第9章 频域补偿器设计

学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. 区分 controller 和 compensator。
2. 说明 lead、lag、lead-lag compensator 分别改善什么性能。
3. 按本课程的 $\alpha>1$ 约定写出 lead/lag 的标准形式。
4. 根据零极点位置判断一个补偿器是 lead 还是 lag。
5. 用 Bode 图解释补偿前后 phase margin、低频增益和 crossover frequency 的变化。
6. 按目标相位裕度或稳态误差指标完成基本设计步骤。

本章考试会怎么考

题型	拿分点
判断 lead/lag	看 pole 和 zero 谁更靠近原点
写补偿器标准形式	必须说明本课程采用 $\alpha>1$
设计 lead	求所需相位超前 → 求 $\alpha$ → 放置零极点
设计 lag	求低频增益提升 → pole/zero 放在 crossover 以下
Bode 对比	lead 提 PM，lag 提低频增益，最后检查指标
解释作用	不要把 lead 和 lag 的功能写反

先用人话理解本章在讲什么

前面 PID 是在时域里调比例、积分、微分。补偿器设计是在频域里调开环曲线：哪里需要多一点相位，哪里需要多一点低频增益，就用零点和极点去塑形。

只调增益 $K$ 的问题是：它会把整条 Bode magnitude 图上下平移，但不会改变相位。若系统 phase margin 不够，只调 $K$ 很可能顾此失彼。Lead/lag compensator 的价值就在于：通过放置零极点，分别改变相位和幅值形状。

公式速查：本课程的 $\alpha>1$ 约定

课件定义页采用 $\alpha>1$。注意：有些频域设计教材会用 $0<\alpha<1$ 的倒数记号；考试按本课程 slides 的定义写，避免混用。

Lead compensator

$$G_c(s)=K\frac{1+s/\omega_c}{1+s/(\alpha\omega_c)} =K\alpha\frac{s+\omega_c}{s+\alpha\omega_c},\qquad \alpha>1$$

零极点：

• zero: $s=-\omega_c$，更靠近原点；
• pole: $s=-\alpha\omega_c$，更靠左。

口诀：lead：zero nearer origin, pole farther left。

最大相位超前：

$$\phi_m=\tan^{-1}\left(\frac{\alpha-1}{2\sqrt{\alpha}}\right)$$

等价：

$$\sin\phi_m=\frac{\alpha-1}{\alpha+1}$$

最大相位频率：

$$\omega_m=\sqrt{\alpha}\omega_c$$

Lag compensator

$$G_c(s)=K\alpha\frac{1+s/(\alpha\omega_c)}{1+s/\omega_c} =K\frac{s+\alpha\omega_c}{s+\omega_c},\qquad \alpha>1$$

上式中的换行只为排版；实际是：

$$G_c(s)=K\frac{s+\alpha\omega_c}{s+\omega_c}$$

零极点：

• pole: $s=-\omega_c$，更靠近原点；
• zero: $s=-\alpha\omega_c$，更靠左。

口诀：lag：pole nearer origin, zero farther left。

Lag 的相位为负。最大滞后量的大小：

$$|\phi_m|=\tan^{-1}\left(\frac{\alpha-1}{2\sqrt{\alpha}}\right)$$

相位本身可写成：

$$\phi_{m,lag}=-\tan^{-1}\left(\frac{\alpha-1}{2\sqrt{\alpha}}\right)$$

核心概念

1. Lead 补偿器

Lead 的主要作用：

• 增加正相位；
• 提高 phase margin；
• 通常提高 crossover frequency；
• 改善暂态响应和相对稳定性。

直觉：zero 先出现，给幅值增加斜率并提供相位超前；pole 后出现，把高频斜率拉回来。

2. Lag 补偿器

Lag 的主要作用：

• 提高低频增益；
• 改善稳态误差；
• 尽量少影响 crossover 附近相位；
• 可能稍微降低响应速度。

直觉：pole 更靠近原点，zero 更靠左，低频增益比高频增益大。设计时通常把 lag 的 pole/zero 放在 crossover frequency 以下，让它主要影响低频。

3. Lead-lag 补偿器

Lead-lag 可以看成 lead 和 lag 串联：

$$G_c(s)=G_{lead}(s)G_{lag}(s)$$

lead 负责相位裕度和暂态，lag 负责低频增益和稳态误差。综合题中常先设计 lead 满足 PM，再加 lag 修正稳态误差；也可能按题目要求反过来。

标准解题模板

模板 A：Lead 设计

1. 根据未补偿系统求当前 phase margin。
2. 计算所需相位超前：

$$\phi_{add}=PM_{desired}-PM_{current}+\Delta\phi$$

其中 $\Delta\phi$ 是预留的安全裕量。

3. 用：

$$\sin\phi_m=\frac{\alpha-1}{\alpha+1}$$

求 $\alpha$。 4. 选择新的 crossover frequency，通常放在最大相位频率附近。 5. 用：

$$\omega_m=\sqrt{\alpha}\omega_c$$

确定 zero 和 pole。 6. 调整增益 $K$，让新 crossover 处幅值为 0 dB。 7. 重新检查 PM/GM。

模板 B：Lag 设计

1. 根据稳态误差要求确定低频增益需要提高多少倍。
2. 选 $\alpha$ 等于所需低频增益提升倍数。
3. 把 lag 的 pole/zero 放在原 crossover frequency 以下，尽量少影响相位裕度。
4. 检查新的低频增益、crossover frequency、PM。

模板 C：判断 lead 还是 lag

看负实轴上的 pole 和 zero：

• zero 靠近原点，pole 更靠左 → lead；
• pole 靠近原点，zero 更靠左 → lag。

不要只看分子分母谁在上面，要先把它们写成 $s+a$ 的形式并画在负实轴上。

配套例题

例题 1：Lead 补偿器参数

要求设计一个 lead compensator，使最大相位超前为 $30^\circ$，且最大相位发生在 $\omega_m=5$ rad/s。采用本课程 $\alpha>1$ 约定，求 $\alpha$、zero 和 pole 位置。

由：

$$\sin\phi_m=\frac{\alpha-1}{\alpha+1}$$

代入 $\phi_m=30^\circ$：

$$\frac{\alpha-1}{\alpha+1}=0.5$$ $$\alpha-1=0.5\alpha+0.5$$ $$0.5\alpha=1.5$$ $$\alpha=3$$

最大相位频率：

$$\omega_m=\sqrt{\alpha}\omega_c$$

所以：

$$\omega_c=\frac{5}{\sqrt{3}}$$

Lead 的 zero 在：

$$s=-\omega_c=-\frac{5}{\sqrt{3}}$$

pole 在：

$$s=-\alpha\omega_c=-3\cdot\frac{5}{\sqrt{3}}=-5\sqrt{3}$$

检查： zero 更靠近原点，pole 更靠左，符合 lead。

例题 2：Lag 补偿器提高低频增益

希望低频增益提高 10 倍，但尽量不改变高频 crossover 附近形状。采用 lag compensator，取 $\alpha=10$，令 $\omega_c=0.1$ rad/s。写出补偿器并说明零极点位置。

Lag 标准形式：

$$G_c(s)=K\frac{s+\alpha\omega_c}{s+\omega_c}$$

先取 $K=1$：

$$G_c(s)=\frac{s+10(0.1)}{s+0.1}=\frac{s+1}{s+0.1}$$

pole：

$$s=-0.1$$

zero：

$$s=-1$$

低频增益：

$$G_c(0)=\frac{1}{0.1}=10$$

高频增益趋近 1。

解释： 这正是 lag 的作用：提高低频增益来改善稳态误差，但高频附近尽量不改变太多。

例题 3：为什么只调 $K$ 不够

某系统 PM 太小，但稳态误差也偏大。若只增大 $K$，低频增益会上升，稳态误差变小；但 magnitude 图整体上移，gain crossover frequency 往右移，通常相位更滞后，PM 可能更小。

更合理的策略：

1. 用 lag 提高低频增益，改善稳态误差。
2. 用 lead 增加相位，补回 phase margin。
3. 最后检查补偿后 Bode 图是否同时满足稳态和稳定裕度要求。

易错点与扣分点

1. 混用 $\alpha$ 记号。 本课程定义页用 $\alpha>1$；若看到 $0<\alpha<1$，那是倒数记号。
2. lead/lag 零极点顺序写反。 lead 是 zero 近原点；lag 是 pole 近原点。
3. 以为 lag 增加相位裕度。 Lag 主要改善低频稳态误差，会带来相位滞后；不要把它写成增加正相位。
4. 设计后不检查。 补偿器设计不是写出 $G_c$ 就结束，必须检查 PM/GM 或稳态误差是否达到指标。
5. 把 $K$ 的作用说错。 正增益 $K$ 只平移 magnitude，不改变 phase。

自测题与答案

题 1

某补偿器 zero 在 $-2$，pole 在 $-10$。这是 lead 还是 lag？

答案： zero $-2$ 更靠近原点，pole $-10$ 更靠左，所以是 lead compensator。

题 2

某补偿器 pole 在 $-0.5$，zero 在 $-5$。这是 lead 还是 lag？

答案： pole 更靠近原点，zero 更靠左，所以是 lag compensator。

题 3

采用本课程 $\alpha>1$ 约定，lead compensator 的 $\alpha=4$，$\omega_c=2$。求 zero、pole 和 $\omega_m$。

答案：

zero：

$$s=-\omega_c=-2$$

pole：

$$s=-\alpha\omega_c=-8$$

最大相位频率：

$$\omega_m=\sqrt{\alpha}\omega_c=2\times2=4\text{ rad/s}$$

题 4

Lag compensator 为什么能改善阶跃稳态误差？

答案： Lag 提高低频增益。稳态误差由低频 loop gain 决定；低频增益越大，单位阶跃误差通常越小。Lag 的设计目标是在提高低频增益的同时，把 pole/zero 放在 crossover 以下，尽量不破坏 phase margin。

学习路线

先把 lead/lag 的零极点顺序画熟，再学设计公式。补偿器设计最怕公式记了但方向反了；只要负实轴上 pole/zero 位置画对，很多错误会自动暴露。

和课程收尾的关系

频域补偿器是本课程后半部分的综合题：它同时用到 Bode 图、phase margin、gain crossover、稳态误差和闭环稳定性。做这类题时不要追求一步到位，按“未补偿系统分析 → 设计补偿器 → 补偿后检查”三步写，最稳。