第7章 Nyquist 图与频域稳定性

学习目标

学完本章后，你应该能够：

把开环传递函数代入 $s=j\omega$ ，写成实部加虚部。
用低频、高频和实轴交点画出 Nyquist 图的关键形状。
解释为什么 Nyquist 图要看 $-1+j0$ 点。
使用本课程的 $N=Z-P$ 约定判断闭环稳定性。
通过增益 $K$ 对 Nyquist 曲线的缩放求稳定范围。
说明 Nyquist 与 Bode 图中 GM/PM 的关系。

本章考试会怎么考

题型	标准动作
求 $G(j\omega)$	代入 $s=j\omega$ ，化成 $a(\omega)+jb(\omega)$
找负实轴交点	解 $\operatorname{Im}G(j\omega)=0$ ，再检查实部是否为负
判断稳定性	数开环右半平面极点 $P$ ，数绕 $-1$ 的包围数 $N$
求临界 $K$	让 Nyquist 曲线经过 $-1$
和 Bode 联系	$

先用人话理解本章在讲什么

Routh 和 root locus 都在 $s$ 平面里看极点。Nyquist 换了一个角度：不直接求闭环极点，而是看开环系统对不同频率正弦输入的响应。

闭环特征方程是：

1+G(s)H(s)=0

也就是说，如果开环频率响应 $G(j\omega)H(j\omega)$ 走到 $-1+j0$ ，闭环就到临界稳定边界。Nyquist 判据就是把开环频率响应在复平面里画出来，看它怎样绕过 $-1$ 点，从而判断闭环有没有右半平面极点。

公式速查

开环 loop transfer function：

L(s)=G(s)H(s)

频率响应：

L(j\omega)=\operatorname{Re}L(j\omega)+j\operatorname{Im}L(j\omega)

闭环特征方程：

1+L(s)=0

临界点：

L(s)=-1+j0

本课程采用的 Nyquist 记号：

N=Z-P

等价写法：

Z=P+N

其中：

$P$ ：开环 $L(s)$ 在右半平面的极点数。
$Z$ ：闭环特征方程 $1+L(s)=0$ 在右半平面的根数，也就是闭环不稳定极点数。
$N$ ：Nyquist 图绕 $-1+j0$ 的净包围数。

本课程约定：顺时针包围为正，逆时针包围为负。

闭环稳定要求：

Z=0

所以：

N=-P

如果开环没有右半平面极点，即 $P=0$ ，闭环稳定要求 Nyquist 图不包围 $-1$ 。

核心概念

1. 为什么看 $-1$ 点

闭环传递函数是：

T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}

闭环极点来自分母：

1+L(s)=0

所以：

L(s)=-1

Nyquist 图画的是 $L(j\omega)$ ，因此临界点就是复平面上的 $-1+j0$ 。

2. Nyquist 图怎么画关键点

手工题通常不要求精确曲线，只要求关键点：

$\omega=0$ 的起点。
$\omega\to\infty$ 的终点。
与实轴的交点。
是否经过或包围 $-1+j0$ 。
如果传递函数实系数，负频率部分通常是正频率部分关于实轴的镜像。

3. 增益 $K$ 的作用

如果：

L(s)=KG_0(s)

则 Nyquist 图相当于把 $G_0(j\omega)$ 的曲线按比例 $K$ 放大或缩小。相位不变，幅值乘以 $K$ 。

临界稳定常由：

KG_0(j\omega_c)=-1

决定。

标准解题模板

模板 A：Nyquist 判稳

写开环 $L(s)=G(s)H(s)$ 。
数开环右半平面极点数 $P$ 。
代入 $s=j\omega$ ，求关键点。
草绘 Nyquist 图。
数它对 $-1+j0$ 的包围数 $N$ （本课程顺时针为正）。
计算 $Z=P+N$ 。
若 $Z=0$ ，闭环稳定；否则不稳定。

模板 B：求临界增益

把 $L(s)$ 写成 $KG_0(s)$ 。
找 $G_0(j\omega)$ 的负实轴交点：

\operatorname{Im}G_0(j\omega)=0,\quad \operatorname{Re}G_0(j\omega)<0

若交点是 $-a$ ，则临界条件：

K a=1

所以：

K_{crit}=\frac{1}{a}

再结合包围方向判断稳定范围。

配套例题

例题 1：Nyquist 临界增益

开环为：

L(s)=\frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}

单位负反馈。用 Nyquist 思路求临界 $K$ ，并与 Routh 结果对照。

第 1 步：先看开环右半平面极点

开环极点 $-1,-2,-3$ 都在左半平面，所以：

P=0

闭环稳定要求 Nyquist 图不包围 $-1$ 。

第 2 步：求负实轴交点

令不含 $K$ 的部分为：

G_0(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)}

代入 $s=j\omega$ 。先算分母：

(j\omega+1)(j\omega+2)(j\omega+3)

前两项：

(j\omega+1)(j\omega+2)=(2-\omega^2)+j3\omega

再乘 $(3+j\omega)$ ：

D(j\omega)=(6-6\omega^2)+j\omega(11-\omega^2)

$G_0(j\omega)$ 在负实轴上，等价于分母为负实数，所以虚部为 0：

\omega(11-\omega^2)=0

非零频率：

\omega=\sqrt{11}

此时分母实部：

6-6(11)=-60

所以：

G_0(j\sqrt{11})=-\frac{1}{60}

加上增益 $K$ 后：

L(j\sqrt{11})=-\frac{K}{60}

临界经过 $-1$ 时：

\frac{K}{60}=1

K_{crit}=60

因为 $P=0$ ，小增益时曲线不包围 $-1$ ，所以稳定范围是：

0<K<60

第 3 步：用 Routh 验证

闭环特征方程：

(s+1)(s+2)(s+3)+K=0

展开：

s^3+6s^2+11s+(6+K)=0

Routh 表：

行	第1列	第2列
$s^3$	1	11
$s^2$	6	$6+K$
$s^1$	$\frac{66-(6+K)}{6}=\frac{60-K}{6}$	0
$s^0$	$6+K$

稳定要求：

K<60,\quad K>-6

若只考虑正增益：

0<K<60

与 Nyquist 临界结果一致。

例题 2：判断 $P=1$ 时需要怎样包围

若某开环系统有 1 个右半平面极点，即 $P=1$ 。本课程约定 $Z=P+N$ ，闭环稳定要求 $Z=0$ 。

所以：

0=1+N

N=-1

本课程顺时针为正，因此 $N=-1$ 表示 Nyquist 图必须逆时针包围 $-1$ 一次。

易错点： 很多教材把逆时针定义为正，所以公式写法可能不同。考试时跟随本课程：顺时针为正， $N=Z-P$ 。

Nyquist 与 GM/PM 的关系

Nyquist 图到 $-1$ 点的距离，工程上常用两个裕度描述：

Gain Margin (GM)：相位到 $-180^\circ$ 时，增益还能放大多少才到 $-1$ 。
Phase Margin (PM)：幅值到 1 时，相位还能再滞后多少才到 $-180^\circ$ 。

Bode 图只是把 Nyquist 的幅值和相位分成两张图来读。下一章会把 GM/PM 作为核心计算题。

易错点与扣分点

忘记数 $P$ 。 开环有右半平面极点时，不能用“不包围 $-1$ 就稳定”的简单结论。
包围方向与教材混用。 本课程顺时针为正， $N=Z-P$ 。
只画正频率不补对称。 实系数系统负频率是正频率关于实轴的镜像。
负实轴交点没检查实部。 解 $\operatorname{Im}=0$ 后还要确认实部为负。
把 Nyquist 应用于 plant 而不是 loop transfer function。 应分析 $G(s)H(s)$ 。

自测题与答案

题 1

本课程采用 $N=Z-P$ ，若 $P=0$ 且 Nyquist 图不包围 $-1$ ，闭环是否稳定？

答案： 不包围表示 $N=0$ 。所以：

Z=P+N=0+0=0

闭环稳定。

题 2

若 $P=2$ ，闭环稳定需要 $N$ 等于多少？对应什么方向？

答案： 闭环稳定要求 $Z=0$ ：

0=P+N=2+N

N=-2

本课程顺时针为正，所以 $N=-2$ 表示逆时针包围 $-1$ 两次。

题 3

$G_0(j\omega)$ 在某频率处等于 $-0.25$ 。若 $L=KG_0$ ，临界增益是多少？

答案： 临界时：

K(-0.25)=-1

K=4

学习路线

先不要急着画复杂 Nyquist。先练三件事：代入 $j\omega$ 、找负实轴交点、套 $Z=P+N$ 。只要这三件事清楚，Bode 的 GM/PM 就不会学乱。

和后续章节的关系

下一章 Bode 图会把 Nyquist 图的复平面轨迹拆成幅值图和相位图。GM/PM 本质上就是用 Bode 图读 Nyquist 图离 $-1$ 点还有多远。第 9 章补偿器设计则会通过改变幅值和相位，让系统远离临界点。