Latent Note
ESC

课程笔记

第2章 矢量分析：Q1 小计算工具箱

面向 Q1 小计算的梯度、散度、旋度、通量、环量、Gauss 定理与 Stokes 定理速成。

2026年6月25日 · 9 分钟阅读 · 电磁场与波

本章对应哪些考试题

本章主要服务 Q1 概念题和小计算题。往年题里，矢量分析通常不会单独出很长的大题，但会以这些形式出现：

  • 给一个矢量场，算 ∇⋅A\nabla\cdot\mathbf A 或 ∇×A\nabla\times\mathbf A。
  • 给一个标量场，算 ∇V\nabla V 或 ∇2V\nabla^2V。
  • 问 Gauss 定理、Stokes 定理的物理意义。
  • 用散度/旋度判断场是不是源场、涡旋场。
  • 在圆柱坐标中算散度，最容易漏掉 1/ρ1/\rho。

这章的目标不是学会所有数学细节，而是在考场看到算子题时能稳定拿分。

先用人话理解本章在讲什么

电磁场是“空间每一点都有一个物理量”。如果这个物理量是电势，就是标量场；如果是电场、磁场，就是矢量场。

矢量分析里最重要的三个运算可以这样理解：

  • 梯度 gradient：标量场变化最快的方向。电场和电势的关系就是 E=−∇V\mathbf E=-\nabla V。
  • 散度 divergence：看一个矢量场在某点像不像“源”或“汇”。电荷是电场的源，所以 ∇⋅D=ρv\nabla\cdot\mathbf D=\rho_v。
  • 旋度 curl：看一个矢量场在某点有没有“打转”。电流让磁场打转，所以静磁场里 ∇×H=J\nabla\times\mathbf H=\mathbf J。

考试里常见错误不是概念完全不会，而是坐标系公式用错，尤其是圆柱坐标。

必背符号和单位

符号含义考试用途
∇V\nabla V标量场的梯度由电势求电场
∇⋅A\nabla\cdot\mathbf A矢量场的散度由 D\mathbf D 求 ρv\rho_v，判断源
∇×A\nabla\times\mathbf A矢量场的旋度由 H\mathbf H 求 J\mathbf J，判断涡旋
∇2V\nabla^2V标量场的 LaplacianPoisson/Laplace 方程
dld\mathbf l线元环量、Stokes 定理
dSd\mathbf S有向面元通量、Gauss 定理
dVdV体元体积分

核心概念

标量场与矢量场

直觉解释： 标量场只给大小，矢量场给大小和方向。

正式定义：

  • 标量场：V(x,y,z)V(x,y,z)。
  • 矢量场：A(x,y,z)=Axx^+Ayy^+Azz^\mathbf A(x,y,z)=A_x\hat{\mathbf x}+A_y\hat{\mathbf y}+A_z\hat{\mathbf z}。

考场问法： 电势 VV 是标量场，电场 E\mathbf E 是矢量场；温度是标量场，速度是矢量场。

通量与环量

通量看“穿过多少”：

Φ=∫SA⋅dS\Phi=\int_S\mathbf A\cdot d\mathbf S

环量看“沿闭合曲线绕一圈累积多少”：

∮CA⋅dl\oint_C\mathbf A\cdot d\mathbf l

电磁场里：

  • ∮SD⋅dS=Q\oint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S=Q 是电通量和电荷的关系。
  • ∮CH⋅dl=I\oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l=I 是磁场环量和电流的关系。

Gauss 定理

∮SA⋅dS=∫V∇⋅A dV\boxed{\oint_S\mathbf A\cdot d\mathbf S=\int_V\nabla\cdot\mathbf A\,dV}

人话：闭合面流出去多少，等于体内每一点“源强度”的总和。

电磁场里最重要的应用是：

∮SD⋅dS=∫Vρv dV=Q\oint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S=\int_V\rho_v\,dV=Q

Stokes 定理

∮CA⋅dl=∫S(∇×A)⋅dS\boxed{\oint_C\mathbf A\cdot d\mathbf l=\int_S(\nabla\times\mathbf A)\cdot d\mathbf S}

人话：沿边界绕一圈的环量，等于面内每一点旋转强度的总和。

电磁场里最重要的应用是：

∮CH⋅dl=∫SJ⋅dS=I\oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l=\int_S\mathbf J\cdot d\mathbf S=I

核心公式与推导

直角坐标公式

考前优先级：直角坐标的梯度、散度、Laplacian 必背；圆柱坐标散度必背；圆柱坐标旋度会查即可；球坐标完整公式低优先，本章只保留径向散度常用形式。

对 V=V(x,y,z)V=V(x,y,z)：

∇V=∂V∂xx^+∂V∂yy^+∂V∂zz^\boxed{\nabla V={\partial V\over\partial x}\hat{\mathbf x}+{\partial V\over\partial y}\hat{\mathbf y}+{\partial V\over\partial z}\hat{\mathbf z}}

对 A=Axx^+Ayy^+Azz^\mathbf A=A_x\hat{\mathbf x}+A_y\hat{\mathbf y}+A_z\hat{\mathbf z}：

∇⋅A=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z\boxed{\nabla\cdot\mathbf A={\partial A_x\over\partial x}+{\partial A_y\over\partial y}+{\partial A_z\over\partial z}} ∇×A=∣x^y^z^∂/∂x∂/∂y∂/∂zAxAyAz∣\boxed{ \nabla\times\mathbf A= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf x} & \hat{\mathbf y} & \hat{\mathbf z}\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}} ∇2V=∂2V∂x2+∂2V∂y2+∂2V∂z2\boxed{\nabla^2V={\partial^2V\over\partial x^2}+{\partial^2V\over\partial y^2}+{\partial^2V\over\partial z^2}}

圆柱坐标公式

圆柱坐标 ρ,ϕ,z\rho,\phi,z 最适合同轴线、无限长直线、圆柱电荷。

线元、面元、体元：

dl=ρ^ dρ+ϕ^ ρdϕ+z^ dzd\mathbf l=\hat{\boldsymbol\rho}\,d\rho+\hat{\boldsymbol\phi}\,\rho d\phi+\hat{\mathbf z}\,dz dSρ=ρdϕdz,dSz=ρdρdϕ,dV=ρdρdϕdzdS_\rho=\rho d\phi dz,\qquad dS_z=\rho d\rho d\phi, \qquad dV=\rho d\rho d\phi dz

梯度：

∇V=∂V∂ρρ^+1ρ∂V∂ϕϕ^+∂V∂zz^\boxed{\nabla V={\partial V\over\partial \rho}\hat{\boldsymbol\rho}+{1\over\rho}{\partial V\over\partial \phi}\hat{\boldsymbol\phi}+{\partial V\over\partial z}\hat{\mathbf z}}

散度：

∇⋅A=1ρ∂(ρAρ)∂ρ+1ρ∂Aϕ∂ϕ+∂Az∂z\boxed{\nabla\cdot\mathbf A={1\over\rho}{\partial(\rho A_\rho)\over\partial\rho}+{1\over\rho}{\partial A_\phi\over\partial\phi}+{\partial A_z\over\partial z}}

旋度：

∇×A=(1ρ∂Az∂ϕ−∂Aϕ∂z)ρ^+(∂Aρ∂z−∂Az∂ρ)ϕ^+1ρ(∂(ρAϕ)∂ρ−∂Aρ∂ϕ)z^\boxed{ \nabla\times\mathbf A=\left({1\over\rho}{\partial A_z\over\partial\phi}-{\partial A_\phi\over\partial z}\right)\hat{\boldsymbol\rho} +\left({\partial A_\rho\over\partial z}-{\partial A_z\over\partial\rho}\right)\hat{\boldsymbol\phi} +{1\over\rho}\left({\partial(\rho A_\phi)\over\partial\rho}-{\partial A_\rho\over\partial\phi}\right)\hat{\mathbf z}}

标量 Laplacian：

∇2V=1ρ∂∂ρ(ρ∂V∂ρ)+1ρ2∂2V∂ϕ2+∂2V∂z2\boxed{\nabla^2V={1\over\rho}{\partial\over\partial\rho}\left(\rho{\partial V\over\partial\rho}\right)+{1\over\rho^2}{\partial^2V\over\partial\phi^2}+{\partial^2V\over\partial z^2}}

球坐标最常用项

球坐标最常用于点电荷、带电球：

dSr=r2sin⁡θ dθdϕ,dV=r2sin⁡θ drdθdϕdS_r=r^2\sin\theta\,d\theta d\phi, \qquad dV=r^2\sin\theta\,drd\theta d\phi

若场只有径向分量 A=Ar(r)r^\mathbf A=A_r(r)\hat{\mathbf r}，散度可简化为：

∇⋅A=1r2ddr(r2Ar)\boxed{\nabla\cdot\mathbf A={1\over r^2}{d\over dr}(r^2A_r)}

这个公式足够处理大多数带电球/点电荷的 Q1 小题。

固定做题模板

模板 1：给 VV 求 E\mathbf E 和 ρv\rho_v

题目特征：给一个电势 V(x,y,z)V(x,y,z)，让求电场或电荷密度。

步骤：

  1. 先看变量是直角坐标 x,y,zx,y,z，还是圆柱坐标 ρ,ϕ,z\rho,\phi,z。如果是圆柱坐标，梯度中的 ϕ\phi 项有 1/ρ1/\rho，散度也不能直接用直角坐标公式。
  2. 用 E=−∇V\mathbf E=-\nabla V。
  3. 用 D=εE\mathbf D=\varepsilon\mathbf E。
  4. 用 ρv=∇⋅D\rho_v=\nabla\cdot\mathbf D。
  5. 若 ε\varepsilon 为常数，也可以直接用 ρv=−ε∇2V\rho_v=-\varepsilon\nabla^2V。

易错点：E\mathbf E 前面有负号；ρv\rho_v 是 ∇⋅D\nabla\cdot\mathbf D，不是 ∇⋅E\nabla\cdot\mathbf E，除非再乘 ε\varepsilon。

模板 2：给 D\mathbf D 求总电荷

题目特征：给 D\mathbf D，让求某体积内总电荷。

两种方法：

  • 如果闭合面简单：直接算 Q=∮SD⋅dSQ=\oint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S。
  • 如果体积分简单：先算 ρv=∇⋅D\rho_v=\nabla\cdot\mathbf D，再算 Q=∫VρvdVQ=\int_V\rho_v dV。

两种方法理论上一样，选更省事的。

模板 3：给 A\mathbf A 判断源和旋

题目特征：问“该场是否 solenoidal/irrotational”。

  • Solenoidal 无散场：∇⋅A=0\nabla\cdot\mathbf A=0。
  • Irrotational 无旋场：∇×A=0\nabla\times\mathbf A=0。

电磁场对应：

  • ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf B=0：磁场无散。
  • 静电场 ∇×E=0\nabla\times\mathbf E=0：静电场无旋。

往年考试例题

例题 1：柱坐标散度（2024 Q1 类型）

给定圆柱坐标矢量场

D=ρ2ρ^C/m2\mathbf D=\rho^2\hat{\boldsymbol\rho}\quad \text{C/m}^2

求体电荷密度 ρv\rho_v。

解：

用圆柱坐标散度公式：

ρv=∇⋅D=1ρ∂(ρDρ)∂ρ+1ρ∂Dϕ∂ϕ+∂Dz∂z\rho_v=\nabla\cdot\mathbf D={1\over\rho}{\partial(\rho D_\rho)\over\partial\rho}+{1\over\rho}{\partial D_\phi\over\partial\phi}+{\partial D_z\over\partial z}

这里 Dρ=ρ2D_\rho=\rho^2，Dϕ=0D_\phi=0，Dz=0D_z=0，所以

ρv=1ρ∂(ρ3)∂ρ=3ρ\rho_v={1\over\rho}{\partial(\rho^3)\over\partial\rho}=3\rho

答案：

ρv=3ρ C/m3\boxed{\rho_v=3\rho\ \text{C/m}^3}

易错提醒： 不能写成 ∂Dρ/∂ρ=2ρ\partial D_\rho/\partial\rho=2\rho，因为圆柱坐标散度有 1ρ∂(ρDρ)∂ρ\frac1\rho\frac{\partial(\rho D_\rho)}{\partial\rho}。

例题 2：由电势求电场和电荷密度（2023/2024 Q1 类型）

均匀介质中

V=x2+2y2−3zV=x^2+2y^2-3z

求 E\mathbf E 和 ρv\rho_v。

解：

先求梯度：

∇V=2xx^+4yy^−3z^\nabla V=2x\hat{\mathbf x}+4y\hat{\mathbf y}-3\hat{\mathbf z}

所以

E=−2xx^−4yy^+3z^\boxed{\mathbf E=-2x\hat{\mathbf x}-4y\hat{\mathbf y}+3\hat{\mathbf z}}

若介电常数为 ε\varepsilon，则

ρv=−ε∇2V\rho_v=-\varepsilon\nabla^2V

而

∇2V=∂2V∂x2+∂2V∂y2+∂2V∂z2=2+4+0=6\nabla^2V={\partial^2V\over\partial x^2}+{\partial^2V\over\partial y^2}+{\partial^2V\over\partial z^2}=2+4+0=6

所以

ρv=−6ε\boxed{\rho_v=-6\varepsilon}

易错提醒： VV 中的 −3z-3z 对电场有贡献，对 Laplacian 没贡献，因为二阶导为 0。

例题 3：Stokes 定理的物理意义（2025 Q2 类型）

说明 Stokes 定理在静磁场中的意义。

答题框架：

Stokes 定理为

∮CH⋅dl=∫S(∇×H)⋅dS\oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l=\int_S(\nabla\times\mathbf H)\cdot d\mathbf S

静磁场中

∇×H=J\nabla\times\mathbf H=\mathbf J

因此

∮CH⋅dl=∫SJ⋅dS=Ienc\oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l=\int_S\mathbf J\cdot d\mathbf S=I_{\rm enc}

物理意义：磁场沿闭合路径的环量等于穿过该路径所围曲面的总电流。这就是安培环路定律。

重点难点总结

  1. 圆柱坐标最容易漏 ρ\rho：线元有 ρdϕ\rho d\phi，面元和体元也有 ρ\rho。
  2. 散度是源强度，旋度是打转强度；不要只背公式。
  3. 静电场无旋：∇×E=0\nabla\times\mathbf E=0，所以可写 E=−∇V\mathbf E=-\nabla V。
  4. 磁场无散：∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf B=0，所以磁力线闭合。
  5. Gauss 定理是“闭合面通量 ↔ 体内散度”，Stokes 定理是“边界环量 ↔ 面内旋度”。

自测题与答案

题 1

在圆柱坐标中，A=1ρρ^\mathbf A={1\over\rho}\hat{\boldsymbol\rho}。求 ∇⋅A\nabla\cdot\mathbf A（ρ≠0\rho\ne0）。

答案：

∇⋅A=1ρ∂(ρAρ)∂ρ=1ρ∂(1)∂ρ=0\nabla\cdot\mathbf A={1\over\rho}{\partial(\rho A_\rho)\over\partial\rho}={1\over\rho}{\partial(1)\over\partial\rho}=0

注意 ρ=0\rho=0 处有奇异性，常对应线源；普通小计算若说明 ρ≠0\rho\ne0，答案就是 0。

题 2

给 V=5x−2y+z2V=5x-2y+z^2，求 E\mathbf E。

答案：

∇V=5x^−2y^+2zz^\nabla V=5\hat{\mathbf x}-2\hat{\mathbf y}+2z\hat{\mathbf z} E=−5x^+2y^−2zz^\boxed{\mathbf E=-5\hat{\mathbf x}+2\hat{\mathbf y}-2z\hat{\mathbf z}}

题 3

若 ∇×E=0\nabla\times\mathbf E=0，能否一定说 E=0\mathbf E=0？

**答案：**不能。∇×E=0\nabla\times\mathbf E=0 只表示电场无旋、保守，可以写成 E=−∇V\mathbf E=-\nabla V。电场本身可以不为零，例如均匀静电场 E=E0x^\mathbf E=E_0\hat{\mathbf x}，旋度为零但场不为零。

题 4

写出 Gauss 定理，并说明它和电场高斯定律的关系。

答案：

Gauss 定理：

∮SA⋅dS=∫V∇⋅A dV\oint_S\mathbf A\cdot d\mathbf S=\int_V\nabla\cdot\mathbf A\,dV

令 A=D\mathbf A=\mathbf D，再用 Maxwell 方程 ∇⋅D=ρv\nabla\cdot\mathbf D=\rho_v，得到

∮SD⋅dS=∫VρvdV=Q\oint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S=\int_V\rho_v dV=Q

这就是电场高斯定律。

学习路线

如果你基础弱，本章按这个顺序学：

  1. 先记住梯度、散度、旋度分别在问什么。
  2. 只背直角坐标和圆柱坐标公式；球坐标先背径向散度简式。
  3. 做 3 个小题：由 VV 求 E\mathbf E，由 D\mathbf D 求 ρv\rho_v，由 A\mathbf A 求旋度。
  4. 再去第3章用这些工具处理电场问题。

和后续章节的关系

  • 第3章用 ∇⋅D=ρv\nabla\cdot\mathbf D=\rho_v 和 E=−∇V\mathbf E=-\nabla V。
  • 第5章用 ∇⋅J=0\nabla\cdot\mathbf J=0 描述稳恒电流。
  • 第6章用 ∇×H=J\nabla\times\mathbf H=\mathbf J 求磁场。
  • 第7章把这些算子组合成 Maxwell 方程。

一页考前速记

∇V=(∂V∂x,∂V∂y,∂V∂z)\nabla V=\left({\partial V\over\partial x},{\partial V\over\partial y},{\partial V\over\partial z}\right) ∇⋅A=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z\nabla\cdot\mathbf A={\partial A_x\over\partial x}+{\partial A_y\over\partial y}+{\partial A_z\over\partial z} ∇2V=∂2V∂x2+∂2V∂y2+∂2V∂z2\nabla^2V={\partial^2V\over\partial x^2}+{\partial^2V\over\partial y^2}+{\partial^2V\over\partial z^2}

圆柱坐标散度一定写成：

∇⋅A=1ρ∂(ρAρ)∂ρ+1ρ∂Aϕ∂ϕ+∂Az∂z\nabla\cdot\mathbf A={1\over\rho}{\partial(\rho A_\rho)\over\partial\rho}+{1\over\rho}{\partial A_\phi\over\partial\phi}+{\partial A_z\over\partial z}

Gauss 定理：闭合面通量 = 体内散度积分。Stokes 定理：闭合线环量 = 面内旋度积分。