第6章 根轨迹 Root Locus

学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. 解释 root locus 画的是闭环极点随增益 $K$ 变化的轨迹。
2. 从闭环特征方程 $1+KG(s)H(s)=0$ 推出角度条件和幅值条件。
3. 手算开环极点、零点、实轴根轨迹段、渐近线角度和重心。
4. 求 breakaway / break-in point，并判断候选点是否有效。
5. 用 Routh 表求根轨迹穿越虚轴时的临界 $K$ 和振荡频率。
6. 根据根轨迹判断系统稳定的增益范围。

本章考试会怎么考

题型	必写步骤
给 $KG(s)H(s)$ 画 root locus	poles/zeros → 实轴段 → 渐近线 → 分离点 → 虚轴交点
求渐近线	数量 $n-m$，角度 $\frac{(2q+1)180^\circ}{n-m}$，重心 $\sigma_a$
求 breakaway	由 $K=-1/[G(s)H(s)]$，解 $dK/ds=0$
求临界 $K$	写闭环特征方程，用 Routh 表求虚轴交点
判断稳定范围	根轨迹在左半平面对应的 $K$ 范围

先用人话理解本章在讲什么

前面 Routh 判据能告诉你“某个 $K$ 稳不稳定”，但它不直接告诉你 $K$ 从 0 逐渐变大时，闭环极点怎么移动。根轨迹就是把这件事画出来。

闭环极点决定系统响应。如果 $K$ 变大时极点从左半平面跑到右半平面，系统就从稳定变成不稳定。Root locus 的核心问题就是：

当增益 $K$ 从 0 增大到无穷大时，闭环极点在 $s$ 平面上走哪条路？

考试中 root locus 通常不是精确画图，而是用几条规则画出草图，并读出稳定范围、临界增益和振荡频率。

公式速查

闭环特征方程：

$$1+KG(s)H(s)=0$$

等价于：

$$KG(s)H(s)=-1$$

角度条件：

$$\angle G(s)H(s)=(2q+1)180^\circ$$

幅值条件：

$$K|G(s)H(s)|=1$$

所以：

$$K=\frac{1}{|G(s)H(s)|}$$

若开环有 $n$ 个极点、$m$ 个零点：

项目	公式
分支数	$n$
终止于无穷远的分支数	$n-m$
渐近线角度	$\theta_q=\frac{(2q+1)180^\circ}{n-m}$
渐近线重心	$\sigma_a=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$
breakaway 候选点	$\frac{dK}{ds}=0$

实轴规则：实轴上一点若其右侧开环极点和零点总数为奇数，则该点在根轨迹上。

核心概念

1. 根轨迹从哪里开始，到哪里结束

当 $K=0$：

$$1+KG(s)H(s)=1$$

闭环特征方程退化为开环分母，所以闭环极点从开环极点出发。

当 $K\to\infty$，闭环极点会趋向开环零点；如果零点不够多，剩下的分支走向无穷远。

所以记住：

• root locus 起点是开环 poles；
• 终点是开环 zeros 或无穷远；
• 分支数等于开环 poles 数。

2. 角度条件

闭环极点满足：

$$KG(s)H(s)=-1$$

因为 $K$ 是正实数，不改变角度，所以点 $s$ 在根轨迹上必须满足：

$$\angle G(s)H(s)=180^\circ, 540^\circ, \ldots$$

也就是奇数倍 $180^\circ$。

3. 幅值条件

当一个点满足角度条件后，幅值条件用来求该点对应的 $K$：

$$K=\frac{1}{|G(s)H(s)|}$$

所以做题顺序是：先用角度条件/作图规则判断点在不在轨迹上，再用幅值条件求 $K$。

标准解题模板

手绘 root locus 八步法

1. 写出开环 $L(s)=KG(s)H(s)$。
2. 标出开环 poles 和 zeros。
3. 分支数 = poles 数。
4. 用实轴规则找实轴上的根轨迹段。
5. 求渐近线数量、角度和重心。
6. 求 breakaway / break-in 候选点，并检查是否落在有效实轴段。
7. 用 Routh 表求虚轴交点和临界 $K$。
8. 画出草图，并写稳定的 $K$ 范围。

配套例题

例题：完整根轨迹草图与稳定范围

开环传递函数为：

$$L(s)=\frac{K}{s(s+2)(s+4)}$$

单位负反馈。画 root locus 的主要信息，并求稳定范围。

第 1 步：开环 poles/zeros

开环极点：

$$s=0,-2,-4$$

开环零点：无。

所以 $n=3,m=0$，共有 3 条分支，其中 3 条都走向无穷远。

第 2 步：实轴根轨迹段

实轴上按区间判断右侧极点数：

区间	右侧极点数	是否在根轨迹上
$(0,\infty)$	0	否
$(-2,0)$	1	是
$(-4,-2)$	2	否
$(-\infty,-4)$	3	是

第 3 步：渐近线

渐近线数量：

$$n-m=3$$

角度：

$$\theta_q=\frac{(2q+1)180^\circ}{3}$$

所以：

$$\theta=60^\circ,180^\circ,300^\circ$$

重心：

$$\sigma_a=\frac{(0)+(-2)+(-4)-0}{3}=-2$$

第 4 步：breakaway point

由闭环特征方程：

$$1+\frac{K}{s(s+2)(s+4)}=0$$

得到：

$$K=-s(s+2)(s+4)$$

求导：

$$\frac{dK}{ds}=-(3s^2+12s+8)=0$$ $$3s^2+12s+8=0$$ $$s=\frac{-12\pm\sqrt{144-96}}{6}=-2\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

两个候选点：

$$s\approx -0.845,\quad s\approx -3.155$$

有效实轴段是 $(-2,0)$ 和 $(-\infty,-4)$。所以 $-0.845$ 有效，$-3.155$ 不在根轨迹实轴段上，舍去。

第 5 步：虚轴交点与稳定范围

闭环特征方程：

$$s(s+2)(s+4)+K=0$$ $$s^3+6s^2+8s+K=0$$

Routh 表：

行	第1列	第2列
$s^3$	1	8
$s^2$	6	$K$
$s^1$	$\frac{48-K}{6}$	0
$s^0$	$K$

稳定要求第一列全正：

$$K>0,\qquad 48-K>0$$

所以稳定范围：

$$0<K<48$$

临界稳定时 $K=48$。辅助方程来自 $s^2$ 行：

$$6s^2+48=0$$ $$s=\pm j\sqrt{8}=\pm j2\sqrt{2}$$

临界振荡频率：

$$\omega=2\sqrt{2}\;\text{rad/s}$$

易错点与扣分点

1. 把 root locus 当成开环极点轨迹。 它画的是闭环极点，只是由开环 poles/zeros 决定形状。
2. 实轴规则数错方向。 看的是该点右侧的开环 poles 和 zeros 总数。
3. 渐近线重心公式写反。 是 $\sum p_i-\sum z_i$，不是反过来。
4. breakaway 候选点不检查区间。 解出 $dK/ds=0$ 后，必须检查是否落在有效根轨迹段上。
5. 临界 $K$ 当稳定。 根轨迹碰到虚轴时是 marginal stability，不属于严格稳定。
6. 忘记 $K>0$。 本课程 root locus 默认正增益；若题目允许负增益，要另行说明。

自测题与答案

题 1

开环 $L(s)=K/[s(s+3)]$，求实轴根轨迹段。

答案： 开环极点为 $0,-3$，无零点。

实轴区间：

• $(0,\infty)$：右侧 0 个，不在。
• $(-3,0)$：右侧 1 个，在。
• $(-\infty,-3)$：右侧 2 个，不在。

所以实轴根轨迹段为 $(-3,0)$。

题 2

开环有 4 个 poles、1 个 zero。渐近线数量是多少？

答案：

$$n-m=4-1=3$$

有 3 条渐近线。

题 3

系统闭环特征方程为：

$$s^3+4s^2+5s+K=0$$

求稳定的 $K$ 范围。

答案： Routh 表：

行	第1列	第2列
$s^3$	1	5
$s^2$	4	$K$
$s^1$	$\frac{20-K}{4}$	0
$s^0$	$K$

稳定要求：

$$K>0,\qquad 20-K>0$$

所以：

$$0<K<20$$

临界时 $K=20$，辅助方程 $4s^2+20=0$，所以 $\omega=\sqrt{5}$。

学习路线

Root locus 题不适合只看答案。每道题都按八步法写一遍：poles/zeros、实轴段、渐近线、breakaway、Routh。做多了之后，草图会自然变快。

和后续章节的关系

Root locus 是时域和频域之间的桥。它从 $s$ 平面极点解释稳定性；Nyquist 和 Bode 会从频率响应解释同一件事。后面做补偿器设计时，lead/lag 其实就是通过添加零极点来改变 root locus 或 Bode 形状。