第4章 稳定性、极点零点与 Routh 判据

学习目标

学完本章后，你应该能够：

1. 从传递函数中找出零点、极点和特征方程。
2. 根据极点在 $s$ 平面的位置判断稳定、临界稳定或不稳定。
3. 不求根，用 Routh 表判断高阶系统的稳定性。
4. 对含参数 $K$ 的特征方程求稳定范围。
5. 处理 Routh 表中的第一列零、整行全零和 marginal stability。
6. 求临界稳定时的振荡频率。

本章考试会怎么考

题型	你要写出的关键步骤
给传递函数找 pole/zero	分子为零是零点，分母为零是极点
给 $\zeta,\omega_n$ 求极点	写标准二阶特征方程，再求根
给极点图判稳定	左稳、右不稳、虚轴临界
给多项式用 Routh 判稳	构造 Routh 表，看第一列符号变化
求 $K$ 稳定范围	第一列全部大于 0，解不等式
求 marginal stability	令临界行元素为 0，用辅助方程求 $\omega$

先用人话理解本章在讲什么

控制系统最先问的不是“响应快不快”，而是“会不会炸”。一个系统如果有极点在右半平面，输出会随时间指数增长，后面再谈 PID、Bode、补偿器都没意义。

极点决定系统的自然响应。Routh 判据的价值在于：高阶多项式很难手算根，但考试仍然会给三阶、四阶甚至六阶特征方程。Routh 表让你不用求根，只看系数就能知道右半平面有几个极点。

公式速查

传递函数：

$$G(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$$

零点：

$$N(s)=0$$

极点：

$$D(s)=0$$

闭环特征方程通常来自：

$$1+G(s)H(s)=0$$

二阶标准特征方程：

$$s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0$$

极点：

$$s=-\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$$

欠阻尼时：

$$s=-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$$

Routh 判据：

Routh 表第一列符号变化次数 = 右半平面极点数。

稳定要求第一列全部同号，通常要求全部为正。

核心概念

1. 极点和零点

对于：

$$G(s)=\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots}$$

• $z_i$ 是零点，在 $s$ 平面用 $\circ$ 标记。
• $p_i$ 是极点，在 $s$ 平面用 $imes$ 标记。

稳定性主要看极点。零点会影响响应形状和 root locus 终点，但不能只看零点判断稳定。

2. $s$ 平面稳定性

极点位置	响应项	稳定性
左半平面 $\sigma<0$	$e^{\sigma t}$ 衰减	稳定
右半平面 $\sigma>0$	$e^{\sigma t}$ 增长	不稳定
虚轴 $\sigma=0$	等幅振荡或常值	临界稳定
重复虚轴极点	振荡幅值可能增长	通常视为不稳定

考试口径： “stable”通常指渐近稳定，即所有极点严格在左半平面。虚轴上不能直接写 stable。

3. Routh 表怎么填

对特征方程：

$$a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0=0$$

前两行：

行	第1列	第2列	第3列	…
$s^n$	$a_n$	$a_{n-2}$	$a_{n-4}$	…
$s^{n-1}$	$a_{n-1}$	$a_{n-3}$	$a_{n-5}$	…

后续每个元素用相邻两行交叉相乘：

若上两行为：

行	第1列	第2列	第3列
上行	$\alpha_1$	$\alpha_2$	$\alpha_3$
下行	$\beta_1$	$\beta_2$	$\beta_3$

则下一行第 $i$ 个元素：

$$\gamma_i=\frac{\beta_1\alpha_{i+1}-\alpha_1\beta_{i+1}}{\beta_1}$$

标准解题模板

模板 A：Routh 判稳

1. 写闭环特征方程。
2. 按降幂排列，不要漏项，缺项补 0。
3. 先检查系数是否全正。系数不全正，系统不可能渐近稳定。
4. 构造 Routh 表。
5. 看第一列符号变化次数。
6. 写结论：稳定 / 不稳定 / 临界稳定。

模板 B：含 $K$ 的稳定范围

1. 写出含 $K$ 的闭环特征方程。
2. 构造 Routh 表。
3. 写出第一列所有元素 $>0$ 的不等式。
4. 联立解出 $K$ 范围。
5. 单独说明边界值对应 marginal stability，不属于严格稳定。

模板 C：临界稳定与振荡频率

1. 找到让 Routh 第一列某项为 0 的临界参数。
2. 用零行上方一行构造辅助方程 $A(s)$。
3. 解 $A(s)=0$。
4. 若得到 $s= \pm j\omega$，则振荡频率为 $\omega$。

配套例题

例题 1：给阻尼比求极点

二阶系统 $\zeta=0.4$，$\omega_n=5$。求极点并判断稳定性。

特征方程：

$$s^2+2(0.4)(5)s+5^2=0$$ $$s^2+4s+25=0$$

求根：

$$s=\frac{-4\pm\sqrt{16-100}}{2}=-2\pm j\sqrt{21}$$

两个极点实部为 $-2$，在左半平面，所以稳定；有虚部，所以响应会衰减振荡。

例题 2：三阶 Routh 判稳

特征方程：

$$s^3+2s^2+3s+4=0$$

Routh 表：

行	第1列	第2列
$s^3$	1	3
$s^2$	2	4
$s^1$	$\frac{2\times3-1\times4}{2}=1$	0
$s^0$	4

第一列：$1,2,1,4$，全正，无符号变化。

结论：系统稳定。

例题 3：求 $K$ 的稳定范围

单位负反馈系统开环为：

$$L(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}$$

闭环特征方程：

$$1+L(s)=0$$ $$s(s+1)(s+2)+K=0$$

展开：

$$s^3+3s^2+2s+K=0$$

Routh 表：

行	第1列	第2列
$s^3$	1	2
$s^2$	3	$K$
$s^1$	$\frac{3\times2-1\times K}{3}=\frac{6-K}{3}$	0
$s^0$	$K$

稳定要求第一列全正：

$$1>0,\quad 3>0,\quad \frac{6-K}{3}>0,\quad K>0$$

所以：

$$0<K<6$$

边界 $K=6$ 不是稳定，而是临界稳定。

例题 4：临界振荡频率

继续例题 3，当 $K=6$：

$$s^3+3s^2+2s+6=0$$

Routh 表中 $s^1$ 行变为 0。用上一行 $s^2$ 行构造辅助方程：

$$A(s)=3s^2+6=0$$ $$s^2=-2$$ $$s=\pm j\sqrt{2}$$

所以临界振荡频率：

$$\omega=\sqrt{2}\;\text{rad/s}$$

Routh 特殊情况

第一列首项为 0，但整行不全为 0

用一个很小的正数 $\epsilon$ 替代 0，继续构造 Routh 表，最后令 $\epsilon \to 0^+$ 判断符号变化。

整行全为 0

说明存在关于原点对称的根，常见是虚轴根。处理方法：

1. 用上一行构造辅助多项式 $A(s)$。
2. 对 $A(s)$ 求导。
3. 用导数的系数替代全零行。
4. 继续完成 Routh 表。
5. 解辅助方程，判断是否有虚轴根。

易错点与扣分点

1. 只检查系数全正。 系数全正只是必要条件，不是充分条件。
2. 拿开环分母当闭环特征方程。 闭环稳定性看闭环分母，常由 $1+GH=0$ 得到。
3. 漏掉缺项的 0。 例如 $s^4+2s^2+1$ 的 $s^3$、$s^1$ 系数都是 0。
4. 把 marginal stability 写成 stable。 虚轴极点不等于渐近稳定。
5. 求 $K$ 范围时忘记 $K>0$。 很多增益题默认 $K$ 是正增益。

自测题与答案

题 1

传递函数：

$$G(s)=\frac{s+2}{s^2+3s+2}$$

求零点、极点和稳定性。

答案：

零点：$s=-2$。

分母：

$$s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$$

极点：$s=-1,-2$，均在左半平面，系统稳定。

题 2

特征方程：

$$s^4+2s^3+3s^2+4s+5=0$$

用 Routh 判据判断右半平面极点数。

答案：

Routh 表：

行	第1列	第2列	第3列
$s^4$	1	3	5
$s^3$	2	4	0
$s^2$	$\frac{2\times3-1\times4}{2}=1$	$\frac{2\times5-1\times0}{2}=5$
$s^1$	$\frac{1\times4-2\times5}{1}=-6$	0
$s^0$	5

第一列：$1,2,1,-6,5$。符号变化：$1$ 到 $-6$ 一次，$-6$ 到 $5$ 一次，共 2 次。

所以有 2 个右半平面极点，系统不稳定。

题 3

特征方程：

$$s^3+4s^2+Ks+8=0$$

求稳定的 $K$ 范围。

答案：

Routh 表：

行	第1列	第2列
$s^3$	1	$K$
$s^2$	4	8
$s^1$	$\frac{4K-8}{4}=K-2$	0
$s^0$	8

稳定要求：

$$K-2>0$$

同时系数要求 $K>0$，所以严格稳定范围：

$$K>2$$

$K=2$ 为临界情况。

学习路线

先练二阶极点判断，再练三阶 Routh，最后练含参数 $K$。Root locus 和 Nyquist 后面都会反复用 “临界 $K$” 这个概念，本章必须先练熟。

和后续章节的关系

第 6 章 root locus 的虚轴交点通常靠 Routh 求；第 7 章 Nyquist 判断出的稳定范围应和 Routh 一致；第 8 章 GM/PM 本质上也是在问距离临界稳定还有多远。