第4章 控制系统稳定性

学习目标

• 理解传递函数的基本性质，能把输入、系统、输出分开看。
• 掌握极点（pole）、零点（zero）和特征方程（characteristic equation）的定义。
• 能在 s 平面上画出极点位置，并判断系统的稳定性。
• 掌握 Routh 稳定性判据的构造方法，能在不求解特征方程的前提下判断稳定性。
• 知道 Routh 判据中”必要条件”和”充分条件”的区别，避免做题时漏步骤。

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先用人话理解本章在讲什么

控制理论中最核心的问题其实就一个：这个系统稳不稳定？

一个系统不管结构多复杂，拿到手后第一件事不是去算输出波形，而是先判断它会不会”炸掉”——即输出会不会随时间无限增长。如果系统不稳定，后面做任何控制策略都是白费功夫。

本章的逻辑链条是这样的：

1. 传递函数是描述系统的代数工具，它把微分方程变成了多项式之比。
2. 传递函数的分母多项式叫特征方程，它的根——也就是极点——决定了系统的行为。
3. 如果所有极点都在 s 平面的左半边，系统就是稳定的；只要有一个极点跑到右半边，系统就不稳定。
4. 问题是：高阶多项式的根不好求。Routh 判据提供了一种不需要真的去解根、只靠系数就能判断稳定性的方法。

初学者最容易卡住的地方：

• 把极点和零点搞混。极点看分母，零点看分子，不要记反。
• 以为 Routh 判据”必要条件”（系数全正）过了就稳定——这远远不够，还要构造 Routh 表。
• 以为虚轴上的极点是”稳定”的——严格来说叫”临界稳定”，在工程上通常不接受。

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核心概念

3.1 传递函数（Transfer Function）

一句话理解： 传递函数就是”系统对输入做了什么”的代数描述——把微分方程里的求导运算全部变成 $s$ 的乘法，整个系统就变成了一个多项式之比。

正式定义： 对一个线性时不变（LTI）系统，假设初始条件为零，输出的 Laplace 变换与输入的 Laplace 变换之比就是传递函数：

$$G(s) = \frac{C(s)}{R(s)}$$

其中 $R(s)$ 是输入的 Laplace 变换，$C(s)$ 是输出的 Laplace 变换。

直观例子： 考虑一阶微分方程：

$$\frac{dc(t)}{dt} + 2c(t) = r(t)$$

两边做 Laplace 变换（零初始条件）：

$$sC(s) + 2C(s) = R(s)$$

整理：

$$G(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{1}{s+2}$$

整个系统的动态特性，就浓缩在 $\frac{1}{s+2}$ 这一个分式里。

传递函数的一般形式：

$$G(s) = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0}$$

分子是 $m$ 次多项式，分母是 $n$ 次多项式，通常 $n \geq m$（物理可实现系统的分母阶数不低于分子）。

容易混淆的点：

• 传递函数只描述系统本身，和输入信号无关。换一个输入，输出会变，但 $G(s)$ 不变。
• 传递函数的前提是零初始条件，有非零初始条件时要另外处理。
• 串联的子系统可以直接把传递函数相乘，并联的可以相加。这是传递函数最方便的地方——把微分方程的卷积变成了代数乘法。

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3.2 极点（Pole）与零点（Zero）

一句话理解： 极点是让传递函数”爆炸”（绝对值趋于无穷）的 $s$ 值，零点是让传递函数”消失”（等于零）的 $s$ 值。

正式定义： 对于传递函数

$$G(s) = \frac{b_m s^m + \cdots + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_0}$$

• 零点：使分子多项式等于零的 $s$ 值，即 $b_m s^m + \cdots + b_0 = 0$ 的根。在 s 平面上用 $\circ$ 标记。
• 极点：使分母多项式等于零的 $s$ 值，即 $a_n s^n + \cdots + a_0 = 0$ 的根。在 s 平面上用 $\times$ 标记。

直观理解： 极点决定了系统”怎么动”——是衰减、振荡还是发散；零点影响”动多少”——它可以放大或抵消某些输入模式。做稳定性分析时，极点是主角。

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3.3 特征方程（Characteristic Equation）

一句话理解： 特征方程就是把传递函数的分母令为零。

$$a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0 = 0$$

这个方程的根就是极点。系统的全部动态特性（稳定性、响应速度、振荡频率）都由这个方程的根决定。

为什么叫”特征”？ 因为它反映了系统本身的固有属性——不管你给系统施加什么输入，系统的固有响应模式都由这些根决定。就像一个人的性格不会因为遇到什么人而改变一样。

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3.4 s 平面（Complex Plane）

一句话理解： s 平面就是画极点和零点的坐标纸。横轴是实部 $\sigma$，纵轴是虚部 $j\omega$。

关键规则：

• 极点在左半平面（$\sigma < 0$）：系统模态是衰减的，比如 $e^{-3t}$，会越来越小。
• 极点在右半平面（$\sigma > 0$）：系统模态是发散的，比如 $e^{2t}$，会越来越大。
• 极点在虚轴上（$\sigma = 0$）：系统模态是等幅振荡的，比如 $e^{j\omega t}$，不衰减也不增长。

判断口诀：左稳右不稳，虚轴临界。

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3.5 LTI 系统的稳定性

一句话理解： 系统稳定 = 输入去掉之后，输出最终会归零。

正式定义： LTI 系统稳定当且仅当所有极点都在 s 平面的左半平面（即所有极点的实部都为负）。

三种情况：

极点位置	实部 $\sigma$	系统模态	稳定性
左半平面	$\sigma < 0$	$e^{\sigma t}$ 衰减	稳定
右半平面	$\sigma > 0$	$e^{\sigma t}$ 发散	不稳定
虚轴上	$\sigma = 0$	等幅振荡	临界稳定

对于复共轭极点对 $\sigma \pm j\omega$：稳定性只看实部 $\sigma$，虚部 $\omega$ 只影响振荡频率，不影响稳定性。

常见错误：

• 不稳定条件只要一个极点在右半平面就够了，不需要全部都在右边。
• 虚轴上的极点（包括原点处的极点）在工程上通常视为不稳定，因为任何微小扰动都可能让系统漂移到右半平面。

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3.6 极点位置练习：质量-弹簧-阻尼系统

给定系统的传递函数：

$$G(s) = \frac{X(s)}{Y(s)} = \frac{2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

分母 $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$ 的根就是极点。

情况 a：过阻尼（$\zeta = 1.25$，$\omega_n = 4$）

$$s^2 + 2(1.25)(4)s + 4^2 = s^2 + 10s + 16 = 0$$

用求根公式：

$$s = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{-10 \pm 6}{2}$$

极点：$s_1 = -2$，$s_2 = -8$

两个极点都是实数且在左半平面——系统稳定，响应无振荡。

情况 b：欠阻尼（$\zeta = 0.4$，$\omega_n = 4$）

$$s^2 + 2(0.4)(4)s + 4^2 = s^2 + 3.2s + 16 = 0$$ $$s = \frac{-3.2 \pm \sqrt{10.24 - 64}}{2} = \frac{-3.2 \pm \sqrt{-53.76}}{2} = -1.6 \pm j3.68$$

极点是复共轭对：$s = -1.6 \pm j3.68$

实部为负，系统稳定；但有虚部，响应会有衰减振荡。

关键结论： 同一个系统，改变阻尼比 $\zeta$，极点从左半平面的实轴（过阻尼）变成左半平面的复共轭（欠阻尼）。极点位置直接反映系统行为。

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核心公式与推导

4.1 传递函数的极零点表达式

将传递函数分解为因式形式：

$$G(s) = K \cdot \frac{(s - z_1)(s - z_2)\cdots(s - z_m)}{(s - p_1)(s - p_2)\cdots(s - p_n)}$$

其中 $z_1, \ldots, z_m$ 是零点，$p_1, \ldots, p_n$ 是极点，$K$ 是增益。

这个形式的好处：一眼看出极点和零点的位置，便于分析。

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4.2 Routh 稳定性判据

目的： 不解特征方程，直接从系数判断所有极点是否都在左半平面。

步骤一：写出特征方程并归一化

$$s^n + a_1 s^{n-1} + a_2 s^{n-2} + \cdots + a_{n-1} s + a_n = 0$$

确保最高次项系数为 1（如果原方程最高次系数不是 1，先两边同除以它）。

步骤二：必要条件检查（快筛）

如果系数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 中任何一个为零或为负，则系统不稳定或临界稳定。

但这只是必要条件，不是充分条件。 系数全正不代表一定稳定。

步骤三：构造 Routh 表

Routh 表的行数 = $n+1$（从 $s^n$ 到 $s^0$），每行元素从上两行计算得出。

前两行直接填：

行	列1	列2	列3	列4	…
$s^n$	$1$	$a_2$	$a_4$	$a_6$	…
$s^{n-1}$	$a_1$	$a_3$	$a_5$	$a_7$	…
$s^{n-2}$	$b_1$	$b_2$	$b_3$	…
$s^{n-3}$	$c_1$	$c_2$	$c_3$	…
$\vdots$
$s^0$

注意前两行取系数的规律：$s^n$ 行取第 1、3、5、7… 个系数，$s^{n-1}$ 行取第 2、4、6、8… 个系数。这是最容易搞错的地方之一。

从第三行开始，每个元素的计算公式：

$$b_1 = \frac{a_1 \cdot a_2 - 1 \cdot a_3}{a_1} = \frac{a_1 a_2 - a_3}{a_1}$$ $$b_2 = \frac{a_1 \cdot a_4 - 1 \cdot a_5}{a_1}$$ $$b_3 = \frac{a_1 \cdot a_6 - 1 \cdot a_7}{a_1}$$

通用公式：设相邻两行为

行	第1列	第2列	第3列	…
上一行	$\alpha_1$	$\alpha_2$	$\alpha_3$	…
下一行	$\beta_1$	$\beta_2$	$\beta_3$	…

则下下行为：

$$\gamma_i = \frac{\beta_1 \cdot \alpha_{i+1} - \alpha_1 \cdot \beta_{i+1}}{\beta_1}$$

记忆口诀： “主元乘右减上行乘右，除以主元”。主元（pivot）就是紧挨着的上一行第 1 列的元素（也就是 $\beta_1$）。

步骤四：判断稳定性

看 Routh 表第一列所有元素的符号：

• 第一列全部同号（通常全正） $\Rightarrow$ 系统稳定
• 第一列符号变化的次数 = 右半平面极点的个数

例如第一列为 $\{1, 3, -2, 5, 1\}$，从 3 到 $-2$ 变了一次，从 $-2$ 到 5 又变了一次，共两次符号变化 $\rightarrow$ 有两个极点在右半平面 $\rightarrow$ 系统不稳定。

常见错误：

• Routh 表第一行的元素顺序是”跳着取”的：$1, a_2, a_4, \ldots$，不是 $1, a_1, a_2, \ldots$。
• 算某个 $b_i$ 时，一定要用相邻两行对应列的元素，不要把列搞错。
• 遇到某行全为零的情况，需要构造辅助方程并对其求导后代入（下面例题 2 会演示）。遇到第一列出现零但整行不为零，用 $\epsilon$（趋近于 0 的小量）替代后继续计算。

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配套例题

例题 1：从微分方程求传递函数

题目： 已知系统微分方程

$$\frac{d^2 c(t)}{dt^2} + 3\frac{dc(t)}{dt} + 2c(t) = r(t)$$

求传递函数 $G(s) = C(s)/R(s)$，并求极点。

解：

两边 Laplace 变换（零初始条件）：

$$s^2 C(s) + 3sC(s) + 2C(s) = R(s)$$ $$C(s)(s^2 + 3s + 2) = R(s)$$ $$G(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} = \frac{1}{(s+1)(s+2)}$$

特征方程：$s^2 + 3s + 2 = 0$

极点：$s_1 = -1$，$s_2 = -2$

两个极点都在左半平面 $\rightarrow$ 系统稳定。

本题关键点： 注意分子是常数 1（输入 $r(t)$ 的 Laplace 变换在方程右边，没有导数项），所以分子多项式没有零点（严格说，$m=0$，分子是常数）。

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例题 2：Routh 表中遇到全零行

题目： 特征方程为

$$s^4 + 3s^3 + 3s^2 + 3s + 2 = 0$$

用 Routh 判据判断稳定性。

解：

第一步：确认所有系数为正（1, 3, 3, 3, 2），必要条件满足，继续。

第二步：构造 Routh 表。

取系数：$1, 3, 3, 3, 2$。注意最高次 $n=4$，所以：

• $s^4$ 行：取第 1, 3, 5 个系数 $\rightarrow$ $1, 3, 2$
• $s^3$ 行：取第 2, 4 个系数 $\rightarrow$ $3, 3, 0$

行	列1	列2	列3
$s^4$	1	3	2
$s^3$	3	3	0

$s^2$ 行的计算：

$$b_1 = \frac{3 \times 3 - 1 \times 3}{3} = \frac{9-3}{3} = 2$$ $$b_2 = \frac{3 \times 2 - 1 \times 0}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

行	列1	列2	列3
$s^4$	1	3	2
$s^3$	3	3	0
$s^2$	2	2

$s^1$ 行的计算：

$$c_1 = \frac{2 \times 3 - 3 \times 2}{2} = \frac{6-6}{2} = 0$$ $$c_2 = \frac{2 \times 0 - 3 \times 0}{2} = 0$$

这里 $s^1$ 行全为零！这说明特征方程有对称于原点的根（可能是纯虚根或实根 $\pm \alpha$）。

遇到全零行的标准处理方法：用上面一行（$s^2$ 行）构造辅助方程：

$$A(s) = 2s^2 + 2 = 0 \implies s^2 = -1 \implies s = \pm j$$

$A(s)$ 求导：$\frac{dA}{ds} = 4s$，系数为 $4$。

用 $4$ 替代 $s^1$ 行第 1 列的 $0$，继续计算 $s^0$ 行：

$$\text{$s^0$ 行} = \frac{4 \times 2 - 2 \times 0}{4} = 2$$

行	列1	列2
$s^1$	4（替换0）
$s^0$	2

第一列：$1, 3, 2, 4, 2$ ——全部为正，没有符号变化。

但是，辅助方程告诉我们 $s = \pm j$ 是特征方程的根——这是虚轴上的极点。

结论： Routh 表第一列无符号变化，说明右半平面没有极点；但辅助方程解出虚轴上的极点，系统临界稳定。

本题的教训： Routh 表第一列全正只说明”右半平面没有极点”，但出现全零行时要额外检查辅助方程——辅助方程的根是特征方程的根的子集，可能是实根或纯虚根。

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例题 3：六阶系统的 Routh 表（Lecture 原题）

题目： 特征方程

$$a(s) = s^6 + 4s^5 + 3s^4 + 2s^3 + s^2 + 4s + 4 = 0$$

构造 Routh 表并判断稳定性。

解：

系数：$1, 4, 3, 2, 1, 4, 4$（$n=6$）

填前两行： 第 1 行取奇数位（1, 3, 5, 7），第 2 行取偶数位（2, 4, 6）。

行	列1	列2	列3	列4
$s^6$	1	3	1	4
$s^5$	4	2	4	0

计算 $s^4$ 行：（主元 = $s^5$ 行第 1 列 = 4）

$$b_1 = \frac{4 \times 3 - 1 \times 2}{4} = \frac{12-2}{4} = 2.5$$ $$b_2 = \frac{4 \times 1 - 1 \times 4}{4} = \frac{4-4}{4} = 0$$ $$b_3 = \frac{4 \times 4 - 1 \times 0}{4} = \frac{16}{4} = 4$$

行	列1	列2	列3	列4
$s^4$	2.5	0	4

计算 $s^3$ 行：（主元 = $s^4$ 行第 1 列 = 2.5）

$$c_1 = \frac{2.5 \times 2 - 4 \times 0}{2.5} = \frac{5-0}{2.5} = 2$$ $$c_2 = \frac{2.5 \times 4 - 4 \times 0}{2.5} = \frac{10-0}{2.5} = 4$$

行	列1	列2	列3
$s^3$	2	4	0

计算 $s^2$ 行：（主元 = $s^3$ 行第 1 列 = 2）

$$d_1 = \frac{2 \times 0 - 2.5 \times 4}{2} = \frac{0 - 10}{2} = -5$$ $$d_2 = \frac{2 \times 4 - 2.5 \times 0}{2} = \frac{8-0}{2} = 4$$

行	列1	列2
$s^2$	$-5$	4

计算 $s^1$ 行：（主元 = $s^2$ 行第 1 列 = $-5$）

$$e_1 = \frac{-5 \times 4 - 2 \times 4}{-5} = \frac{-20 - 8}{-5} = \frac{-28}{-5} = 5.6$$

行	列1	列2
$s^1$	5.6

计算 $s^0$ 行：（主元 = $s^1$ 行第 1 列 = 5.6）

$$f_1 = \frac{5.6 \times 4 - (-5) \times 0}{5.6} = 4$$

行	列1
$s^0$	4

完整 Routh 表第一列：

行	第1列
$s^6$	$1$
$s^5$	$4$
$s^4$	$2.5$
$s^3$	$2$
$s^2$	$-5$
$s^1$	$5.6$
$s^0$	$4$

分析符号变化：

• $s^3$ 行的 $2$ $\rightarrow$ $s^2$ 行的 $-5$：变号（正到负），第 1 次
• $s^2$ 行的 $-5$ $\rightarrow$ $s^1$ 行的 $5.6$：变号（负到正），第 2 次

共 2 次符号变化 $\rightarrow$ 有 2 个极点在右半平面 $\rightarrow$ 系统不稳定。

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例题 4：四组极点图的稳定性分析

题目： 给定四组极点在 s 平面上的位置，分别判断系统的稳定性。

配置	极点位置描述
(a)	两个极点都在左半平面
(b)	两个极点都在虚轴上（关于实轴对称）
(c)	一个极点在原点，一个在左半平面
(d)	一个极点在左半平面，一个在右半平面

分析：

• (a) 所有极点在左半平面 $\rightarrow$ 稳定。暂态响应随时间衰减至零。
• (b) 极点在虚轴上 $\rightarrow$ 临界稳定。响应是等幅正弦振荡，既不衰减也不增长。
• (c) 原点处的极点对应常数模态（不衰减），但也不增长 $\rightarrow$ 临界稳定。工程上通常视为不稳定。
• (d) 右半平面有极点 $\rightarrow$ 不稳定。哪怕只有一个极点在右半平面，响应就会随时间指数增长。

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重点难点总结

极点与零点的区分

	极点（Pole）	零点（Zero）
位置	传递函数分母的根	传递函数分子的根
效果	使 $	G(s)
对稳定性的影响	直接决定系统稳定性	影响响应形状，不影响稳定性
画法	$\times$	$\circ$

稳定性判断三步法

1. 看极点位置：全部在左半平面 = 稳定。
2. 不想解高阶方程时用 Routh 判据。
3. Routh 判据先检查系数全正（必要条件），再构造表（充分条件）。

Routh 判据做题清单

1. 特征方程最高次系数化为 1。
2. 检查所有系数是否存在零或负数，存在则直接判定不稳定。
3. 正确填写前两行——$s^n$ 行取第 1、3、5… 个系数，$s^{n-1}$ 行取第 2、4、6… 个系数。
4. 逐行计算，注意公式的分子是”交叉相乘再相减除以主元”。
5. 如果某行全为零，构造辅助方程，求其根并求导后代入。
6. 最后统计第一列符号变化次数。

典型坑

• 分母阶数小于分子阶数：物理上不可实现，考试中出现说明需要先检查化简。
• Routh 表某列出现零但整行不为零：用 $\epsilon$（趋近于 $0^+$ 的小量）替代，然后正常计算，最后判断 $\epsilon \to 0^+$ 时第一列的符号。
• 忘记归一化：如果特征方程最高次系数不是 1（如 $2s^3 + 4s^2 + 3s + 1 = 0$），先两边除以 2 再构造 Routh 表。
• 辅助方程的根要代回原方程验证：辅助方程的根是原特征方程根的子集，但不能直接用辅助方程判断所有极点的稳定性。

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自测题与答案

自测题 1：极点计算

求传递函数

$$G(s) = \frac{s + 3}{s^3 + 5s^2 + 8s + 4}$$

的极点和零点，并判断稳定性。

答案

零点： 分子 $s + 3 = 0 \Rightarrow s = -3$。

极点： 分母 $s^3 + 5s^2 + 8s + 4 = 0$。尝试 $s = -1$：

$$(-1)^3 + 5(-1)^2 + 8(-1) + 4 = -1 + 5 - 8 + 4 = 0$$

所以 $s = -1$ 是一个根。做多项式除法：

$$s^3 + 5s^2 + 8s + 4 = (s+1)(s^2 + 4s + 4) = (s+1)(s+2)^2$$

极点：$s_1 = -1$，$s_2 = s_3 = -2$（二重极点）。

全部极点在左半平面，系统稳定。

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自测题 2：Routh 判断（含全零行）

特征方程：

$$s^3 + 2s^2 + 4s + 8 = 0$$

用 Routh 判据判断稳定性。

答案

系数：$1, 2, 4, 8$，全部为正，必要条件满足。

Routh 表：

行	列1	列2
$s^3$	1	4
$s^2$	2	8
$s^1$	$\frac{2 \times 4 - 1 \times 8}{2} = 0$
$s^0$

$s^1$ 行为零！用 $s^2$ 行构造辅助方程：$A(s) = 2s^2 + 8 = 0$

$$s^2 = -4 \implies s = \pm j2$$

求导：$\frac{dA}{ds} = 4s$，用 $4$ 替代 $s^1$ 行第 1 列。

继续：$s^0$ 行 = $\frac{4 \times 8 - 2 \times 0}{4} = 8$

第一列：$1, 2, 4, 8$，全正，无符号变化 $\rightarrow$ 右半平面无极点。

但辅助方程给出 $s = \pm j2$，极点在虚轴上 $\rightarrow$ 临界稳定。

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自测题 3：不稳定系统

特征方程：

$$s^4 + s^3 + 3s^2 + 5s + 10 = 0$$

判断稳定性。

答案

系数：$1, 1, 3, 5, 10$，全部为正。

Routh 表：

行	列1	列2	列3
$s^4$	1	3	10
$s^3$	1	5	0
$s^2$	$\frac{1 \times 3 - 1 \times 5}{1} = -2$	$\frac{1 \times 10 - 1 \times 0}{1} = 10$
$s^1$	$\frac{-2 \times 5 - 1 \times 10}{-2} = \frac{-20}{-2} = 10$
$s^0$	$\frac{10 \times 10 - (-2) \times 0}{10} = 10$

第一列：$1, 1, -2, 10, 10$

符号变化：$1 \to -2$（1次），$-2 \to 10$（1次），共 2 次符号变化 $\rightarrow$ 2 个极点在右半平面 $\rightarrow$ 系统不稳定。

注意：这个例子说明”系数全正”只是必要条件，不是充分条件——四个系数全正，系统照样不稳定。

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自测题 4：简答

为什么 Routh 判据只能判断”有几个极点在右半平面”，而不能给出极点的具体数值？

答案

Routh 判据利用了多项式系数与根的位置之间的拓扑关系（符号变化次数等于右半平面根的个数），但这个关系不携带根的具体位置信息。要知道极点的确切数值，只能直接求解特征方程。Routh 判据的优势在于”不解方程就能判断稳定性”，代价是丢失了根的精确位置。

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学习路线

1. 第一步： 彻底搞懂传递函数的定义和求法——从微分方程到 $s$ 域。把例题 1 这种基础题练到闭眼能做。
2. 第二步： 练习求极点和零点——二阶系统先做熟（求根公式），再做三阶（试根 + 多项式除法）。
3. 第三步： 理解”极点位置 $\leftrightarrow$ 系统行为”的对应关系——在 s 平面上画图，标出稳定区和不稳定区。
4. 第四步： 掌握 Routh 表的构造方法——从简单（三阶）到复杂（五阶、六阶）。先做没有特殊情况的标准题。
5. 第五步： 处理特殊情况——全零行和辅助方程、第一列出现零的 $\epsilon$ 替代法。这类题在考试中出现频率不高但一旦出现就是区分度所在。

建议做题顺序：先做二阶系统的极点判断（不需要 Routh），再做三阶系统的 Routh 判据（最常考），最后练带辅助方程的高阶问题。时间紧张的话，三阶 Routh 判据 + 极点位置与稳定性判断必须优先掌握。

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和后续章节的关系

• 根轨迹（Root Locus）： 根轨迹研究”当系统某个参数变化时，极点在 s 平面上怎么移动”。本章的极点和稳定性概念是根轨迹分析的基础——你得先知道”极点在哪边是稳定的”，才能看懂根轨迹图。
• 频率响应（Bode Plot / Nyquist）： 频率响应分析把极点信息转化为”系统对不同频率输入的反应”。稳定性是频率响应分析的前提——不稳定的系统谈频率响应没有工程意义。
• PID 控制器设计： PID 控制器本质上是改变闭环系统的极点位置。设计 PID 时，第一件事就是确保闭环系统的极点全部落在左半平面。如果你不知道什么是”极点在左半平面”，PID 参数整定就是瞎调。
• 状态空间方法： 后续如果学到状态空间，稳定性分析对应的是系统矩阵 $A$ 的特征值——本质上和传递函数的极点是同一件事的不同表述。

一句话：稳定性是控制理论的入场券。 不会判断稳定性，后面所有章节都没法学。