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课程笔记

第8章 Bode 图与稳定裕度

掌握 Bode 图的标准因子、手绘步骤、gain/phase margin 读法，以及根据稳定裕度反求增益的方法。

2026年5月26日 · 5 分钟阅读 · 动力学与控制 · 更新于 2026年7月27日
dynamics-and-control控制理论

学习目标

学完本章后，你应该能够：

  1. 把传递函数写成 time constant form。
  2. 分解出增益、积分器、一阶极点/零点、二阶因子和 delay。
  3. 手绘 Bode magnitude plot 和 phase plot。
  4. 从 Bode 图读 gain crossover、phase crossover、GM 和 PM。
  5. 根据指定 PM 或 GM 反求增益 KK。
  6. 根据实验频率响应图反推近似传递函数。

本章考试会怎么考

题型解题动作
手绘 Bode 图标准形式 → corner frequencies → 斜率叠加 → 相位叠加
求 GM/PMPM 在 gain crossover 读，GM 在 phase crossover 读
给 PM 反求 KK先用相位找新 ωgc\omega_{gc}，再让幅值等于 1
给 GM 反求 KK先找 ωpc\omega_{pc}，再按目标裕度调整幅值
delay 影响幅值不变，相位额外减 ωT\omega T
由图反推传函低频斜率、斜率突变、corner frequency、相位校验

先用人话理解本章在讲什么

Nyquist 图把 G(jω)G(j\omega) 画在复平面里，很直观但不太方便手算。Bode 图把同一个频率响应拆成两张图：一张画幅值，一张画相位。

Bode 图的好处是乘法变加法：传递函数由几个因子相乘，dB 幅值和相位都可以逐项叠加。考试中手绘 Bode 图，本质就是把每个因子的贡献加起来。

公式速查

频率响应：

G(jω)=G(s)∣s=jωG(j\omega)=G(s)|_{s=j\omega}

幅值 dB：

20log⁡10∣G(jω)∣20\log_{10}|G(j\omega)|

相位：

∠G(jω)\angle G(j\omega)

Gain crossover frequency：

∣G(jωgc)∣=1|G(j\omega_{gc})|=1

Phase crossover frequency：

∠G(jωpc)=−180∘\angle G(j\omega_{pc})=-180^\circ

Phase margin：

PM=180∘+∠G(jωgc)PM=180^\circ+\angle G(j\omega_{gc})

Gain margin：

GM=1∣G(jωpc)∣GM=\frac{1}{|G(j\omega_{pc})|}

dB 形式：

GMdB=−20log⁡10∣G(jωpc)∣GM_{dB}=-20\log_{10}|G(j\omega_{pc})|

标准因子表

因子幅值斜率相位贡献
KK常数 20log⁡K20\log K0∘0^\circ，若 K>0K>0
ss+20+20 dB/dec+90∘+90^\circ
1/s1/s−20-20 dB/dec−90∘-90^\circ
1+s/ωc1+s/\omega_c过 ωc\omega_c 后 +20+20 dB/dec0∘→+90∘0^\circ \to +90^\circ
1/(1+s/ωc)1/(1+s/\omega_c)过 ωc\omega_c 后 −20-20 dB/dec0∘→−90∘0^\circ \to -90^\circ
二阶极点过 ωn\omega_n 后 −40-40 dB/dec0∘→−180∘0^\circ \to -180^\circ
e−sTe^{-sT}0 dB−ωT-\omega T rad

核心概念

1. Time constant form

Bode 图必须先把传递函数写成：

G(s)=K(1+s/ωz1)(1+s/ωz2)⋯sr(1+s/ωp1)(1+s/ωp2)⋯G(s)=K\frac{(1+s/\omega_{z1})(1+s/\omega_{z2})\cdots}{s^r(1+s/\omega_{p1})(1+s/\omega_{p2})\cdots}

或者用 1+Ts1+Ts 的形式。关键是把 corner frequency 读出来。

例如：

s+5=5(1+s5)s+5=5\left(1+\frac{s}{5}\right)

corner frequency 是 55 rad/s。不要直接把常数项 5 扔掉。

2. 手绘幅值图

步骤：

  1. 写低频起点。
  2. 积分器从一开始就是 −20-20 dB/dec。
  3. 每遇到一个 zero，斜率加 2020 dB/dec。
  4. 每遇到一个 pole，斜率减 2020 dB/dec。
  5. 二阶 pole/zero 斜率变化翻倍。

3. 手绘相位图

常用近似：一阶因子的相位变化从 0.1ωc0.1\omega_c 到 10ωc10\omega_c，在 ωc\omega_c 附近约为 ±45∘\pm45^\circ。

总相位就是所有因子相位相加。

标准解题模板

模板 A：手绘 Bode 图

  1. 化成 time constant form。
  2. 列出所有 corner frequencies。
  3. 计算低频增益和初始斜率。
  4. 按频率从小到大叠加斜率。
  5. 分别画 phase contributions。
  6. 标出 ωgc\omega_{gc}、ωpc\omega_{pc}。
  7. 读 GM、PM。

模板 B：给 PM 反求 KK

  1. 先忽略 KK，画/算相位。
  2. 由目标 PM 找目标相位：
∠G0(jωgc)=−180∘+PMtarget\angle G_0(j\omega_{gc})=-180^\circ+PM_{target}
  1. 求对应频率 ωgc\omega_{gc}。
  2. 令 ∣KG0(jωgc)∣=1|KG_0(j\omega_{gc})|=1。
  3. 得：
K=1∣G0(jωgc)∣K=\frac{1}{|G_0(j\omega_{gc})|}

模板 C：给 GM 反求 KK

  1. 找 phase crossover：∠G0(jωpc)=−180∘\angle G_0(j\omega_{pc})=-180^\circ。
  2. 计算 ∣G0(jωpc)∣|G_0(j\omega_{pc})|。
  3. 目标 GMGM 为：
GM=1K∣G0(jωpc)∣GM=\frac{1}{K|G_0(j\omega_{pc})|}
  1. 解 KK。

配套例题

例题 1：给 PM 反求增益

开环：

L(s)=K1s(1+s/2)L(s)=K\frac{1}{s(1+s/2)}

要求 phase margin 为 45∘45^\circ，求 KK。

不含 KK 的部分：

G0(s)=1s(1+s/2)G_0(s)=\frac{1}{s(1+s/2)}

相位：

∠G0(jω)=−90∘−tan⁡−1(ω/2)\angle G_0(j\omega)=-90^\circ-\tan^{-1}(\omega/2)

PM 要求：

PM=180∘+∠L(jωgc)=45∘PM=180^\circ+\angle L(j\omega_{gc})=45^\circ

所以：

∠G0(jωgc)=−135∘\angle G_0(j\omega_{gc})=-135^\circ −90∘−tan⁡−1(ωgc/2)=−135∘-90^\circ-\tan^{-1}(\omega_{gc}/2)=-135^\circ tan⁡−1(ωgc/2)=45∘\tan^{-1}(\omega_{gc}/2)=45^\circ ωgc=2\omega_{gc}=2

在该频率处幅值：

∣G0(j2)∣=121+(2/2)2=122|G_0(j2)|=\frac{1}{2\sqrt{1+(2/2)^2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}

要求 gain crossover 处 ∣KG0∣=1|KG_0|=1：

K=22K=2\sqrt{2}

例题 2：求 GM

开环：

L(s)=1s(1+s)(1+s/4)L(s)=\frac{1}{s(1+s)(1+s/4)}

相位：

∠L=−90∘−tan⁡−1ω−tan⁡−1(ω/4)\angle L=-90^\circ-\tan^{-1}\omega-\tan^{-1}(\omega/4)

phase crossover 条件：

tan⁡−1ω+tan⁡−1(ω/4)=90∘\tan^{-1}\omega+\tan^{-1}(\omega/4)=90^\circ

当两个反正切相加为 90∘90^\circ 时，有：

ω⋅ω4=1\omega\cdot\frac{\omega}{4}=1 ωpc=2\omega_{pc}=2

幅值：

∣L(j2)∣=121+221+(2/4)2|L(j2)|=\frac{1}{2\sqrt{1+2^2}\sqrt{1+(2/4)^2}} =1251.25=15=\frac{1}{2\sqrt{5}\sqrt{1.25}}=\frac{1}{5}

所以：

GM=11/5=5GM=\frac{1}{1/5}=5

dB 形式：

GMdB=20log⁡105≈14 dBGM_{dB}=20\log_{10}5\approx 14\text{ dB}

从实验频响反推传递函数

做这类题时按下面顺序：

  1. 看低频斜率：若一开始是 −20-20 dB/dec，说明有一个积分器。
  2. 看斜率在哪些频率改变：这些是 corner frequencies。
  3. 斜率增加说明 zero，斜率减少说明 pole。
  4. 低频幅值决定增益 KK。
  5. 用 phase plot 校验 pole/zero 数量是否合理。

易错点与扣分点

  1. 没化成 time constant form。 s+5s+5 要写成 5(1+s/5)5(1+s/5)。
  2. 幅值用错 log。 传递函数幅值用 20log⁡1020\log_{10}，不是 10log⁡1010\log_{10}。
  3. PM/GM 读反。 PM 在 ∣L∣=1|L|=1 处读相位；GM 在相位 −180∘-180^\circ 处读幅值。
  4. 以为 KK 改变相位。 正增益 KK 只上下平移 magnitude，不改变 phase。
  5. delay 处理错。 e−sTe^{-sT} 不改变幅值，只增加负相位。

自测题与答案

题 1

G(s)=10/(s+5)G(s)=10/(s+5) 的 time constant form 是什么？

答案：

s+5=5(1+s/5)s+5=5(1+s/5) G(s)=105(1+s/5)=21+s/5G(s)=\frac{10}{5(1+s/5)}=\frac{2}{1+s/5}

corner frequency 是 55 rad/s。

题 2

如果相位交越频率处 ∣L∣=0.2|L|=0.2，求 GM 和 dB。

答案：

GM=10.2=5GM=\frac{1}{0.2}=5 GMdB=20log⁡105≈14 dBGM_{dB}=20\log_{10}5\approx14\text{ dB}

题 3

若 gain crossover 处相位为 −140∘-140^\circ，PM 是多少？

答案：

PM=180∘−140∘=40∘PM=180^\circ-140^\circ=40^\circ

学习路线

先练标准因子表，再练手绘幅值斜率，最后练 GM/PM。Bode 图最怕“看懂但不会画”，一定要自己动手画几条渐近线。

和后续章节的关系

补偿器设计几乎都在 Bode 图上完成。Lead compensator 要增加 phase margin，lag compensator 要提高低频增益，判断它们有没有达到目标，靠的就是本章的 GM、PM 和 crossover frequency。