第2章控制系统结构与闭环传递函数

学习目标

学完本章后，你应该能够：

区分开环控制和闭环控制，说明反馈的收益和代价。
画出 reference、error、controller、plant、sensor、disturbance 的标准框图。
推导单位负反馈、非单位负反馈和正反馈的闭环传递函数。
从文字描述中找出扰动进入点，并区分参考输入通道和扰动通道。
完成基座输入质量-弹簧-阻尼系统这类建模到传递函数的题。

本章考试会怎么考

题型	标准动作
解释开环/闭环优缺点	写反馈、扰动、参数变化、稳定性代价
从文字画框图	找 reference、error、controller、plant、sensor、disturbance
单位负反馈	$T=G/(1+G)$
非单位负反馈	$T=G/(1+GH)$
正反馈	$T=G/(1-GH)$
base excitation	相对位移/速度建模，得到 $X/Y$

先用人话理解本章在讲什么

第 1 章只讲“一个系统怎么建模”。第 2 章开始问控制问题：如果系统自然表现不好，怎么让它跟着目标走？

开环控制像“提前写好剧本”：输入给进去，系统照着做，不管输出到底对不对。闭环控制像“边看结果边修正”：输出被传感器测量，反馈回来和目标比较，误差推动控制器修正。

考试里的关键不是背概念，而是能从一段描述里画出框图。只要框图画错，后面的闭环传递函数一定错。

公式速查

单位负反馈：

\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}

非单位负反馈：

\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}

正反馈：

\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1-G(s)H(s)}

误差信号：

E(s)=R(s)-H(s)C(s)

开环 loop transfer function：

L(s)=G(s)H(s)

它后面会直接出现在 root locus、Bode、Nyquist 中。

核心概念

1. 控制系统为什么要存在

课件里强调控制系统的几个作用：

Power amplification：用小信号控制大功率设备。
Remote control：让操作者不用直接接触被控对象。
Convenience of input form：把人能给出的指令转换成系统能接受的输入。
Compensation for disturbances：外界扰动出现时，系统能自动修正。

考试简答题不要只写“闭环更好”。要写清楚：闭环能减小误差、抑制扰动、降低参数变化影响，但会增加成本、复杂度，并可能带来不稳定。

2. 标准闭环框图

R(s) ──→ ⊕ ──→ E(s) ──→ [ G_c(s) ] ──→ [ G_p(s) ] ──→ C(s)
         ↑ -                                           │
         └────────────── [ H(s) ] ←────────────────────┘

$R(s)$ ：reference input，目标值。
$E(s)$ ：error signal，误差。
$G_c(s)$ ：controller，控制器。
$G_p(s)$ ：plant，被控对象。
$H(s)$ ：sensor/feedback path，传感器或反馈通道。
$C(s)$ ：output，输出。

3. 开环与闭环

开环没有反馈：

R(s) ──→ [ controller + plant ] ──→ C(s)

它简单，但无法纠正扰动。闭环引入反馈，能根据误差修正输出，但闭环分母变成 $1+GH$ ，系统可能因为参数不合适而不稳定。

4. 从文字描述画框图

固定步骤：

找目标：题目里希望控制的量是 $R(s)$ 。
找输出：实际被测量的量是 $C(s)$ 。
找误差：通常是 $E=R-HC$ 。
找控制器：放在 error 后面。
找 plant：真正的物理系统。
找 sensor：从输出反馈回来。
找 disturbance：看扰动加在输入端、plant 前、plant 后还是输出端。
标正负号：这是框图题最容易丢分的地方。

核心公式与推导

1. 单位负反馈

单位负反馈中：

E=R-C,\qquad C=GE

代入：

C=G(R-C)=GR-GC

C(1+G)=GR

所以：

\frac{C}{R}=\frac{G}{1+G}

2. 非单位负反馈

如果反馈通道是 $H(s)$ ：

E=R-HC,\qquad C=GE

C=G(R-HC)=GR-GHC

C(1+GH)=GR

所以：

\frac{C}{R}=\frac{G}{1+GH}

3. 正反馈

正反馈时误差为：

E=R+HC

推导得到：

\frac{C}{R}=\frac{G}{1-GH}

考试提醒： 负反馈分母是 $1+GH$ ，正反馈分母是 $1-GH$ 。不要被“负反馈”这个词骗了，负反馈对应分母加号。

标准解题模板

模板 A：闭环传递函数题

标出前向通道 $G(s)$ 。
标出反馈通道 $H(s)$ 。
判断反馈正负。
套公式。
消去繁分式，整理成多项式比。
检查分母是否就是闭环特征方程。

模板 B：从文字画框图

题目通常会说“测量输出并反馈”“与参考输入比较”“存在扰动”。不要急着算，先画：

reference → summing point → controller → plant → output
                         ↑                    │
                         └──── sensor ←───────┘

扰动如果是负载、风阻、外力，通常加在 plant 附近，不是加在 reference 端。

配套例题

例题 1：非单位反馈闭环

前向通道为 $G(s)=\frac{5}{s+2}$ ，反馈通道为 $H(s)=\frac{1}{s+3}$ ，负反馈，求 $C/R$ 。

\frac{C}{R}=\frac{G}{1+GH}

代入：

\frac{C}{R}=\frac{\frac{5}{s+2}}{1+\frac{5}{(s+2)(s+3)}}

分子分母同乘 $(s+2)(s+3)$ ：

\frac{C}{R}=\frac{5(s+3)}{(s+2)(s+3)+5}

展开：

\frac{C}{R}=\frac{5s+15}{s^2+5s+11}

例题 2：基座输入质量-弹簧-阻尼系统

质量块 $m$ 通过弹簧 $k$ 和阻尼器 $c$ 连接到基座。基座位移为 $y(t)$ ，质量块位移为 $x(t)$ 。求 $X(s)/Y(s)$ 。

相对位移是 $y-x$ ，相对速度是 $\dot{y}-\dot{x}$ 。列方程：

m\ddot{x}=c(\dot{y}-\dot{x})+k(y-x)

整理：

m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=c\dot{y}+ky

Laplace 变换：

(ms^2+cs+k)X(s)=(cs+k)Y(s)

所以：

\frac{X(s)}{Y(s)}=\frac{cs+k}{ms^2+cs+k}

别丢分： 输入不是外力，而是基座位移。弹簧和阻尼器两端都在动，所以必须用相对量。

例题 3：从文字描述画框图

一个风扇速度控制系统：目标速度为 $R(s)$ ，实际速度 $C(s)$ 由传感器 $H(s)$ 测量后反馈；控制器为 $G_c(s)$ ，风扇 plant 为 $G_p(s)$ ；外界负载扰动 $N(s)$ 以反向转矩进入 plant 输入端。

框图应写成：

R ──→ ⊕ ──→ [ G_c ] ──→ ⊕ ──→ [ G_p ] ──→ C
      ↑ -              ↑ -                 │
      └──── [ H ] ←────────────────────────┘
                       N

这里 $N$ 是负号进入第二个求和点。后面求扰动响应时，不能把 $N$ 当成 reference input。

易错点与扣分点

把反馈通道乘进分子。 $G/(1+GH)$ 的分子是 $G$ ，不是 $GH$ 。
正负反馈符号写反。 负反馈分母加号，正反馈分母减号。
扰动入口画错。 负载扰动通常在 plant 附近进入，不在 reference 端。
sensor 忘记写。 非单位反馈时 $H(s)$ 必须保留。
概念题写空话。 说“闭环更稳定”不总是对。闭环能改善性能，但设计不好也会不稳定。

自测题与答案

题 1

$G(s)=\frac{10}{s(s+2)}$ ，单位负反馈，求闭环传递函数。

答案：

T=\frac{G}{1+G}=\frac{\frac{10}{s(s+2)}}{1+\frac{10}{s(s+2)}}=\frac{10}{s^2+2s+10}

题 2

$G(s)=\frac{4}{s+1}$ ，单位正反馈，求闭环传递函数，并判断是否稳定。

答案：

T=\frac{G}{1-G}=\frac{\frac{4}{s+1}}{1-\frac{4}{s+1}}=\frac{4}{s-3}

极点 $s=3$ 在右半平面，不稳定。

题 3

闭环系统为什么能抗扰动？

答案： 因为输出被测量后反馈回来，扰动导致输出偏离目标时，误差信号会变化，控制器会产生修正动作。但这不代表闭环永远稳定；反馈同时改变闭环特征方程，参数不合适时可能振荡或发散。

学习路线

本章先把闭环公式推一遍，再练从文字画框图。不要跳过画图直接套公式；后面所有复杂框图、PID、Nyquist 都依赖你能正确识别 $G(s)H(s)$ 。

和后续章节的关系

第 3 章会把多个方块和多环反馈化简成这里的标准形式；第 4 章看闭环分母判断稳定性；第 6 章以后直接把 $G(s)H(s)$ 当作 root locus、Bode 和 Nyquist 的分析对象。