第1章动态系统、建模与传递函数

学习目标

学完本章后，你应该能做到四件事：

看懂题目中的输入、输出和物理元件，列出微分方程。
在零初始条件下做 Laplace 变换，写出输出/输入的传递函数。
识别一阶、二阶系统的标准形式，读出时间常数、阻尼比和自然频率。
用终值定理求稳态值，并知道什么时候不能用。

本章考试会怎么考

这一章不会只考“什么是动态系统”。更常见的是给一个物理系统或微分方程，让你把它变成传递函数。

题型	拿分关键
阻尼器串并联	并联直接加，串联倒数加
机械系统建模	先画受力方向，再写 $\sum F=m\ddot{x}$
LRC 电路	用 KVL/KCL，明确输出是电流、电荷还是电容电压
微分方程到传递函数	默认零初始条件，整理成输出/输入
一阶/二阶标准形式	先把分母最高次系数归一化
终值定理	先检查系统稳定，再求稳态值

先用人话理解本章在讲什么

控制题第一步永远不是调参数，而是先把系统写成数学对象。一个风扇、一个弹簧质量系统、一个 LRC 电路，看起来完全不同；但只要列出微分方程，再做 Laplace 变换，它们都会变成一个分式：

G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}

其中 $R(s)$ 是输入， $C(s)$ 是输出。

后面的稳定性、PID、root locus、Bode、Nyquist 都围绕这个分式做文章。你在第 1 章写错传递函数，后面每一步都会跟着错。

所以这一章的重点不是背概念，而是形成一个固定动作：读题 → 定输入输出 → 列方程 → Laplace → 整理传递函数 → 检查标准形式。

公式速查

建模常用关系

元件/系统	关系式	直觉
阻尼器	$F=B\dot{x}$	速度越大，阻力越大
弹簧	$F=Kx$	位移越大，回复力越大
质量块	$\sum F=m\ddot{x}$	合力决定加速度
转动惯量	$\sum T=J\dot{\omega}$	合转矩决定角加速度
电阻	$v=Ri$	电压和电流成正比
电感	$v=L\frac{di}{dt}$	电流不能突变
电容	$i=C\frac{dv}{dt}$	电压不能突变

Laplace 变换

时域	Laplace 域
$\dot{x}(t)$	$sX(s)-x(0)$
$\ddot{x}(t)$	$s^2X(s)-sx(0)-\dot{x}(0)$
零初始时 $\dot{x}(t)$	$sX(s)$
零初始时 $\ddot{x}(t)$	$s^2X(s)$
单位阶跃	$1/s$
单位斜坡	$1/s^2$

一阶与二阶标准形式

一阶系统：

G(s)=\frac{K}{\tau s+1}

二阶系统：

G(s)=\frac{K\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}

终值定理：

x_{ss}=\lim_{t \to \infty}x(t)=\lim_{s \to 0}sX(s)

使用前要确认相关闭环极点在左半平面；系统不稳定或持续振荡时不能直接套。

核心概念

1. 动态系统

动态系统的输出不仅取决于当前输入，还取决于系统内部状态。弹簧、电容、电感、质量块、转动惯量都会“记住”过去的能量，所以它们对应动态系统。

最简单的描述框架是：

输入 r(t)  →  系统  →  输出 c(t)

做题时先写清楚：输入是什么，输出是什么。很多传递函数写反，都是因为第一行没写这个。

2. 阻尼器串并联

并联阻尼器速度相同，力相加：

F=(B_1+B_2)\dot{x},\qquad B_{eq}=B_1+B_2

串联阻尼器力相同，速度相加：

\dot{x}=\frac{F}{B_1}+\frac{F}{B_2}

所以：

\frac{1}{B_{eq}}=\frac{1}{B_1}+\frac{1}{B_2}

别丢分： 阻尼器串联的规律和电阻串联相反。看到串联阻尼器，不要下意识写 $B_1+B_2$ 。

3. LRC 电路

串联 LRC 电路输入为电压 $v(t)$ ，回路电流为 $i(t)$ ，电荷 $q(t)$ 满足 $i=\dot{q}$ 。KVL 给出：

L\dot{i}+Ri+\frac{1}{C}q=v(t)

用 $q$ 表示：

L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{1}{C}q=v(t)

如果输出是电容电压 $v_C=q/C$ ，传递函数会和输出是电流时不同。考试题一定要先看清输出量。

4. 一阶系统

一阶系统常写成：

\tau \dot{x}+x=Ku

零初始条件下：

(\tau s+1)X(s)=KU(s)

所以：

\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{K}{\tau s+1}

时间常数 $\tau$ 决定快慢： $\tau$ 越小，响应越快。直流增益 $K$ 决定常值输入下最终输出是多少。

5. 二阶系统

标准二阶系统分母为：

s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2

阻尼比	极点形态	响应
$0<\zeta<1$	复共轭极点	欠阻尼，有振荡和超调
$\zeta=1$	负实重根	临界阻尼，最快无振荡
$\zeta>1$	两个负实根	过阻尼，无振荡但慢
$\zeta=0$	纯虚根	等幅振荡

极点公式：

s=-\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}

欠阻尼时常写成：

s=-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

标准解题模板

模板 A：从物理系统到传递函数

写输入和输出：例如输入 $F(t)$ ，输出 $x(t)$ 。
写物理方程：机械用牛顿定律，电路用 KVL/KCL，转动系统用转矩平衡。
做 Laplace 变换，默认零初始条件。
把输出项放左边，输入项放右边。
写成 $G(s)=C(s)/R(s)$ ，也就是输出除以输入。
检查单位和阶数是否合理。

模板 B：识别标准二阶系统

先把分母最高次项系数化成 1。
与 $s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2$ 对比。
先由常数项求 $\omega_n$ ，再由一次项求 $\zeta$ 。
根据 $\zeta$ 判断响应类型。

模板 C：使用终值定理

写出 $C(s)=G(s)R(s)$ 或闭环输出表达式。
先判断系统是否稳定。
计算 $\lim_{s \to 0}sC(s)$ 。
若有虚轴极点或右半平面极点，说明终值定理不能直接用。

配套例题

例题 1：质量-弹簧-阻尼系统

一个质量块 $m$ 受到外力 $F(t)$ ，通过阻尼器 $B$ 和弹簧 $K_s$ 连接到固定墙。输出为位移 $x(t)$ ，求 $X(s)/F(s)$ 。

第 1 步：列方程。

m\ddot{x}+B\dot{x}+K_sx=F(t)

第 2 步：Laplace 变换。

(ms^2+Bs+K_s)X(s)=F(s)

第 3 步：写传递函数。

\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{ms^2+Bs+K_s}

检查： 分母二阶，符合质量-弹簧-阻尼系统有两个储能状态的直觉。

例题 2：基座输入系统

质量块 $m$ 通过弹簧 $k$ 和阻尼器 $c$ 连到运动基座。基座位移为 $y(t)$ ，质量块位移为 $x(t)$ 。求 $X(s)/Y(s)$ 。

弹簧力和阻尼力由相对位移、相对速度决定：

m\ddot{x}=c(\dot{y}-\dot{x})+k(y-x)

整理：

m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=c\dot{y}+ky

Laplace 变换：

(ms^2+cs+k)X(s)=(cs+k)Y(s)

所以：

\frac{X(s)}{Y(s)}=\frac{cs+k}{ms^2+cs+k}

易错点： 弹簧和阻尼器看的是 $x-y$ ，不是单独的 $x$ 。如果题目是 base excitation，这个相对量一定要写出来。

例题 3：LRC 输出为电容电压

串联 LRC 电路输入为 $V(s)$ ，输出为电容电压 $V_C(s)$ 。求传递函数。

阻抗法更快：

Z_L=Ls,\quad Z_R=R,\quad Z_C=\frac{1}{Cs}

电压分压：

\frac{V_C(s)}{V(s)}=\frac{Z_C}{Z_L+Z_R+Z_C}

代入：

\frac{V_C(s)}{V(s)}=\frac{\frac{1}{Cs}}{Ls+R+\frac{1}{Cs}}

分子分母同乘 $Cs$ ：

\frac{V_C(s)}{V(s)}=\frac{1}{LCs^2+RCs+1}

易错点： 如果输出是电流 $I(s)$ ，传递函数就是 $I/V=1/(Ls+R+1/(Cs))$ ，不是上面的电容电压公式。

例题 4：转动风扇的扰动模型

风扇转动惯量为 $J$ ，输入控制转矩为 $T(t)$ ，外界阻力扰动为 $N(t)$ ，输出角速度为 $\omega(t)$ 。忽略粘性阻尼，求 $\Omega(s)/T(s)$ 和扰动通道 $\Omega(s)/N(s)$ 。

转动方程：

J\dot{\omega}=T(t)-N(t)

Laplace 变换：

Js\Omega(s)=T(s)-N(s)

因此：

\frac{\Omega(s)}{T(s)}=\frac{1}{Js},\qquad \frac{\Omega(s)}{N(s)}=-\frac{1}{Js}

考试提醒： 扰动通常不是加在参考输入端，而是从 plant 附近进入，符号也可能是负号。后面做扰动抑制题时要单独求扰动通道。

易错点与扣分点

输入输出写反。 题目求 $X/F$ ，不要写成 $F/X$ 。
忽略零初始条件。 传递函数不是一般解；它是零初始下的输入输出比。
二阶归一化漏做。 分母若是 $2s^2+6s+8$ ，必须先除以 2 再读 $\zeta,\omega_n$ 。
终值定理乱用。 右半平面极点、纯虚极点、持续振荡时不能直接给终值。
扰动符号看错。 风扇阻力、负载扰动常以负号进入 plant。

自测题与答案

题 1

两个阻尼器串联， $B_1=2$ ， $B_2=6$ ，求等效阻尼。

答案：

\frac{1}{B_{eq}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}

B_{eq}=1.5

题 2

一阶系统 $3\dot{x}+x=2u$ ，求传递函数、时间常数和直流增益。

答案：

Laplace 变换：

(3s+1)X(s)=2U(s)

\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{2}{3s+1}=\frac{2}{3s+1}

对比 $K/(\tau s+1)$ ，得：

\tau=3,\qquad K=2

题 3

二阶分母为 $2s^2+8s+18$ ，求 $\zeta$ 和 $\omega_n$ 。

答案： 先归一化：

s^2+4s+9

对比 $s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2$ ：

\omega_n=3,\qquad 2\zeta\omega_n=4

\zeta=\frac{4}{2\times 3}=\frac{2}{3}

欠阻尼，会有衰减振荡。

学习路线

先练建模题，再练标准形式识别。不要先背 root locus 或 Bode，传递函数写不对，后面图画得再漂亮也没用。

和后续章节的关系

第 2 章会把本章的传递函数放进控制框图；第 4 章会用分母极点判断稳定；第 6 章以后会直接拿 $G(s)H(s)$ 画 root locus、Nyquist 和 Bode 图。第 1 章是整个课程的入口。