第4章 静电边值问题：只保留镜像法与方程判断

本章对应哪些考试题

本章主要服务 Q1 概念题和小计算题。老师明确说 Q1 覆盖全书但除去分离变量法，所以本章只保留三件事：

1. 会判断 Poisson 方程和 Laplace 方程。
2. 会说唯一性定理为什么支撑镜像法。
3. 会做点电荷对接地无限导体平面的镜像法小题。

往年题里镜像法出现过，通常不会要求你重新推导复杂导体球镜像。考前一天最该掌握的是：导体平面镜像、电势表达、受力大小、符号方向。

先用人话理解本章在讲什么

第3章能处理高对称电荷分布，但现实题目经常有导体边界，比如“点电荷放在接地导体平面旁边”。这时直接用高斯定律通常不够，因为导体表面会感应电荷，场分布被边界强烈改变。

边值问题的思路是：

• 场在区域里要满足 Poisson/Laplace 方程。
• 场在边界上要满足给定电势或法向导数。
• 如果能构造一个满足方程和边界条件的解，唯一性定理保证它就是正确解。

镜像法就是最典型的“构造解”：把导体拿掉，在导体另一侧放一个假想电荷，让原导体表面变成需要的等势面。

必背符号和单位

符号	含义	考试用途
$V,\varphi$	电势	判断 Poisson/Laplace，写镜像电势
$\rho_v$	体电荷密度	Poisson 方程源项
$\varepsilon$	介电常数	电势、电场、力的分母
$q$	真实点电荷	镜像法
$q'$	镜像电荷	接地平面时 $q'=-q$
$h$	点电荷到导体平面的距离	受力公式
$\rho_s$	导体表面感应面电荷密度	可作为拓展小问

核心概念

Poisson 方程

有电荷的区域中，电势满足：

$$\boxed{\nabla^2V=-{\rho_v\over\varepsilon}}$$

人话：电荷密度是电势弯曲程度的来源。

Laplace 方程

无自由电荷区域中，$\rho_v=0$，所以：

$$\boxed{\nabla^2V=0}$$

人话：区域内没有电荷，电势由边界决定。

边界条件

静电边值问题常见两类边界条件：

• Dirichlet 条件：边界上电势 $V$ 已知。
• Neumann 条件：边界上法向导数 $\partial V/\partial n$ 已知，也就是法向电场已知。

接地导体表面就是最常见的 Dirichlet 条件：

$$V=0$$

唯一性定理

结论： 在同一个区域里，如果两个解满足同一个 Poisson/Laplace 方程，并且满足同一组边界条件，那么它们在该区域内相同。

镜像法为什么靠谱？因为它不是“物理上真的有镜像电荷”，而是构造了一个在真实区域内满足方程和边界条件的解。唯一性定理告诉我们，这个构造解就是该区域的真实解。

核心公式与推导

点电荷在接地无限导体平面上方

设置：接地导体平面为 $z=0$，真实点电荷 $q$ 位于 $(0,0,h)$，研究区域为 $z>0$。

镜像电荷：

$$\boxed{q'=-q,\qquad \text{位置 }(0,0,-h)}$$

电势：

$$\boxed{ V(x,y,z)={q\over4\pi\varepsilon}\left({1\over R_1}-{1\over R_2}\right) }$$

其中

$$R_1=\sqrt{x^2+y^2+(z-h)^2},\qquad R_2=\sqrt{x^2+y^2+(z+h)^2}$$

验证边界：在 $z=0$ 上，$R_1=R_2$，所以 $V=0$，满足接地导体边界条件。

点电荷受力

真实点电荷受到导体的吸引力，等效为受到镜像电荷 $-q$ 的库仑力。两电荷距离为 $2h$：

$$F={1\over4\pi\varepsilon}{q^2\over(2h)^2}$$

所以

$$\boxed{F={q^2\over16\pi\varepsilon h^2}}$$

方向指向导体平面。

表面感应电荷密度

如果题目要求感应面电荷，可由导体表面外侧法向电场求。更安全的写法是

$$\boxed{\rho_s=\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf D_{\text{outside}}}$$

其中 $\hat{\mathbf n}$ 取从导体指向外部介质的法向。对接地平面 $z=0$、真实区域 $z>0$ 的例子，外法向是 $+\hat{\mathbf z}$。若改用相反法向，$E_n$ 的符号也会改变；最终物理结果应为正电荷下方感应负电荷。

对上面的点电荷-接地平面问题，导体上表面感应电荷为

$$\boxed{\rho_s(\rho)=-{qh\over2\pi(\rho^2+h^2)^{3/2}}}$$

这里 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$。如果考试只问总感应电荷，答案是 $-q$。

固定做题模板

模板 1：判断 Poisson 还是 Laplace

题目特征：给一个区域，问电势满足什么方程。

步骤：

1. 看区域内有没有体电荷密度 $\rho_v$。
2. 有电荷：$\nabla^2V=-\rho_v/\varepsilon$。
3. 无电荷：$\nabla^2V=0$。
4. 导体边界只提供边界条件，不代表区域内一定有电荷。

模板 2：接地无限导体平面的镜像法

题目特征：点电荷 + 接地无限导体平面。

步骤：

1. 把导体平面设为镜面。
2. 在另一侧对称位置放镜像电荷。
3. 接地平面：镜像电荷大小相等、符号相反。
4. 写电势：真实电荷贡献 + 镜像电荷贡献。
5. 若问力，用真实电荷与镜像电荷的库仑力，距离是 $2h$。

模板 3：非接地导体平面

低优先级，考前一天可跳过。主线先掌握接地无限导体平面的镜像法。

如果导体平面不是接地，而是保持某常数电势 $V_0$，可以先用镜像法保证平面为等势面，再叠加常数电势 $V_0$。电场不受常数电势影响。

考前一天只需知道这个处理思路，复杂非接地导体球不作为本轮重点。

往年考试例题

例题 1：接地导体平面受力（2025 Q1 类型）

点电荷 $q$ 位于接地无限导体平面上方距离 $h$ 处，求电荷受到的力。

解：

用镜像法，在导体平面另一侧距离 $h$ 处放镜像电荷

$$q'=-q$$

真实电荷和镜像电荷之间距离为 $2h$。力大小为

$$F={1\over4\pi\varepsilon_0}{q^2\over(2h)^2}={q^2\over16\pi\varepsilon_0h^2}$$

方向：$q$ 与 $-q$ 相吸，所以真实电荷被吸向导体平面。

$$\boxed{F={q^2\over16\pi\varepsilon_0h^2}\quad\text{指向导体平面}}$$

易错提醒： 不能写 $q^2/(4\pi\varepsilon_0h^2)$，因为作用距离不是 $h$，而是 $2h$。

例题 2：判断电势函数是否满足 Laplace 方程（Q1 类型）

在无电荷区域中，给定

$$V=x^2-y^2+3z$$

问它是否可能作为该区域的静电电势。

解：

无电荷区域必须满足 Laplace 方程：

$$\nabla^2V=0$$

计算：

$${\partial^2V\over\partial x^2}=2, \qquad {\partial^2V\over\partial y^2}=-2, \qquad {\partial^2V\over\partial z^2}=0$$

所以

$$\nabla^2V=2-2+0=0$$

因此该函数可以作为无电荷区域中的静电电势，前提是还要满足题目给定边界条件。

例题 3：镜像法电势表达（2023/2025 类型）

点电荷 $q$ 在 $(0,0,h)$，接地平面为 $z=0$。写出 $z>0$ 区域电势。

解：

镜像电荷 $-q$ 在 $(0,0,-h)$。所以

$$V(x,y,z)={q\over4\pi\varepsilon_0}\left({1\over\sqrt{x^2+y^2+(z-h)^2}}-{1\over\sqrt{x^2+y^2+(z+h)^2}}\right)$$

在 $z=0$ 处两项相等，$V=0$，满足接地边界。

重点难点总结

1. 分离变量法本轮考试范围明确排除，不要在考前一天花大量时间。
2. Poisson 方程看区域内电荷，Laplace 方程看无电荷区域。
3. 镜像电荷不是实际存在的，只在真实求解区域外构造。
4. 接地无限导体平面：镜像电荷符号相反、位置对称。
5. 点电荷受力用真实电荷和镜像电荷之间的距离 $2h$。

自测题与答案

题 1

无电荷区域中 $V=x^2+y^2-2z^2$ 是否满足 Laplace 方程？

答案：

$$\nabla^2V=2+2-4=0$$

满足 Laplace 方程。因此它可能是无电荷区域的电势函数，但还要看是否满足边界条件。

题 2

点电荷 $q=2\,\text{nC}$ 距接地无限导体平面 $h=1\,\text{cm}$，介质为空气，写出受力大小表达式。

答案：

$$F={q^2\over16\pi\varepsilon_0h^2}$$

代入 $q=2\times10^{-9}$ C，$h=10^{-2}$ m：

$$F={4\times10^{-18}\over16\pi\varepsilon_0\times10^{-4}}$$

方向指向导体平面。考场若要求数值，再代 $\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}$ F/m。

题 3

为什么镜像法只能在导体外部真实区域使用，不能说导体内部真的有镜像电荷？

答案：

镜像电荷是数学构造，用来让真实区域内的电势满足边界条件。导体内部实际处于静电平衡，电场为零、电势为常数，并不存在镜像电荷产生的奇异电场。镜像法的正确性只由真实求解区域内的方程和边界条件保证。

题 4

接地无限导体平面上方点电荷 $q$ 的总感应电荷是多少？

答案：

总感应电荷为

$$\boxed{-q}$$

直觉：接地平面可以与地交换电荷，最终上表面感应总电荷等效为镜像电荷的总量。

学习路线

1. 先背 Poisson/Laplace 的区别。
2. 再背唯一性定理的答题话术。
3. 最后只练接地无限导体平面镜像法。
4. 如果还有时间，再看导体球镜像；但本轮优先级低于 Q2/Q3/Q4。

和后续章节的关系

本章最重要的思想是“边界条件决定解”。第8章电磁波反射透射也是同一个思想：在界面上让切向 $\mathbf E$ 和 $\mathbf H$ 满足边界条件，就能推出反射系数和透射系数。

一页考前速记

$$\nabla^2V=-\rho_v/\varepsilon\quad\text{有电荷区域}$$ $$\nabla^2V=0\quad\text{无电荷区域}$$

接地无限导体平面：

$$q'=-q, \qquad \text{位置对称}$$ $$V={q\over4\pi\varepsilon}\left({1\over R_1}-{1\over R_2}\right)$$ $$F={q^2\over16\pi\varepsilon h^2}$$

分离变量法本轮不作为复习重点。