第3章框图化简 · Latent Note

学习目标

学完本章后，你应该能够：

说出框图化简的核心目标：把复杂多环框图化简为单一传递函数。
推导并正确使用七条框图化简规则。
在实际框图中正确判断该用哪条规则、该先移动哪个点。
对含扰动的系统，用叠加原理分别求参考输入和扰动对输出的贡献。
独立完成中等复杂度的框图化简题目。

先用人话理解本章在讲什么

前两章学了微分方程和传递函数，知道了”系统怎么表示”。但真实的控制系统不是一个方程，而是一堆模块串在一起、并联、反馈。要把这种框图算成一个传递函数，就得有规则。

框图化简的本质就一句话：用等效变换把复杂框图一步一步缩成一个方块。

说白了，这章教的是”系统方块图的代数运算”。和你在代数里合并同类项、消元是一个逻辑，只不过这里处理的是传递函数而不是数字。

初学者最容易卡住的地方：

不知道该移什么。 框图看起来像一团乱麻，不知道从哪里下手。
移动补偿方向搞反。 移求和点和移分支点的补偿方式不一样，容易记混。
负反馈公式符号写错。 闭环传递函数的分母里是 $1+GH$ 还是 $1-GH$ ，取决于反馈是负还是正。

学这一章不需要太多前置知识，只要熟悉传递函数的乘法和加法运算即可。

核心概念

3.1 框图的基本元素

框图由四种基本元素组成：

方块（Block）：表示传递函数 $G(s)$ ，输入乘以 $G(s)$ 得到输出。
求和点（Summing Point）：把多路信号加减，输出它们的代数和。用 $\oplus$ 或圆圈加正负号表示。
分支点（Takeoff Point / Branch Point）：把一路信号同时分给多个去路。分支出来的信号和原信号完全相同。
信号线（Signal Line）：带箭头的线，表示信号从左往右（或其他方向）流动。

直观理解： 信号线是电线，方块是放大器，求和点是加法电路，分支点是并联接线。整个框图画的就是一个系统的信号流图。

容易混淆的点：

分支点只是”复制”信号，不改变信号值。
求和点的正负号要严格按图标注，不要默认都是正的。

3.2 规则1：串联（级联）化简

一句话理解： 两个方块串在一起，可以合成一个方块，传递函数等于两者相乘。

正式规则：

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) \times G_2(s) \times \cdots \times G_n(s)$

信号流描述：

R(s) ──→ [ G₁(s) ] ──→ [ G₂(s) ] ──→ C(s)

等价于：

R(s) ──→ [ G₁(s)·G₂(s) ] ──→ C(s)

直观理解： 信号先过 $G_1$ ，结果再过 $G_2$ ，最终输出就是 $R \cdot G_1 \cdot G_2$ 。

怎么用： 看到多个方块直接相连（中间没有分支点、求和点），直接全部乘起来。

常见错误：

传递函数的乘法顺序不影响结果（乘法可交换），但不要把并联的方块当串联来乘。

3.3 规则2：并联求和化简

一句话理解： 两路信号从同一个分支点分开，各自经过方块后在求和点汇合，可以合并为一个方块。

正式规则：

如果两路分别经过 $G_1(s)$ 和 $G_2(s)$ ，然后在求和点相加（两个都是正号），则：

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) + G_2(s)$

如果其中一路是负号（减法），则：

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) - G_2(s)$

信号流描述：

        ┌──→ [ G₁(s) ] ──⊕──→ C(s)
R(s) ──┤                     ↑
        └──→ [ G₂(s) ] ─────┘
                 (正号)

等价于：

R(s) ──→ [ G₁(s) + G₂(s) ] ──→ C(s)

直观理解： 一个信号分两路处理再加起来，效果等于一个方块同时做两种处理再求和。

常见错误：

只有从同一个信号分支出来、最后汇合到同一个求和点的，才能用并联规则。
注意求和点的正负号，别漏掉减法。

3.4 规则3：求和点前移（从方块后移到方块前）

一句话理解： 如果一个求和点在方块 $G(s)$ 的输出端（后面），想把它移到方块的输入端（前面），那么被移过去的那条支路要额外乘以 $G(s)$ ，然后在原来位置加一个 $1/G(s)$ 来补偿。

推导：

原始结构：

        ┌──→ [ G(s) ] ──⊕──→ Y
X₁ ────┤               ↑
        └──→ X₂ ────────┘

原始输出： $Y = G \cdot X_1 + X_2$

等价结构（求和点移到 $G$ 前面）：

        ┌──→ X₁ ────────⊕──→ [ G(s) ] ──→ Y
X₁ ────┤               ↑
        └──→ X₂ ──→ [ 1/G(s) ]

等价输出： $Y = G \cdot (X_1 + X_2/G) = G \cdot X_1 + X_2$ ，与原始相同。

补偿规则：求和点从方块后面移到前面时，被移过去的支路要乘以 $1/G(s)$ 。

等等，这里需要更仔细地想。让我重新表述。

正确的推导逻辑是：

原始： $Y = G(s) \cdot X_1 + X_2$

目标是把求和点移到 $G$ 前面，让 $G$ 只处理 $X_1$ ：

X₁ ──→ [ G(s) ] ──→ ⊕ ──→ Y
                          ↑
X₂ ──→ [ ? ] ────────────┘

要让输出不变： $Y = G \cdot X_1 + G \cdot ? \cdot X_2 = G \cdot X_1 + X_2$

所以 $G \cdot ? \cdot X_2 = X_2$ ，即 $? = 1/G(s)$ 。

不对，让我重新看这个。实际上规则3的正确表述是：

原始结构： 求和点在 $G(s)$ 的后面（输出端）：

X₁ ──→ [ G(s) ] ──⊕──→ Y
                    ↑
X₂ ────────────────┘

$Y = G(s) \cdot X_1 + X_2$

要把求和点移到 $G(s)$ 前面： 那么 $X_2$ 这条支路需要先乘以 $G(s)$ ，因为信号在进入 $G$ 之前就被加入了。

等价结构：

X₁ ──→ ⊕ ──→ [ G(s) ] ──→ Y
        ↑
X₂ ──→ [ G(s) ]

$Y = G(s) \cdot (X_1 + X_2) = G \cdot X_1 + G \cdot X_2$

这不对，因为原始是 $G \cdot X_1 + X_2$ ，不是 $G \cdot X_1 + G \cdot X_2$ 。

所以正确的做法是：

原始： $Y = G(s) \cdot X_1 + X_2$

要把求和点前移，需要让 $X_2$ 支路加上 $1/G(s)$ ：

X₁ ──→ ⊕ ──→ [ G(s) ] ──→ Y
        ↑
X₂ ──→ [ 1/G(s) ]

$Y = G(s) \cdot (X_1 + X_2/G) = G \cdot X_1 + X_2$ ✓

正式规则：求和点从方块 $G(s)$ 后面移到前面时，被移动的支路（ $X_2$ ）必须乘以 $1/G(s)$ 。

怎么用： 当你想把内环的求和点移到外环方块的前面时，就在 $X_2$ 那条支路上插入 $1/G(s)$ 。

常见错误：

补偿方向搞反。求和点从后往前移， $X_2$ 要乘 $1/G$ ；从前往后移， $X_2$ 要乘 $G$ 。（规则4）

3.5 规则4：求和点后移（从方块前移到方块后）

一句话理解： 如果一个求和点在方块 $G(s)$ 的输入端（前面），想移到输出端（后面），被移过去的那条支路要乘以 $G(s)$ 。

推导：

原始结构：

X₁ ──→ ⊕ ──→ [ G(s) ] ──→ Y
        ↑
X₂ ─────┘

原始输出： $Y = G(s) \cdot (X_1 + X_2) = G \cdot X_1 + G \cdot X_2$

等价结构（求和点移到 $G$ 后面）：

X₁ ──→ [ G(s) ] ──⊕──→ Y
                     ↑
X₂ ──→ [ G(s) ] ────┘

等价输出： $Y = G \cdot X_1 + G \cdot X_2$ ，与原始相同。 ✓

正式规则：求和点从方块 $G(s)$ 前面移到后面时，被移动的支路必须乘以 $G(s)$ 。

常见错误：

和规则3搞混。记住：求和点往后移，支路乘 $G$ ；往前移，支路乘 $1/G$ 。

3.6 规则5：分支点前移（从方块前移到方块后）

一句话理解： 分支点原来在方块 $G(s)$ 前面，想移到方块后面，被移过去的支路必须乘以 $1/G(s)$ 。

推导：

原始结构：

            ┌──→ Y₁ = X
X ──→ [ G(s) ] ──→ Y₂ = G·X
  ↑
  └──→ Y₃ = X（分支点在 G 前面）

等价结构（分支点移到 $G$ 后面）：

X ──→ [ G(s) ] ──┬──→ Y₂ = G·X
                  │
                  ├──→ [ 1/G(s) ] ──→ Y₃ = (G·X)/G = X ✓

正式规则：分支点从方块 $G(s)$ 前面移到后面时，被移过去的支路必须乘以 $1/G(s)$ ，以保证该支路的信号值不变。

直观理解： 分支点在 $G$ 前面时，分出去的信号是”未经处理”的原始信号。移到 $G$ 后面后，分出去的信号已经被 $G$ 处理过了，所以要除以 $G$ 来还原。

常见错误：

忘记加补偿模块，或者补偿方向搞反。

3.7 规则6：分支点后移（从方块后移到方块前）

一句话理解： 分支点原来在方块 $G(s)$ 后面，想移到前面，被移过去的支路必须乘以 $G(s)$ 。

推导：

原始结构：

X ──→ [ G(s) ] ──┬──→ Y = G·X
                  │
                  └──→ Z = G·X（分支点在 G 后面）

等价结构（分支点移到 $G$ 前面）：

X ──→ [ G(s) ] ──→ Y = G·X
  │
  └──→ [ G(s) ] ──→ Z = G·X ✓

正式规则：分支点从方块 $G(s)$ 后面移到前面时，被移过去的支路必须乘以 $G(s)$ 。

直观理解： 分支点在 $G$ 后面时，分出去的信号是”已经过 $G$ 处理”的。移到前面后，分出去的是”未经处理”的，所以要补乘 $G$ 。

常见错误：

和规则5搞混。记住：分支点往后移，支路乘 $G$ ；往前移，支路乘 $1/G$ 。这和求和点的规律正好相反。

3.8 规则7：消除反馈环

一句话理解： 一个方块 $G(s)$ 加上反馈通道 $H(s)$ 构成的环路，可以化简为一个等效方块。

负反馈（最常见的形式）：

原始结构：

R(s) ──→ ⊕ ──→ [ G(s) ] ──→ C(s)
          -↑              │
           └── [ H(s) ] ←─┘

推导：

$E(s) = R(s) - H(s) \cdot C(s)$

$C(s) = G(s) \cdot E(s) = G(s) \cdot [R(s) - H(s) \cdot C(s)]$

$C(s) = G(s) \cdot R(s) - G(s) \cdot H(s) \cdot C(s)$

$C(s) + G(s) \cdot H(s) \cdot C(s) = G(s) \cdot R(s)$

$C(s) \cdot [1 + G(s) \cdot H(s)] = G(s) \cdot R(s)$

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s) \cdot H(s)}$

等价结构：

R(s) ──→ [ G(s) / (1 + G(s)H(s)) ] ──→ C(s)

正反馈： 把求和点的负号换成正号，推导过程完全类似，分母变为 $1 - G(s)H(s)$ ：

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 - G(s) \cdot H(s)}$

单位负反馈（Unity Negative Feedback）： $H(s) = 1$ ，即反馈通道没有方块：

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)}$

这个公式在干什么： 它把”前向通道有 $G$ ，反馈通道有 $H$ ，负反馈”的整个环路等效为一个传递函数。这是七条规则中使用频率最高的一条。

怎么用： 看到一个闭环，先识别前向通道传递函数和反馈通道传递函数，然后套公式。分母是 $1 + GH$ （负反馈）或 $1 - GH$ （正反馈），分子是 $G$ 。

常见错误：

分母写成 $1 - GH$ （负反馈），这是最致命的符号错误。记住：负反馈对应加号。
把 $G$ 和 $H$ 弄反。分子永远是前向通道 $G$ ，分母中的 $GH$ 顺序无所谓（乘法可交换），但概念上要分清谁是前向、谁是反馈。
反馈通道 $H(s)$ 不是 1 时，分母里仍然有 $H$ 。

3.9 叠加原理与扰动分析

一句话理解： 当系统同时有参考输入 $R(s)$ 和扰动输入 $N(s)$ 时，分别令一个为零求另一个的贡献，最后把两个输出加起来。

正式规则：

设系统结构为：

R(s) ──→ ⊕ ──→ [ G₁(s) ] ──→ ⊕ ──→ [ G₂(s) ] ──→ C(s)
         -↑              ↑-              ↑
          └──────── [ H(s) ] ←──────────┘
                      ↑
         N(s) ────────┘

步骤1：令 $N(s) = 0$ （只看参考输入）

扰动通道断开后，系统变成标准的闭环结构。前向通道是 $G_1 G_2$ ，反馈通道是 $H$ ：

$C_R(s) = \frac{G_1(s) G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s) H(s)} \cdot R(s)$

步骤2：令 $R(s) = 0$ （只看扰动）

参考输入断开后， $R=0$ 处的求和点相当于把 $R$ 端接地。此时 $N(s)$ 进入系统后， $G_1$ 变成了反馈通道的一部分。

具体分析：扰动 $N$ 加在 $G_1$ 和 $G_2$ 之间的求和点。 $N$ 先过 $G_2$ 到输出 $C$ ， $C$ 经 $H$ 反馈回来，再经 $G_1$ （此时 $G_1$ 在反馈路径上），回到 $N$ 处的求和点（负号）。

等效前向通道： $G_2$ 等效反馈通道： $G_1 \cdot H$

$C_N(s) = \frac{G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s) H(s)} \cdot N(s)$

步骤3：叠加

$C(s) = C_R(s) + C_N(s) = \frac{G_1 G_2}{1 + G_1 G_2 H} R(s) + \frac{G_2}{1 + G_1 G_2 H} N(s)$

这个公式在干什么： 它说明闭环系统中，参考输入和扰动的”通道增益”不一样。 $R$ 到 $C$ 的增益有 $G_1$ 在分子上， $N$ 到 $C$ 的增益没有 $G_1$ 。这意味着 $G_1$ 越大，参考输入跟踪越好，同时扰动的贡献越小（因为扰动贡献的分子 $G_2$ 不含 $G_1$ ）。

怎么用： 遇到多输入系统，不要试图一次算完。先用叠加原理把每个输入单独分析，最后加起来。

常见错误：

求 $C_N$ 时把 $G_1$ 的位置搞错。记住：扰动加在 $G_1$ 后面，所以 $G_1$ 在扰动的反馈路径上。
忘记叠加时两部分的分母相同。

核心公式与推导

4.1 串联化简公式

$G_{\text{total}} = G_1 \cdot G_2 \cdot \cdots \cdot G_n$

这个公式在干什么： 多个串联方块等效为一个方块，传递函数等于它们的乘积。

怎么用： 看到方块直接相连，直接乘。

常见错误： 系数乘法顺序不影响结果，但要注意不要把并联的方块也乘进去了。

4.2 闭环传递函数（负反馈）

$T(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}$

这个公式在干什么： 一步把闭环系统化为开环等效。

怎么用：

分子：前向通道传递函数 $G(s)$
分母： $1 +$ 前向通道 $\times$ 反馈通道

怎么验证： 看闭环系统的特征方程 $1 + G(s)H(s) = 0$ 。这个方程的根就是闭环极点，决定了系统的稳定性和动态性能。

常见错误：

符号写错：负反馈分母是加号，正反馈分母是减号。
忘记分子只包含前向通道，不包含反馈通道。

4.3 正反馈闭环传递函数

$T(s) = \frac{G(s)}{1 - G(s)H(s)}$

这个公式在干什么： 正反馈时，分母符号翻转。

常见错误： 正反馈的分母是 $1 - GH$ ，当 $GH$ 接近 1 时系统趋于不稳定。

4.4 求和点移动的补偿公式

移动方向	补偿方式
求和点从 $G$ 后移到 $G$ 前	被移支路乘 $1/G$
求和点从 $G$ 前移到 $G$ 后	被移支路乘 $G$
分支点从 $G$ 前移到 $G$ 后	被移支路乘 $1/G$
分支点从 $G$ 后移到 $G$ 前	被移支路乘 $G$

怎么记： 无论是求和点还是分支点，向前移（往信号源方向移）乘 $1/G$ ，向后移（往输出方向移）乘 $G$ 。这是因为向后移时，信号已经过了 $G$ 的处理，需要补偿。

4.5 叠加原理公式

$C(s) = \frac{G_1 G_2}{1 + G_1 G_2 H} R(s) + \frac{G_2}{1 + G_1 G_2 H} N(s)$

这个公式在干什么： 分别量化参考输入和扰动对输出的贡献。

怎么用： 先令一个输入为零求另一个的闭环传递函数，两步做完后叠加。

常见错误：

求扰动的闭环传递函数时，把 $G_1$ 放错位置。
两部分的分母相同（都是 $1 + G_1 G_2 H$ ），但分子不同。

配套例题

例题1：简单三模块串联

题目：

化简以下框图，求 $C(s)/R(s)$ ：

R(s) ──→ [ G₁(s) ] ──→ [ G₂(s) ] ──→ [ G₃(s) ] ──→ C(s)

解题步骤：

第1步：识别结构。 三个方块直接串联，中间没有分支点或求和点。

第2步：应用串联规则。

$\frac{C(s)}{R(s)} = G_1(s) \cdot G_2(s) \cdot G_3(s)$

答案：

$T(s) = G_1(s) \cdot G_2(s) \cdot G_3(s)$

易错提醒： 这道题看似简单，但要确认中间没有分支点。如果 $G_1$ 和 $G_2$ 之间有一个分支点，就不能直接相乘。

例题2：带求和点的串联结构

题目：

化简以下框图：

                  ┌──→ [ G₂(s) ] ──⊕──→ [ G₃(s) ] ──→ C(s)
R(s) ──→ [ G₁(s) ]─┤                ↑
                  └──→ [ G₄(s) ] ──┘
                            (负号)

即： $R$ 经过 $G_1$ 后分两路，一路过 $G_2$ ，一路过 $G_4$ （取负号），两路在求和点相加，再过 $G_3$ 。

解题步骤：

第1步：识别并联结构。 $G_2$ 和 $-G_4$ 是并联关系（从 $G_1$ 输出分出，在求和点汇合， $G_4$ 带负号）。

第2步：并联化简。 并联等效为 $G_2 - G_4$ 。

第3步：整体变成串联。 $G_1$ 、 $(G_2 - G_4)$ 、 $G_3$ 三者串联。

第4步：串联化简。

$\frac{C(s)}{R(s)} = G_1(s) \cdot [G_2(s) - G_4(s)] \cdot G_3(s)$

答案：

$T(s) = G_1 \cdot (G_2 - G_4) \cdot G_3$

易错提醒： 不要忘记 $G_4$ 前面的负号。求和点的符号标注在图中，一定要按图读取。

例题3：标准负反馈环化简

题目：

化简以下闭环框图：

R(s) ──→ ⊕ ──→ [ 10/(s+1) ] ──→ C(s)
          -↑                   │
           └── [ 1 ] ←─────────┘

前向通道 $G(s) = 10/(s+1)$ ，反馈通道 $H(s) = 1$ （单位负反馈）。

解题步骤：

第1步：识别负反馈环。 前向通道 $G = 10/(s+1)$ ，反馈通道 $H = 1$ 。

第2步：套负反馈公式。

$T(s) = \frac{G}{1 + GH} = \frac{\frac{10}{s+1}}{1 + \frac{10}{s+1} \cdot 1}$

第3步：化简分式。 分子分母同乘 $(s+1)$ ：

$T(s) = \frac{10}{(s+1) + 10} = \frac{10}{s + 11}$

答案：

$T(s) = \frac{10}{s + 11}$

易错提醒：

分母化简： $1 + G(s) \cdot H(s) = 1 + 10/(s+1) = (s+1+10)/(s+1)$ ，然后分子 $G/(1+GH)$ 的 $(s+1)$ 消掉。
闭环极点从 $s = -1$ （开环）变成了 $s = -11$ （闭环），这就是反馈的作用——改变极点位置。

例题4：含扰动的闭环系统

题目：

系统结构如下，求 $C(s)/R(s)$ 和 $C(s)/N(s)$ ：

R(s) ──→ ⊕ ──→ [ G₁ ] ──→ ⊕ ──→ [ G₂ ] ──→ C(s)
         -↑               -↑             ↑
          └────── [ H ] ←───────────────┘
                           ↑
              N(s) ────────┘

解题步骤：

第1步：求 $C(s)/R(s)$ （令 $N = 0$ ）。

$N = 0$ 时， $N$ 处求和点消失，退化为标准闭环：前向通道 $G_1 G_2$ ，反馈通道 $H$ 。

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G_1 G_2}{1 + G_1 G_2 H}$

第2步：求 $C(s)/N(s)$ （令 $R = 0$ ）。

$R = 0$ 时， $R$ 处求和点变成 $0 - H \cdot C = -H \cdot C$ ，经 $G_1$ 得 $-G_1 H C$ ，再到 $N$ 处求和点（负号）： $N - G_1 H C$ ，经 $G_2$ 得 $C$ 。

$C = G_2 \cdot (N - G_1 H C)$ $C = G_2 N - G_1 G_2 H C$ $C + G_1 G_2 H C = G_2 N$ $C \cdot (1 + G_1 G_2 H) = G_2 N$

$\frac{C(s)}{N(s)} = \frac{G_2}{1 + G_1 G_2 H}$

答案：

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G_1 G_2}{1 + G_1 G_2 H}$

$\frac{C(s)}{N(s)} = \frac{G_2}{1 + G_1 G_2 H}$

易错提醒：

求 $C/N$ 时， $G_1$ 在反馈路径上，不在前向路径上。所以分子只有 $G_2$ ，没有 $G_1$ 。
两部分的分母相同，都是 $1 + G_1 G_2 H$ 。
工程意义：增大 $G_1$ 可以提高参考输入的跟踪精度，同时抑制扰动的影响（因为 $C_N$ 的分子不含 $G_1$ ）。

例题5：含求和点和分支点移动的复杂框图

题目：

化简以下框图：

R(s) ──→ ⊕ ──→ [ G₁ ] ──→ C(s)
          -↑              │
           └── [ H₁ ] ←──┘

同时，在 $G_1$ 的输出端有一个分支点，分出一路经过 $H_2$ 回到 $G_1$ 的输入端（在 $H_1$ 反馈的求和点之前还有一个求和点，接收 $H_2$ 的反馈信号）。

实际上，让我给出一个更清晰的题目。考虑嵌套双环：

R(s) ──→ ⊕₁ ──→ [ G₁ ] ──→ ⊕₂ ──→ [ G₂ ] ──→ C(s)
          -↑               -↑              ↑
           └── [ H₁ ] ←─────┤──────────────┘
                             │
                             └── [ H₂ ] ←── (分支点在 G₂ 输出)

具体来说：

$G_2$ 的输出（即 $C$ ）分两路：一路直接反馈到 $\oplus_2$ （负号），另一路经 $H_1$ 反馈到 $\oplus_1$ （负号）。
$\oplus_2$ 到 $G_2$ 输出的直接反馈（单位负反馈）构成内环。
$H_1$ 反馈路径从 $G_2$ 输出回到 $\oplus_1$ 构成外环。

解题步骤：

第1步：先化简内环。 内环是 $G_2$ 加单位负反馈：

$G_{\text{内环}} = \frac{G_2}{1 + G_2}$

第2步：外环变成串联加反馈。 化简内环后，框图变成：

R(s) ──→ ⊕ ──→ [ G₁ ] ──→ [ G₂/(1+G₂) ] ──→ C(s)
          -↑                                │
           └──────── [ H₁ ] ←───────────────┘

前向通道： $G_1 \cdot G_2/(1+G_2)$

反馈通道： $H_1$

第3步：套负反馈公式：

$T(s) = \frac{G_1 \cdot \frac{G_2}{1+G_2}}{1 + G_1 \cdot \frac{G_2}{1+G_2} \cdot H_1}$

分子分母同乘 $(1+G_2)$ ：

$T(s) = \frac{G_1 G_2}{(1+G_2) + G_1 G_2 H_1}$

$T(s) = \frac{G_1 G_2}{1 + G_2 + G_1 G_2 H_1}$

答案：

$T(s) = \frac{G_1 G_2}{1 + G_2 + G_1 G_2 H_1}$

易错提醒：

化简嵌套环时，从内往外化简。先处理最内层的环，再逐步向外。
分母 $(1+G_2)$ 来自内环化简， $G_1 G_2 H_1$ 来自外环。两者都要保留。
不要试图一步到位化简整个图，一步一步来最不容易错。

重点难点总结

知识点	要记住什么	常见错误
串联化简	多个方块串联，传递函数相乘	把并联的方块也乘进去
并联化简	并联方块传递函数相加（注意正负号）	忘记求和点的负号
求和点前移	被移支路乘 $1/G$	方向搞反，乘成了 $G$
求和点后移	被移支路乘 $G$	和前移的规则搞混
分支点前移	被移支路乘 $1/G$	忘记加补偿模块
分支点后移	被移支路乘 $G$	和前移的规则搞混
负反馈闭环	$G/(1+GH)$	分母写成 $1-GH$ （符号错误）
正反馈闭环	$G/(1-GH)$	分母写成 $1+GH$ （符号错误）
叠加原理	分别求每个输入的贡献再叠加	求扰动贡献时把前向/反馈通道搞错
嵌套环	从内往外逐步化简	试图一步化简，结果搞乱

记忆口诀（移动补偿方向）：

无论求和点还是分支点，向前移（往输入端方向）乘 $1/G$ ，向后移（往输出端方向）乘 $G$ 。

原理：信号往前走已经过了 $G$ ，往回移就要除以 $G$ 来抵消；信号往后走还没过 $G$ ，往前移就要乘以 $G$ 来补偿。

记忆口诀（反馈公式）：

负反馈，分母加号；正反馈，分母减号。分子永远是前向通道 $G$ 。

自测题与答案

自测题题目

两个传递函数 $G_1(s) = 2/(s+1)$ 和 $G_2(s) = 3/(s+2)$ 串联，等效传递函数是什么？
一个负反馈系统的前向通道 $G(s) = 5/(s^2 + 2s)$ ，反馈通道 $H(s) = 1$ ，求闭环传递函数。
求和点从方块 $G(s)$ 后面移到前面，被移支路的补偿模块是什么？
分支点从方块 $G(s)$ 后面移到前面，被移支路的补偿模块是什么？
求和点和分支点的移动补偿规律是否相同？
某系统有参考输入 $R$ 和扰动 $N$ ，闭环系统对 $R$ 的传递函数分子是 $G_1 G_2$ ，分母是 $1+G_1 G_2 H$ 。请问对 $N$ 的传递函数的分母是什么？
以下框图中，内环是单位负反馈，前向通道是 $G_2$ ；外环反馈通道是 $H$ ，前向通道包含 $G_1$ 和内环。求 $C/R$ 。

R → ⊕ → [G₁] → ⊕ → [G₂] → C
     -↑          -↑         │
      └─ [H] ←─────────────┘
                 ↑
        (内环反馈从 C 直接回到第二个 ⊕)

串联化简规则对矩阵形式的传递函数（MIMO系统）是否仍然适用？

自测题答案

串联等效： $G_{\text{total}} = G_1 \cdot G_2 = \frac{2}{s+1} \cdot \frac{3}{s+2} = \frac{6}{(s+1)(s+2)}$
负反馈公式： $T = \frac{G}{1+GH} = \frac{5/(s^2+2s)}{1 + 5/(s^2+2s)} = \frac{5}{s^2 + 2s + 5}$
求和点从 $G$ 后移到前，被移支路乘 $1/G(s)$ 。
分支点从 $G$ 后移到前，被移支路乘 $G(s)$ 。
相同。无论求和点还是分支点，向前移乘 $1/G$ ，向后移乘 $G$ 。
分母仍然是 $1 + G_1 G_2 H$ ，和对 $R$ 的传递函数分母相同。
先化简内环： $G_{\text{内环}} = G_2/(1+G_2)$ 。外环前向通道： $G_1 \cdot G_2/(1+G_2)$ ，反馈通道 $H$ 。

$T = \frac{G_1 G_2 / (1+G_2)}{1 + G_1 G_2 H / (1+G_2)} = \frac{G_1 G_2}{1 + G_2 + G_1 G_2 H}$

串联化简规则基于传递函数乘法的结合律，对 SISO 系统成立。对 MIMO 系统，矩阵乘法不可交换，串联化简要考虑矩阵乘法顺序，不能简单地套用标量乘法公式。

学习路线

先把七条规则的定义和补偿方向背熟，特别是负反馈闭环公式和移动补偿方向。
用简单的两三个方块的图练手，确认每条规则你都用过。
练习嵌套环化简：从内往外逐步化简，不要试图一步到位。
练习扰动分析：用叠加原理分别求 $C/R$ 和 $C/N$ 。
做完整的框图化简题目，限时练习。

如果时间紧张，优先掌握：负反馈闭环公式 $G/(1+GH)$ 、串联化简、叠加原理。这三项覆盖了大多数考题。

和后续章节的关系

本章是后续所有分析的基础工具。具体来说：

第4章（根轨迹） 需要把闭环特征方程 $1+G(s)H(s)=0$ 作为出发点，而这个方程正是从本章的闭环传递函数推出来的。
第5章（频域分析） 需要画开环传递函数 $G(s)H(s)$ 的 Bode 图，判断闭环稳定性。本章教你怎么从框图中提取 $G(s)H(s)$ 。
第6章（稳定性分析） 用到闭环极点的位置，而闭环极点就是本章公式分母 $1+G(s)H(s)=0$ 的根。
第7章以后（控制器设计） 的每一步都涉及框图：PID控制器加在什么位置、串级控制怎么化简、前馈补偿怎么分析，全部依赖本章的七条规则。

说白了，框图化简是控制理论的”基本语法”。就像学数学必须先会加减乘除一样，做控制系统题目必须先能快速化简框图。