第3章框图化简与扰动分析

学习目标

学完本章后，你应该能够：

熟练使用串联、并联、反馈三类基本化简规则。
正确移动求和点和分支点，不把补偿因子写反。
对多环复杂框图按“先内环、后外环”的顺序化简。
对含扰动系统分别求 $C/R$ 、 $C/N$ ，再用叠加法组合。
解释框图化简对分析和设计有什么帮助，而不是误以为“化简本身改善物理性能”。

本章考试会怎么考

题型	解题关键词
简单串并联	串联相乘，并联按正负号相加
单反馈环	负反馈 $G/(1+GH)$ ，正反馈 $G/(1-GH)$
求和点移动	跨过 $G$ 往前移乘 $1/G$ ，往后移乘 $G$
分支点移动	跨过 $G$ 往前移乘 $G$ ，往后移乘 $1/G$
多环框图	先消最内层回路，再处理外环
含扰动系统	分别令 $N=0$ 、 $R=0$ ，求两个通道

先用人话理解本章在讲什么

真实控制系统的框图经常不是一个简单的 $G/(1+GH)$ 。里面会有多个求和点、多个反馈环、分支点和扰动输入。框图化简就是把这堆结构一步一步变成一个等效传递函数。

它的本质不是“让系统真的变简单”，而是让你能看出系统的闭环分母和输入输出关系。化简之后才能继续做稳定性、稳态误差、root locus 和 Bode 分析。

公式速查

基本连接

结构	等效传递函数
串联	$G_1G_2$
并联相加	$G_1+G_2$
并联相减	$G_1-G_2$
负反馈	$\frac{G}{1+GH}$
正反馈	$\frac{G}{1-GH}$

移动规则

元素	移动方向	补偿因子
求和点	从 $G$ 后移到 $G$ 前	被移动支路乘 $1/G$
求和点	从 $G$ 前移到 $G$ 后	被移动支路乘 $G$
分支点	从 $G$ 前移到 $G$ 后	被移动支路乘 $1/G$
分支点	从 $G$ 后移到 $G$ 前	被移动支路乘 $G$

记忆方法： 不要硬背“前后”。每次都写移动前后的信号是否相等。分支点要保证分出去的信号值不变；求和点要保证求和后的输出不变。

核心概念

1. 串联与并联

串联：

R → [G1] → [G2] → C

\frac{C}{R}=G_1G_2

并联：

        ┌→ [G1] ┐
R ──────┤       ⊕ → C
        └→ [G2] ┘

\frac{C}{R}=G_1+G_2

若其中一路进入求和点是负号，则改成 $G_1-G_2$ 。

2. 反馈环

负反馈：

T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}

正反馈：

T(s)=\frac{G(s)}{1-G(s)H(s)}

闭环特征方程就是分母为零：

1+G(s)H(s)=0

这句话后面会反复出现。

3. 扰动分析

如果系统有参考输入 $R(s)$ 和扰动 $N(s)$ ，输出通常写成：

C(s)=T_R(s)R(s)+T_N(s)N(s)

其中：

T_R(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\bigg|_{N=0},\qquad T_N(s)=\frac{C(s)}{N(s)}\bigg|_{R=0}

不要把两个输入混在一起套一个单输入公式。

标准解题模板

模板 A：复杂框图化简

标出所有求和点的正负号。
找最内层反馈环，先化简。
合并明显串联、并联结构。
如果结构交叉，再移动求和点或分支点。
每移动一次都写补偿因子。
最后整理成 $C/R$ ，并检查分母是否合理。

模板 B：含扰动题

令 $N=0$ ，只求参考输入到输出的传递函数。
令 $R=0$ ，只求扰动到输出的传递函数。
注意扰动进入点前后的方块位置。
写出总输出：

C=T_RR+T_NN

如果题目问稳态误差，再对对应通道用终值定理。

配套例题

例题 1：嵌套双环化简

框图如下：

R → ⊕1 → [G1] → ⊕2 → [G2] → C
    ↑-             ↑-          │
    └──── [H1] ←────┴──────────┘
                  ↑
             单位内反馈

内环是 $G_2$ 的单位负反馈，外环反馈为 $H_1$ 。

第 1 步：先化内环。

G_{in}=\frac{G_2}{1+G_2}

第 2 步：外环前向通道。

G_{forward}=G_1\frac{G_2}{1+G_2}

第 3 步：套外环负反馈。

T=\frac{G_1\frac{G_2}{1+G_2}}{1+G_1\frac{G_2}{1+G_2}H_1}

分子分母同乘 $1+G_2$ ：

T=\frac{G_1G_2}{1+G_2+G_1G_2H_1}

检查： 分母里有 $1+G_2$ ，说明内环被保留进等效分母；还有 $G_1G_2H_1$ ，说明外环也起作用。

例题 2：含扰动系统

系统如下：

R → ⊕ → [G1] → ⊕ → [G2] → C
    ↑-          ↑-          │
    └── [H] ←───────────────┘
                ↑
                N

求 $C/R$ 和 $C/N$ 。

参考输入通道：令 $N=0$ 。

前向通道是 $G_1G_2$ ，反馈通道是 $H$ ：

\frac{C}{R}=\frac{G_1G_2}{1+G_1G_2H}

扰动通道：令 $R=0$ 。

从扰动进入点到输出只经过 $G_2$ 。反馈回来的信号经 $H$ 和 $G_1$ 回到扰动求和点，所以分母仍是 $1+G_1G_2H$ ：

\frac{C}{N}=\frac{G_2}{1+G_1G_2H}

若图中扰动是负号进入，则结果要带负号。一定要按图上的符号写。

例题 3：框图化简的概念题

问：框图化简如何优化控制系统性能？

标准答法不要写成“化简之后系统物理性能变好”。更准确的说法是：

框图化简本身不改变物理系统，它只是把复杂结构等效成更容易分析的传递函数。通过化简，我们可以识别闭环特征方程、稳定性、稳态误差和扰动通道，再据此调整控制器参数或结构。真正改善性能的是后续控制器设计，不是化简这个动作本身。

易错点与扣分点

试图一步到位。 多环框图必须从内往外，不要脑算整个图。
反馈正负号漏看。 负反馈分母加号，正反馈分母减号。
求和点移动补偿写反。 移动后代入一个信号检查，最保险。
扰动通道分子写错。 扰动从哪里进入，分子就从哪里到输出。
把化简当作物理优化。 化简只帮助分析，不改变系统本身。

自测题与答案

题 1

$G_1$ 、 $G_2$ 串联后再与 $G_3$ 并联相减，求等效传递函数。

答案：

G_{eq}=G_1G_2-G_3

题 2

负反馈环前向通道 $G=\frac{10}{s+1}$ ，反馈 $H=2$ ，求等效传递函数。

答案：

T=\frac{\frac{10}{s+1}}{1+\frac{20}{s+1}}=\frac{10}{s+21}

题 3

求和点从 $G$ 后移到 $G$ 前，被移动支路应乘什么？

答案： 乘 $1/G$ 。因为原来被移动支路没有经过 $G$ ，移到 $G$ 前之后会被 $G$ 一起处理，所以要先除以 $G$ 抵消。

题 4

含扰动系统中，如果 $C/R$ 的分母是 $1+G_1G_2H$ ， $C/N$ 的分母一定一样吗？

答案： 对同一个闭环结构、同一个扰动进入点在环内的常见线性系统，分母通常相同，因为闭环特征方程由内部反馈结构决定；但分子不同，因为输入进入位置不同。考试中仍要按图推导，不要死背。

学习路线

先背公式不够，要做图。建议每做一道题都在旁边写“当前前向通道、反馈通道、内环还是外环”。框图题的速度来自流程熟，不来自心算。

和后续章节的关系

第 4 章要从化简后的闭环分母判断稳定性；第 5 章要把 controller 放进前向通道；第 6 章以后画 root locus、Bode、Nyquist 时，分析对象就是本章化简出来的 $G(s)H(s)$ 。