极点在单位圆内

5.4 差分方程 → $H(z)$

$$\sum a_k y[n-k]=\sum b_k x[n-k]\quad\Longleftrightarrow\quad H(z)=\frac{\sum b_k z^{-k}}{\sum a_k z^{-k}}$$

⚠️ 反馈项符号：分母 $1+a_1 z^{-1}$ 对应 $y[n]=-a_1 y[n-1]+\cdots$

5.5 频率响应

$$H(e^{j\omega})=H(z)\big|_{z=e^{j\omega}}$$

前提是单位圆在 ROC 中。

6. 系统性质证明模板

线性

1. 设 $x_1\to y_1$，$x_2\to y_2$
2. 令 $x=ax_1+bx_2$
3. 算输出，看是否等于 $ay_1+by_2$

时不变

1. 原输入 $x_1\to y_1$
2. 延迟输入 $x_2[n]=x_1[n-n_0]$
3. 新输出 $y_2[n]$ vs 原输出延迟 $y_1[n-n_0]$

因果

看 $y[n_0]$ 是否依赖 $x[n]$（$n>n_0$）

稳定（LTI）

$$\sum_n |h[n]|<\infty$$

7. 线性相位 FIR 四类型

类型	对称/反对称	长度	强制零点	适合
Type I	对称	奇数	无	低通（首选）
Type II	对称	偶数	$\omega=\pi$	低通（可行）；不做普通高通
Type III	反对称	奇数	$\omega=0,\pi$	Hilbert、微分器
Type IV	反对称	偶数	$\omega=0$	Hilbert、微分器

最小相位构造

零点 $z_0$ 在单位圆外 → 替换为 $1/z_0^*$（倒共轭到单位圆内） → 原系统 = 最小相位 × 全通

均衡器

原系统有单位圆外零点 → 逆系统有单位圆外极点 → 不存在稳定因果逆

8. IIR 滤波器设计（Butterworth + 双线性）

考场完整流程

$$\boxed{ \text{Hz}\xrightarrow{\omega=2\pi f/F_s}\text{数字频率}\xrightarrow{\Omega=\frac{2}{T}\tan(\omega/2)}\text{预畸变}\xrightarrow{\epsilon^2,A^2}\text{阶数}\xrightarrow{\text{BLT}}H(z) }$$

步骤 1： 统一数字频率 $\omega_p=2\pi f_p/F_s$，$\omega_s=2\pi f_s/F_s$

步骤 2： 预畸变 $\Omega_p=\frac{2}{T}\tan(\omega_p/2)$，$\Omega_s=\frac{2}{T}\tan(\omega_s/2)$

步骤 3： dB → 线性

$$\epsilon^2=10^{\alpha_p/10}-1,\quad A^2=10^{\alpha_s/10}$$

步骤 4： Butterworth 阶数（向上取整）

$$N\ge\frac{\log_{10}[(A^2-1)/\epsilon^2]}{2\log_{10}(\Omega_s/\Omega_p)}$$

步骤 5： 截止频率 $\Omega_c=\Omega_p/\epsilon^{1/N}$

步骤 6： 双线性变换 $s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$

⚠️ 常见错：不做预畸变、阶数四舍五入、dB 用 $10\log$ 代替 $20\log$

9. FIR 滤波器设计（窗函数法）

考场完整流程

$$\boxed{ \text{Hz}\to\omega\to\Delta\omega\to\omega_c\to\text{选窗}\to M,N\to h_d[m]\to h[n]=h_d[n-\alpha]w[n] }$$

步骤 1： $\omega_p=2\pi f_p/F_s$，$\omega_s=2\pi f_s/F_s$

步骤 2： $\Delta\omega=\omega_s-\omega_p$，$\omega_c=(\omega_p+\omega_s)/2$

步骤 3： 选窗（阻带衰减 $A=-20\log_{10}\delta$，$\delta=\min(\delta_p,\delta_s)$）

窗	衰减	过渡带宽
Rectangular	~21 dB	$4\pi/N$
Hann	~44 dB	$8\pi/N$
Hamming	~53 dB	$8\pi/N$
Blackman	~74 dB	$12\pi/N$

步骤 4： 估算 $N\approx C\pi/\Delta\omega$，Type I 取奇数 $N$，$M=N-1$，$\alpha=M/2$

步骤 5： 理想低通 $h_d[m]=\frac{\sin(\omega_c m)}{\pi m}$（$m\ne0$），$h_d[0]=\omega_c/\pi$

步骤 6： 加窗 $h[n]=h_d[n-\alpha]w[n]$

步骤 7： 最省乘法结构：对称先加再乘，乘法器数 $\lceil N/2\rceil$

高通 / 带通 / 带阻

• 高通：$h_{HP}[m]=\delta[m]-h_{LP}[m]$
• 带通：$h_{BP}[m]=\frac{\sin(\omega_2 m)-\sin(\omega_1 m)}{\pi m}$
• 带阻：$h_{BS}[m]=\delta[m]-h_{BP}[m]$

10. 滤波器结构

基本构件

构件	符号	作用
延时器	$z^{-1}$	存储一个采样点
乘法器	系数 $a_k$, $b_k$	乘以常数
加法器	$+$	求和

DF-I vs DF-II

特性	DF-I	DF-II
延时链	两条（前馈 + 反馈）	一条（共用 $w[n]$）
延时器数	$M+N$	$\max(M,N)$
别名	—	canonical structure
优先级	概念清晰	考试首选

DF-II 核心方程

$$w[n]=x[n]-\sum_{k=1}^{N}a_k w[n-k]$$ $$y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_k w[n-k]$$

延时器数：$\max(M,N)$（canonical）

⚠️ 反馈来自 $w[n-k]$，不是 $y[n-k]$。

级联 vs 并联

特性	级联 (Cascade)	并联 (Parallel)
系统函数	$H=\prod H_i$（相乘）	$H=C+\sum H_i$（相加）
实现方式	前一节输出接后一节输入	所有支路共用输入，输出相加
展开方法	因式分解	部分分式展开
优点	量化误差可控	各支路独立，易于并行

级联结构步骤：

1. 因式分解 $H(z)=G\prod H_i(z)$
2. 每个 $H_i(z)$ 用一阶或二阶节实现
3. 复共轭极/零点放同一二阶节

并联结构步骤：

1. 部分分式展开 $H(z)=C+\sum H_i(z)$
2. 不要漏掉常数直通项 $C$
3. 每个支路独立实现

FIR 对称省乘法

$$h[n]=h[M-n]\Rightarrow h[n]\{x[k-n]+x[k-M+n]\}$$

先加后乘，乘法器数从 $N$ 降到 $\lceil N/2\rceil$

11. 考场策略

2022–2025 真题分布

年份	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5	Q6
2022	线性相位FIR(ch7)	DFT/FFT(ch5)	采样恢复(ch3)	FIR设计(ch10)	—	—
2023	H(z)零极点(ch6)	DFT对称(ch5)	线性相位FIR设计(ch7)	IIR设计(ch9)	—	—
2024	DFT性质(ch5)	零极点+hn	最小相位(ch7)	FIR设计(ch10)	—	—
2025	采样+$(-1)^n$(ch3)	级联系统(ch4)	系统辨识(ch4)	H(z)+DF-II(ch6+ch8)	DFT长度(ch5)	自选设计(ch9/10)

必考公式 Top 10

1. $\omega=2\pi f/F_s$（频率换算）
2. $X[k]=\sum x[n]W_N^{kn}$（DFT 定义）
3. $X[k]=X^*[\langle -k\rangle_N]$（实序列对称）
4. $\sum|x[n]|^2=\frac{1}{N}\sum|X[k]|^2$（Parseval）
5. $(-1)^n=e^{j\pi n}$（频谱搬移 $\pi$）
6. $a^n u[n]\leftrightarrow 1/(1-az^{-1})$，$|z|>|a|$（Z 变换）
7. $\Omega=\frac{2}{T}\tan(\omega/2)$（预畸变）
8. $N\ge\frac{\log[(A^2-1)/\epsilon^2]}{2\log(\Omega_s/\Omega_p)}$（Butterworth 阶数）
9. $h_d[m]=\sin(\omega_c m)/(\pi m)$（理想低通）
10. $h[n]=h_d[n-\alpha]w[n]$（窗函数法）

时间分配建议（2 小时 / 100 分）

• 每个 Q 约 20–25 分钟
• 先做最熟的题型，拿稳基础分
• 设计题（FIR/IIR）步骤多但套路固定，留足 25 分钟
• 最后检查：频率单位、$1/N$、ROC、阶数取整、对称类型