第5章 P/I/D 控制与时域性能

学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. 写出 P、I、D、PI、PD、PID 的时域公式和传递函数。
2. 从 $1+G_c(s)G_p(s)H(s)=0$ 写出闭环特征方程。
3. 用终值定理计算 reference tracking 的稳态误差。
4. 区分参考输入误差和扰动输入误差。
5. 根据稳态误差、非振荡条件、$\zeta$、$t_s$ 反推控制器参数。
6. 用一句话说明每种控制作用的收益和代价。

本章考试会怎么考

题型	固定做法
P 控制求 $K_p$	写 $E/R=1/(1+K_pG)$，用终值定理
I/PI 消除稳态误差	看开环是否增加积分环节
非振荡条件	写闭环特征方程，要求实根或 $\zeta \ge 1$
PID 参数设计	与目标特征多项式逐项匹配
扰动抑制	令 $R=0$，单独求扰动到误差/输出通道
控制作用解释	P 快但有余差，I 消余差但易振荡，D 增阻尼但不改稳态误差

先用人话理解本章在讲什么

前面几章把系统写成传递函数，并判断它稳不稳定。这一章开始真正“控制”它：往前向通道里加一个控制器 $G_c(s)$，让闭环极点和稳态误差变成我们想要的样子。

不要把 PID 学成一堆孤立公式。所有题的起点都一样：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G_c(s)G_p(s)}{1+G_c(s)G_p(s)H(s)}$$

真正决定稳定性和瞬态响应的是分母：

$$1+G_c(s)G_p(s)H(s)=0$$

所以做 PID 题的第一反应应该是：先写闭环特征方程。

公式速查

控制器	时域公式	传递函数
P	$u=K_pe$	$G_c=K_p$
I	$u=K_i\int e(t)dt$	$G_c=K_i/s$
D	$u=K_d\dot{e}$	$G_c=K_ds$
PI	$u=K_pe+K_i\int e(t)dt$	$G_c=K_p+K_i/s$
PD	$u=K_pe+K_d\dot{e}$	$G_c=K_p+K_ds$
PID	$u=K_pe+K_i\int e(t)dt+K_d\dot{e}$	$G_c=K_p+K_i/s+K_ds$

误差传递函数（单位负反馈）：

$$\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G_c(s)G_p(s)}$$

终值定理：

$$e_{ss}=\lim_{s \to 0}sE(s)$$

常用二阶指标：

$$t_s \approx \frac{3}{\zeta\omega_n}$$

这里采用本课程课件中常见的 2% settling time 近似。若题目给出不同准则，以题目为准。

核心概念

1. P 控制

P 控制输出与误差成正比：

$$u=K_pe$$

它能让响应更快、稳态误差更小，但通常不能完全消除稳态误差。直觉是：如果误差为零，P 控制器输出也为零；若系统需要非零控制力才能维持稳态，就必须保留一点误差。

2. I 控制

I 控制对误差积分：

$$u=K_i\int e(t)dt$$

只要误差存在，积分项就继续累积，直到误差被推到零。因此 I 控制能消除阶跃稳态误差。代价是增加一个原点极点，使系统阶数升高，更容易振荡。

3. D 控制

D 控制看误差变化率：

$$u=K_d\dot{e}$$

它像提前刹车，能增加阻尼、减少超调。D 项在 $s \to 0$ 时趋于 0，所以它不改变阶跃稳态误差。实际系统中 D 对噪声敏感，通常不单独使用。

标准解题模板

模板 A：P 控制按稳态误差求 $K_p$

1. 写开环 $L(s)=K_pG_p(s)$。
2. 写误差传递函数：

$$\frac{E}{R}=\frac{1}{1+L(s)}$$

3. 对单位阶跃 $R(s)=1/s$：

$$e_{ss}=\lim_{s \to 0}s\frac{1}{s}\frac{1}{1+K_pG_p(s)}$$

4. 令 $e_{ss}$ 等于题目要求，解 $K_p$。

模板 B：非振荡条件

如果闭环是二阶：

$$s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0$$

非振荡通常要求：

$$\zeta \ge 1$$

等价地，对 $as^2+bs+c=0$，要求判别式：

$$b^2-4ac \ge 0$$

同时还要满足稳定性条件 $a,b,c>0$。

模板 C：PID 按指标匹配参数

1. 写控制器：

$$G_c=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds=\frac{K_ds^2+K_ps+K_i}{s}$$

2. 写闭环特征方程。
3. 用题目给的 $\zeta,t_s$ 求目标 $\omega_n$：

$$\omega_n=\frac{3}{\zeta t_s}$$

4. 写目标二阶或三阶特征多项式。
5. 逐项匹配系数，解 $K_p,K_i,K_d$。
6. 最后检查 Routh 稳定性。

配套例题

例题 1：P 控制指定稳态误差

Plant 为：

$$G_p(s)=\frac{2}{s+2}$$

单位负反馈，P 控制 $G_c=K_p$。要求单位阶跃稳态误差为 5%，求 $K_p$。

误差传递函数：

$$\frac{E}{R}=\frac{1}{1+K_p\frac{2}{s+2}}$$

单位阶跃：

$$e_{ss}=\lim_{s \to 0}s\frac{1}{s}\frac{1}{1+\frac{2K_p}{s+2}}$$

令 $s=0$：

$$e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}$$

要求 $e_{ss}=0.05$：

$$\frac{1}{1+K_p}=0.05$$ $$1+K_p=20,\qquad K_p=19$$

检查： P 控制只能把误差压小。若题目要求误差为 0，单靠这个 Type 0 plant 的 P 控制做不到。

例题 2：I 控制非振荡条件

Plant 为：

$$G_p(s)=\frac{1}{\tau s+1}$$

I 控制 $G_c=K_i/s$，单位负反馈。求非振荡响应对 $K_i$ 的要求。

闭环特征方程：

$$1+\frac{K_i}{s(\tau s+1)}=0$$ $$\tau s^2+s+K_i=0$$

这是二阶系统。非振荡要求判别式非负：

$$1^2-4\tau K_i \ge 0$$

所以：

$$K_i \le \frac{1}{4\tau}$$

稳定还要求 $K_i>0$，因此：

$$0<K_i \le \frac{1}{4\tau}$$

解释： $K_i$ 太大响应会快，但阻尼不足，会振荡。

例题 3：PID 按 $\zeta,t_s,K_i$ 反求参数

Plant 为：

$$G_p(s)=\frac{1}{s+1}$$

PID 控制：

$$G_c(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds$$

已知 $K_i=20$，目标 $\zeta=0.8$，$t_s=1.5s$。用 $t_s=3/(\zeta\omega_n)$ 求 $K_p,K_d$。

闭环特征方程：

$$1+\frac{K_ds^2+K_ps+K_i}{s(s+1)}=0$$ $$s(s+1)+K_ds^2+K_ps+K_i=0$$ $$(1+K_d)s^2+(1+K_p)s+K_i=0$$

目标自然频率：

$$\omega_n=\frac{3}{\zeta t_s}=\frac{3}{0.8\times1.5}=2.5$$

目标二阶方程可写成比例形式：

$$s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=s^2+4s+6.25$$

将实际方程除以 $1+K_d$：

$$s^2+\frac{1+K_p}{1+K_d}s+\frac{K_i}{1+K_d}=0$$

匹配常数项：

$$\frac{20}{1+K_d}=6.25$$ $$1+K_d=3.2,\qquad K_d=2.2$$

再匹配一次项：

$$\frac{1+K_p}{3.2}=4$$ $$1+K_p=12.8,\qquad K_p=11.8$$

检查： 两个参数都是正数，且闭环特征方程归一化后确实是 $s^2+4s+6.25$。如果某道题按同样步骤算出负的 $K_d$ 或 $K_p$，不要硬改答案；那说明给定指标和约束在这个 plant 下不可实现。

例题 4：扰动 step 下 P 与 PI 的区别

设输出速度受到负载扰动 $N(s)$，简化扰动到输出通道为：

$$\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{G_p(s)}{1+G_c(s)G_p(s)}$$

Plant 为 $G_p(s)=1/(s+1)$。

P 控制

$G_c=K_p$：

$$\frac{C}{N}=\frac{1/(s+1)}{1+K_p/(s+1)}=\frac{1}{s+1+K_p}$$

单位阶跃扰动 $N=1/s$：

$$c_{ss,N}=\lim_{s \to 0}s\frac{1}{s}\frac{1}{s+1+K_p}=\frac{1}{1+K_p}$$

P 控制只能减小扰动造成的稳态偏差。

PI 控制

$G_c=K_p+K_i/s$：

$$\frac{C}{N}=\frac{1/(s+1)}{1+\frac{K_ps+K_i}{s(s+1)}}$$ $$\frac{C}{N}=\frac{s}{s(s+1)+K_ps+K_i}$$

单位阶跃扰动下：

$$c_{ss,N}=\lim_{s \to 0}s\frac{1}{s}\frac{s}{s(s+1)+K_ps+K_i}=0$$

积分作用能消除 step disturbance 的稳态影响，但要检查闭环稳定性。

控制作用速查表

控制作用	响应速度	稳态误差	超调/振荡	稳定性影响
P	通常变快	减小但不一定为零	二阶中可能增大	增益过大可能不稳
I	可能变慢或振荡	可消除阶跃误差	增大	降低稳定裕度
D	改善瞬态	不改变阶跃稳态误差	减小	增加阻尼
PI	兼顾速度和零误差	可消除	可能有振荡	需调参
PD	快且阻尼较好	仍有余差	减小	改善
PID	最灵活	可消除	可调	参数不当仍会不稳

易错点与扣分点

1. 把 $K_i/s$ 写成 $K_is$。 积分是除以 $s$，微分才是乘以 $s$。
2. 不写闭环特征方程。 PID 题只写结论，通常拿不到关键步骤分。
3. 把 reference error 和 disturbance error 混用。 扰动题要令 $R=0$ 单独分析。
4. 以为 D 能消除稳态误差。 $s \to 0$ 时 D 项消失。
5. 看到积分就说一定稳定。 积分能消除误差，但会升阶，可能让系统振荡或不稳定。
6. 直接套二阶公式到三阶系统。 二阶 plant 加 I/PID 后可能变三阶，需要 Routh 判断。

自测题与答案

题 1

Plant 为 $G_p=1/(2s+1)$，P 控制 $K_p=4$，单位负反馈。求单位阶跃稳态误差。

答案：

$$e_{ss}=\frac{1}{1+K_pG_p(0)}=\frac{1}{1+4}=0.2$$

题 2

Plant 为 $1/(3s+1)$，I 控制 $K_i$，求非振荡条件。

答案：

闭环特征方程：

$$3s^2+s+K_i=0$$

非振荡：

$$1-12K_i \ge 0$$

所以：

$$0<K_i \le \frac{1}{12}$$

题 3

为什么 PI 能消除阶跃稳态误差，而 PD 不能？

答案： PI 有积分环节 $K_i/s$，在开环中增加一个原点极点，提高系统型别；只要闭环稳定，单位阶跃误差可被压到 0。PD 的 $K_ds$ 在低频 $s \to 0$ 时为 0，不改变 DC loop gain 的本质阶次，所以不能消除阶跃稳态误差。

题 4

PID 题中算出 $K_d<0$，应该怎么办？

答案： 不能硬说“微分增益为负也可以”。负 $K_d$ 代表负阻尼，通常会恶化稳定性。应说明：在给定 plant、$K_i$ 和目标指标下，无法用正的 PID 参数满足要求，题目条件需要调整或采用更高阶设计。

学习路线

先把六种控制器的 $G_c(s)$ 写熟，再练“控制器 + plant → 闭环特征方程”。稳态误差题、非振荡题、PID 参数题都从这个动作开始。

和后续章节的关系

第 6 章 root locus 会把“增益变化如何移动闭环极点”画出来；第 8 章 Bode 和第 9 章补偿器会把 PID 的相位、增益作用放到频域里解释。PID 是补偿器设计的入门版本。