第2章控制系统分析基础

学习目标

能区分开环控制系统和闭环（反馈）控制系统，说出各自的优缺点
会画系统的框图（block diagram），理解加法点、分支点、方块的含义
掌握串联、并联两种基本连接方式的等效传递函数
能从物理系统（如电机转速控制）出发，画出框图并推导闭环传递函数
理解闭环传递函数 $T(s) = G(s)/[1+G(s)H(s)]$ 的推导过程，知道每个符号是什么
了解控制系统设计的一般流程

先用人话理解本章在讲什么

这一章的核心问题其实就一句话：怎么让一个系统按照我想要的方式工作？

比如说你想让电风扇转到某个转速，最简单的做法是直接给一个固定电压——转速大概差不多就行了。这种”我给输入，你随便输出”的方式就是开环控制。它的好处是简单便宜，但问题是：如果电压波动了、风扇老化了、风吹过来阻力变了，转速就偏了，而且系统根本不知道偏了。

更聪明的做法是加一个传感器，实时测出当前转速，和你想要的转速比较一下，差多少就补多少。这就是闭环控制（也叫反馈控制）。闭环的好处是系统能自己纠偏，代价是多了一个传感器，系统也更复杂，搞不好还可能振荡不稳定。

整章就是在讲这两种控制方式的结构怎么画、数学上怎么表达、各自的利弊。这章的概念直接为后面第3章到第6章打基础，所以需要认真过一遍。

核心概念

1. 控制系统的基本定义

控制系统（Control System）：用来管理、指挥、调节其他设备或系统的一套装置。核心目标是让输出（output）尽可能按预期行为运行，即使存在外部干扰（disturbance）。

用大白话说：你给一个期望值（比如”转速 3000 rpm”），控制系统负责让实际输出（比如”当前转速 2980 rpm”）尽量接近这个期望值。

2. 开环控制系统（Open-Loop）

开环：输出不影响控制动作，系统不检测输出，也不做任何修正。

参考输入 R(s) → [ 控制器 + 被控对象 ] → 输出 C(s)

优点：

结构简单，元件少，成本低
不会因为反馈回路设计不当而产生振荡，天然稳定

缺点：

完全无法应对干扰（disturbance）——如果外部条件变了，输出就偏了，系统浑然不知
没有误差修正能力，元件参数漂移（如老化、温度变化）会直接反映到输出上

典型例子： 定时洗衣机——你设好程序，它按固定流程跑，不管衣服实际干没干。

3. 闭环控制系统（Closed-Loop / Feedback）

闭环：输出被测量，然后反馈回来与参考输入比较，根据误差来调整控制动作。

        ┌──────────────────────────────┐
        │                              │
        ↓                              │
参考输入 R(s) → ⊕ → E(s) → [ 控制器 ] → [ 被控对象 G(s) ] → 输出 C(s)
             ↑ -                                         │
             │                                           │
             └───────── [ 传感器 H(s) ] ─────────────────┘

优点：

能检测并修正误差：不管干扰从哪来，系统都能”看见”输出偏了多少，然后补回来
对参数变化（元件老化、温度漂移等）的灵敏度更低
改善系统的暂态响应（transient response），比如更快的响应速度、更小的超调

缺点：

结构更复杂，多了一个传感器和反馈通道
成本更高
如果设计不当，系统可能不稳定（振荡、发散）

典型例子： 恒温空调——温度传感器不断测温，和设定温度比较，差多少就制冷/制热多少。

4. 框图（Block Diagram）基本元素

框图是控制系统的”电路图”，用四种基本元素表示信号关系：

元素	符号	作用
方块（Block）	`[ G(s) ]`	表示一个系统/组件的传递函数。输入从左边进，输出从右边出
信号线（Signal line）	`→`	带箭头的直线，表示信号的流向
加法点（Summing point）	`⊕`	把两个或多个信号加减。注意每个输入必须标 `+` 或 `-`
分支点（Branch point）	`·`	一个信号分成两路或多路，各路信号完全相同

5. 串联与并联

串联（Series / Cascade）： 两个方块首尾相连，信号依次通过。

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) \times G_2(s)$

就像两个电阻串联，总电阻等于两者相乘（这里是传递函数相乘，不是物理电阻）。

并联（Parallel）： 两个方块共享相同的输入，输出相加。

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) + G_2(s)$

易错提醒： 串联是相乘，不是相加；并联是相加，不是相乘。考试时最常见的低级错误就是把这两个搞反了。

核心公式与推导

公式 1：单个方块的输入输出关系

$C(s) = G(s) \cdot R(s)$

$R(s)$ ：输入信号的拉普拉斯变换（reference input）
$C(s)$ ：输出信号的拉普拉斯变换（controlled output）
$G(s)$ ：传递函数（transfer function）

怎么用： 知道传递函数和输入，直接相乘得输出。传递函数是系统本身的属性，与输入无关。

公式 2：串联等效

两个方块 $G_1(s)$ 和 $G_2(s)$ 串联：

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) \cdot G_2(s)$

推导： 设中间信号为 $X(s)$ ，则 $X(s) = G_1(s)R(s)$ ， $C(s) = G_2(s)X(s)$ ，代入得 $C(s) = G_2(s)G_1(s)R(s)$ 。

公式 3：并联等效

两个方块 $G_1(s)$ 和 $G_2(s)$ 并联：

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) + G_2(s)$

公式 4：闭环传递函数（单位负反馈）

这是本章最核心的公式。推导过程如下：

设误差 $E(s) = R(s) - C(s)$ ，输出 $C(s) = G(s) \cdot E(s)$ 。

把第一式代入第二式：

$C(s) = G(s)[R(s) - C(s)]$

展开：

$C(s) = G(s)R(s) - G(s)C(s)$

移项：

$C(s) + G(s)C(s) = G(s)R(s)$

$C(s)[1 + G(s)] = G(s)R(s)$

两边除以 $R(s)$ 和 $[1+G(s)]$ ：

$\boxed{T(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)}}$

怎么记： “开环除以 1 加开环”，中文口诀就是 “G 除以 1 加 G”。

常见错误：

有人把 $1+G(s)$ 写成 $1-G(s)$ ——注意这里是负反馈，所以是 $1+G$ 。如果是正反馈则变成 $1-G$ ，但考试中绝大多数情况是负反馈。
分子是 $G(s)$ ，不是 $G(s)H(s)$ 。

公式 5：闭环传递函数（非单位反馈）

当反馈通道有传递函数 $H(s)$ 时：

$\boxed{T(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}}$

推导：误差 $E(s) = R(s) - H(s)C(s)$ ，输出 $C(s) = G(s)E(s)$ 。

代入： $C(s) = G(s)[R(s) - H(s)C(s)] = G(s)R(s) - G(s)H(s)C(s)$

移项： $C(s)[1 + G(s)H(s)] = G(s)R(s)$

怎么用： 给你一个框图，先识别 $G(s)$ （前向通道）和 $H(s)$ （反馈通道），然后套公式。 $G(s)H(s)$ 这个乘积叫做开环传递函数（open-loop transfer function），它在后续章节中会反复出现。

和单位反馈的关系： 单位反馈就是 $H(s)=1$ 的特殊情况，退化为公式 4。

公式 6：分贝增益（补充）

有时用分贝（dB）表示增益：

$\text{dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$

这个在后续频域分析中会用到，先知道有这回事就行。

配套例题

例 1：串联传递函数

两个系统串联， $G_1(s) = \frac{2}{s+1}$ ， $G_2(s) = \frac{3}{s+2}$ 。

求：串联后总的传递函数。

解：

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) \cdot G_2(s) = \frac{2}{s+1} \cdot \frac{3}{s+2} = \frac{6}{(s+1)(s+2)}$

注意分子相乘、分母相乘，不是相加。如果错误地把分子加起来得到 $5/[(s+1)(s+2)]$ 就错了。

例 2：并联传递函数

两个系统并联， $G_1(s) = \frac{1}{s+1}$ ， $G_2(s) = \frac{2}{s+3}$ 。

求：并联后总的传递函数。

解：

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) + G_2(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{2}{s+3}$

通分：

$= \frac{(s+3) + 2(s+1)}{(s+1)(s+3)} = \frac{3s + 5}{(s+1)(s+3)}$

易错点： 有人并联时还去做乘法——并联就是加，不要想复杂了。

例 3：单位负反馈闭环传递函数

已知前向通道传递函数 $G(s) = \frac{10}{s(s+2)}$ ，单位负反馈。

求：闭环传递函数 $T(s)$ 。

解：

$T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)} = \frac{\frac{10}{s(s+2)}}{1 + \frac{10}{s(s+2)}}$

分子分母同时乘以 $s(s+2)$ （消去繁分式）：

$T(s) = \frac{10}{s(s+2) + 10} = \frac{10}{s^2 + 2s + 10}$

检查要点： 分母一定是 $s(s+2) + 10$ ，不是 $s(s+2) - 10$ 。负反馈，分母里是加号。展开分母时注意不要算错。

例 4：电机转速控制系统

这是一个从 Lecture slides 中来的综合例题。

系统组成：

放大器： $G_1(s) = K_1$
电机： $G_2(s) = \frac{K_2}{\tau s + 1}$
转速传感器（测速发电机）： $H(s) = K_3$

开环情况（无反馈）：

总传递函数 = 三者串联：

$G_{\text{open}}(s) = K_1 \cdot \frac{K_2}{\tau s + 1} = \frac{K_1 K_2}{\tau s + 1}$

注意：转速传感器在开环中只是用来读数，并不参与控制——系统不会根据传感器的读数来调整放大器。

闭环情况（负反馈）：

前向通道： $G(s) = K_1 \cdot \frac{K_2}{\tau s + 1} = \frac{K_1 K_2}{\tau s + 1}$

反馈通道： $H(s) = K_3$

闭环传递函数：

$T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)} = \frac{\frac{K_1 K_2}{\tau s + 1}}{1 + \frac{K_1 K_2 K_3}{\tau s + 1}}$

分子分母同乘 $(\tau s + 1)$ ：

$T(s) = \frac{K_1 K_2}{\tau s + 1 + K_1 K_2 K_3}$

这道题的启示： 闭环后分母多了一项 $K_1 K_2 K_3$ ，这会改变系统的动态特性（响应速度、稳态精度等），具体怎么变是后面几章的事。但至少现在能看出来：闭环系统的分母变”复杂”了，这意味着反馈确实改变了系统的行为。

例 5：非单位反馈

$G(s) = \frac{5}{s+1}$ ， $H(s) = \frac{2}{s+3}$ ，负反馈。

求：闭环传递函数。

解：

$T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)} = \frac{\frac{5}{s+1}}{1 + \frac{5}{s+1} \cdot \frac{2}{s+3}} = \frac{\frac{5}{s+1}}{1 + \frac{10}{(s+1)(s+3)}}$

分子分母同乘 $(s+1)(s+3)$ ：

$T(s) = \frac{5(s+3)}{(s+1)(s+3) + 10} = \frac{5s + 15}{s^2 + 4s + 13}$

重点难点总结

重点/难点	核心要点
开环 vs 闭环的根本区别	闭环有反馈，输出能影响控制动作；开环没有反馈，输出对控制动作毫无影响
框图的阅读顺序	信号沿箭头方向从左到右（前向通道），反馈沿箭头从右到左（反馈通道）
串联相乘 vs 并联相加	串联： $G_1 \times G_2$ ；并联： $G_1 + G_2$ 。考试最常犯的低级错误
闭环传递函数推导	从 $E = R - C$ 和 $C = GE$ 出发，代数推导。不要死记，理解推导过程更可靠
$1 + G(s)H(s)$ 的含义	负反馈 → 加号；正反馈 → 减号。考试中默认负反馈，除非题目明确说”正反馈”
分母展开要仔细	繁分式消分母时，分子分母同乘同一个多项式，不要漏乘
闭环的代价与收益	收益：抗干扰、减小参数灵敏度、改善暂态响应；代价：更复杂、更贵、可能不稳定
开环传递函数 vs 闭环传递函数	$G(s)H(s)$ 是开环传递函数； $G/[1+GH]$ 是闭环传递函数，两者完全不同

自测题与答案

题目 1：

开环控制系统有什么根本性的局限？

答案：

开环系统没有反馈通道，无法检测实际输出。因此，当存在外部干扰或系统参数发生变化（如元件老化、温度漂移）时，输出会偏离期望值，系统没有任何自动修正能力。说白了，开环系统是”盲目”的——它只管按指令执行，不管实际效果如何。

题目 2：

画出单位负反馈系统的框图，并写出闭环传递函数。

答案：

框图：

R(s) → ⊕ → E(s) → [ G(s) ] → C(s)
       ↑ -                    │
       └──────────────────────┘

推导： $E(s) = R(s) - C(s)$ ， $C(s) = G(s)E(s)$

$C(s) = G(s)[R(s) - C(s)] \Rightarrow C(s)(1 + G(s)) = G(s)R(s)$

$T(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)}$

题目 3：

$G_1(s) = \frac{1}{s+1}$ 和 $G_2(s) = \frac{1}{s+2}$ 串联后的传递函数是什么？如果并联呢？

答案：

串联：

$G_{\text{series}}(s) = \frac{1}{s+1} \times \frac{1}{s+2} = \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s^2+3s+2}$

并联：

$G_{\text{parallel}}(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{1}{s+2} = \frac{(s+2)+(s+1)}{(s+1)(s+2)} = \frac{2s+3}{(s+1)(s+2)}$

题目 4：

$G(s) = \frac{4}{s+2}$ ，单位正反馈，求闭环传递函数。

答案：

正反馈时 $E(s) = R(s) + C(s)$ （注意是加号）， $C(s) = G(s)E(s)$

$C(s) = G(s)[R(s) + C(s)] = G(s)R(s) + G(s)C(s)$

$C(s)[1 - G(s)] = G(s)R(s)$

$T(s) = \frac{G(s)}{1 - G(s)} = \frac{\frac{4}{s+2}}{1 - \frac{4}{s+2}} = \frac{4}{(s+2)-4} = \frac{4}{s-2}$

注意分母是 $s - 2$ ，极点在右半平面（ $s = +2$ ），系统不稳定。这就是为什么实际工程中几乎总是用负反馈——正反馈容易导致不稳定。

题目 5：

$G(s) = \frac{K}{s(s+1)}$ ， $H(s) = 1$ （单位负反馈），求闭环传递函数，并说明分母中 $K$ 的取值如何影响分母。

答案：

$T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)} = \frac{\frac{K}{s(s+1)}}{1+\frac{K}{s(s+1)}} = \frac{K}{s(s+1)+K} = \frac{K}{s^2+s+K}$

分母 $s^2 + s + K$ 的性质随 $K$ 变化：

$K > 0$ 时，两根实部均为负（利用 $s = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4K}}{2}$ ），系统稳定
$K$ 越大，自然频率 $\omega_n = \sqrt{K}$ 越高，响应越快
$K$ 过大时，阻尼比 $\zeta = \frac{1}{2\sqrt{K}}$ 变小，超调增大

这道题已经触及第 4 章（稳定性分析）和第 5 章（暂态响应）的内容，这里先建立直觉：反馈增益 $K$ 不是越大越好，需要权衡。

题目 6：

在电机转速控制系统（例 4）中，如果电机的时间常数 $\tau$ 增大（比如电机变旧了），开环输出和闭环输出分别受什么影响？

答案：

开环传递函数 $G_{\text{open}}(s) = \frac{K_1 K_2}{\tau s + 1}$ 。 $\tau$ 增大意味着系统响应变慢——对输入变化的跟随变迟钝，而且稳态时（ $s=0$ ）的增益 $K_1 K_2$ 不受影响。

闭环传递函数 $T(s) = \frac{K_1 K_2}{\tau s + 1 + K_1 K_2 K_3}$ 。 $\tau$ 增大同样使响应变慢，但由于分母中有 $K_1 K_2 K_3$ 这一项，闭环系统对 $\tau$ 的灵敏度更低——换句话说， $\tau$ 变了对闭环输出的影响比开环小。这就是闭环控制”降低参数灵敏度”的具体体现。

学习路线

先通读一遍，建立整体印象： 这章概念不多，核心就是”开环 vs 闭环”和”框图怎么画”。先不纠结数学，把物理直觉建立起来。
手推一遍闭环传递函数： 从 $E = R - C$ 和 $C = GE$ 出发，自己推一遍 $T(s) = G/(1+G)$ 。不要直接背公式——理解推导过程后，遇到变体（非单位反馈、正反馈）都不会慌。
做框图等效练习： 拿几个简单的框图（串联、并联、反馈），练习化简成单个传递函数。先画图，再算，再和答案对。
做例题 4（电机转速控制）： 这道题从物理系统出发，把本章的主要知识点串了一遍，是理解本章最好的练习。
做自测题： 做完后重点检查：(a) 串联和并联有没有搞反；(b) 分母里是加号还是减号；(c) 繁分式化简有没有漏乘。
预习后续章节： 第 3 章会讲系统的时间响应分析，第 4 章会讲稳定性。本章的闭环传递函数在后面每章都会用到，所以这里一定要搞扎实。

和后续章节的关系

后续章节	与本章的关联
第3章时间响应分析	用本章推导出的闭环传递函数 $T(s)$ ，分析系统在阶跃、斜坡等输入下的时域响应。 $T(s)$ 的分母（特征方程）决定响应的形状
第4章稳定性分析	看 $T(s)$ 分母的根（极点）在复平面上的位置：左半平面稳定，右半平面不稳定，虚轴上临界稳定。本章例 5 已经触及了这个问题
第5章暂态响应性能指标	超调量、上升时间、调节时间等指标全部从 $T(s)$ 出发计算，和分母的系数直接相关
第6章稳态误差分析	本章的误差定义 $E(s) = R(s) - C(s)$ （单位反馈）是第 6 章稳态误差计算的起点
第7章根轨迹	画根轨迹时，起点就是本章的 $G(s)H(s)$ 的极点，终点是零点， $1+G(s)H(s)=0$ 是特征方程
第8章频域分析	本章的开环传递函数 $G(s)H(s)$ 用 $s = j\omega$ 替换后得到频域响应，是 Bode 图和 Nyquist 图的基础