第5章 恒定电流：电流密度、电阻与连续性

本章对应哪些考试题

本章主要服务 Q1 概念题和小计算题。往年题里，恒定电流常以这些形式出现：

• 给 $\mathbf E$ 和 $\sigma$，求 $\mathbf J$。
• 判断连续性方程、稳恒电流条件。
• 求平板、同轴、多层介质电阻。
• 比较静电场中的导体和恒定电流场中的导体。
• 计算焦耳损耗功率。

它通常不是整道大题的核心，但很适合塞进 Q1 小问。

先用人话理解本章在讲什么

静电场里，理想导体内部 $\mathbf E=0$，电荷不再持续运动。恒定电流场不一样：有限电导率导体里必须有电场，电荷才会持续漂移，所以

$$\mathbf J=\sigma\mathbf E$$

这章的直觉是：

• 电场推动电荷流动。
• 电流线在稳恒情况下不能凭空开始或结束，所以 $\nabla\cdot\mathbf J=0$。
• 电流通过电阻会消耗能量，功率密度是 $\mathbf J\cdot\mathbf E$。
• 很多电阻题和静电电容题长得像，只是把 $\varepsilon$ 换成 $\sigma$ 或 $1/\sigma$。

必背符号和单位

符号	含义	单位
$\mathbf J$	体电流密度	A/m$^2$
$\mathbf K$ 或 $\mathbf J_s$	面电流密度	A/m
$I$	电流	A
$\sigma$	电导率	S/m
$\rho_c$	电阻率，$\rho_c=1/\sigma$	Ω·m
$\mathbf E$	推动电荷运动的电场	V/m
$R$	电阻	Ω
$P$	功率	W
$p$	功率密度	W/m$^3$

注意：本章用 $\rho_c$ 表示电阻率，避免和电荷密度 $\rho_v$ 混淆。

核心概念

电流密度 $\mathbf J$

直觉解释： 单位面积上穿过多少电流，并且带方向。

定义：

$$\boxed{I=\int_S\mathbf J\cdot d\mathbf S}$$

如果载流子密度为 $N$，电荷量为 $q$，漂移速度为 $\mathbf u$：

$$\boxed{\mathbf J=Nq\mathbf u}$$

电流方向按正电荷运动方向定义。电子流方向和电流方向相反。

点形式 Ohm 定律

线性各向同性导体中：

$$\boxed{\mathbf J=\sigma\mathbf E}$$

这比电路里的 $U=IR$ 更基本。电阻公式都可以从它积分出来。

连续性方程

电荷守恒给出：

$$\boxed{\nabla\cdot\mathbf J=-{\partial\rho_v\over\partial t}}$$

稳恒电流中，电荷密度不随时间变化：

$$\boxed{\nabla\cdot\mathbf J=0}$$

人话：稳恒电流线不能在某点突然开始或结束。

焦耳损耗

功率密度：

$$\boxed{p=\mathbf J\cdot\mathbf E=\sigma E^2={J^2\over\sigma}}$$

总功率：

$$\boxed{P=\int_V p\,dV=UI=I^2R={U^2\over R}}$$

核心公式与推导

恒定电流场基本方程

在均匀导电介质中：

$$\boxed{\nabla\cdot\mathbf J=0},\qquad \boxed{\nabla\times\mathbf E=0},\qquad \boxed{\mathbf J=\sigma\mathbf E}$$

因为 $\mathbf E=-\nabla V$，所以

$$\mathbf J=-\sigma\nabla V$$

若 $\sigma$ 为常数：

$$\nabla\cdot\mathbf J=-\sigma\nabla^2V=0$$

因此导电区域内电势满足

$$\boxed{\nabla^2V=0}$$

这就是它和静电无电荷区域的相似性。

电阻的场论定义

电阻定义：

$$\boxed{R={U\over I}}$$

其中

$$U=\int \mathbf E\cdot d\mathbf l, \qquad I=\int_S\mathbf J\cdot d\mathbf S$$

均匀长导体，长度 $l$，截面积 $S$：

$$E={U\over l},\qquad J=\sigma E={\sigma U\over l},\qquad I=JS={\sigma SU\over l}$$

所以

$$\boxed{R={l\over\sigma S}}$$

同轴径向电阻

内半径 $a$，外半径 $b$，长度 $l$，电流径向流动。半径 $\rho$ 处面积：

$$S(\rho)=2\pi\rho l$$

微元电阻：

$$dR={d\rho\over\sigma 2\pi\rho l}$$

积分：

$$\boxed{R={\ln(b/a)\over2\pi\sigma l}}$$

若径向分层，每层电导率不同，串联相加：

$$\boxed{R=\sum_i{\ln(r_{i+1}/r_i)\over2\pi\sigma_i l}}$$

导电媒质边界条件

稳恒电流边界上：

1. 法向电流连续（无电荷积累）：

$$\boxed{J_{1n}=J_{2n}}$$

2. 切向电场连续：

$$\boxed{E_{1t}=E_{2t}}$$

由 $\mathbf J=\sigma\mathbf E$，可得到无电荷积累时：

$$\sigma_1E_{1n}=\sigma_2E_{2n}$$

和静电边界很像： 静电是法向 $D$ 连续；导电是法向 $J$ 连续。

场景	切向连续	法向连续/跳变
静电介质边界，无自由面电荷	$E_t$ 连续	$D_n$ 连续
稳恒导电边界，无电荷积累	$E_t$ 连续	$J_n$ 连续
磁介质边界，无自由面电流	$H_t$ 连续	$B_n$ 连续

固定做题模板

模板 1：给 $\mathbf E$ 求 $\mathbf J$ 和功率密度

步骤：

1. 用 $\mathbf J=\sigma\mathbf E$。
2. 用 $p=\mathbf J\cdot\mathbf E=\sigma E^2$。
3. 若要总功率，对体积积分：$P=\int p\,dV$。

易错点：$p$ 是标量，单位 W/m$^3$；$\mathbf J$ 是矢量。

模板 2：平板电阻

题目特征：电流均匀穿过面积 $S$、厚度 $d$ 的介质。

$$\boxed{R={d\over\sigma S}}$$

多层平板沿电流方向叠放：

$$\boxed{R=\sum_i{d_i\over\sigma_i S}}$$

多层平板并排、同电压时按并联处理。判断规则：电流依次穿过多层就是串联，电阻相加；多块介质共享同一电压并分流就是并联，电导相加；同轴径向分层通常是串联，平板并排通常是并联。

模板 3：同轴径向电阻

题目特征：内外圆柱电极之间有导电介质，电流沿径向流。

直接用：

$$\boxed{R={\ln(b/a)\over2\pi\sigma l}}$$

多层径向介质：

$$\boxed{R=\sum_i{\ln(r_{i+1}/r_i)\over2\pi\sigma_i l}}$$

往年考试例题

例题 1：同轴多介质电阻（2023/2025 Q2 类型）

同轴结构长度为 $l$，内半径 $a$，中间半径 $c$，外半径 $b$。$a<\rho<c$ 介质电导率为 $\sigma_1$，$c<\rho<b$ 电导率为 $\sigma_2$。求内外导体之间电阻。

解：

径向电流流过两层介质，等效串联。

第一层：

$$R_1={\ln(c/a)\over2\pi\sigma_1 l}$$

第二层：

$$R_2={\ln(b/c)\over2\pi\sigma_2 l}$$

总电阻：

$$\boxed{R={\ln(c/a)\over2\pi\sigma_1 l}+{\ln(b/c)\over2\pi\sigma_2 l}}$$

易错提醒： 径向分层是串联，不是把 $\sigma$ 简单平均。

例题 2：由电场求电流密度和损耗（Q1 类型）

某均匀导体 $\sigma=5\,\text{S/m}$，内部电场

$$\mathbf E=2\hat{\mathbf x}-\hat{\mathbf y}\quad \text{V/m}$$

求 $\mathbf J$ 和功率密度 $p$。

解：

$$\mathbf J=\sigma\mathbf E=5(2\hat{\mathbf x}-\hat{\mathbf y})=10\hat{\mathbf x}-5\hat{\mathbf y}\quad \text{A/m}^2$$ $$E^2=2^2+(-1)^2=5$$ $$p=\sigma E^2=5\times5=25\quad \text{W/m}^3$$

答案：

$$\boxed{\mathbf J=10\hat{\mathbf x}-5\hat{\mathbf y}\ \text{A/m}^2}, \qquad \boxed{p=25\ \text{W/m}^3}$$

例题 3：导电边界条件（2025 Q3 类型）

两种导电媒质交界面无表面电荷积累，电导率分别为 $\sigma_1$、$\sigma_2$。已知介质 1 中法向电场为 $E_{1n}$，求介质 2 中法向电场。

解：

稳恒电流中法向电流连续：

$$J_{1n}=J_{2n}$$

用 $J=\sigma E$：

$$\sigma_1E_{1n}=\sigma_2E_{2n}$$

所以

$$\boxed{E_{2n}={\sigma_1\over\sigma_2}E_{1n}}$$

对比静电边界： 静电无自由面电荷时是 $\varepsilon_1E_{1n}=\varepsilon_2E_{2n}$；导电稳恒边界是 $\sigma_1E_{1n}=\sigma_2E_{2n}$。

重点难点总结

1. 有限电导率导体中，为了维持恒定电流，内部 $\mathbf E$ 通常不为零。
2. 稳恒电流满足 $\nabla\cdot\mathbf J=0$，不是 $\mathbf J=0$。
3. 电阻题先判断电流路径：沿长度均匀流、径向流、还是多层串并联。
4. 同轴径向电阻公式和同轴电容公式相似，但电容用 $\varepsilon$，电阻用 $1/\sigma$。
5. 导电边界连续的是法向 $J$，不是法向 $E$。

自测题与答案

题 1

长为 $l$、截面积为 $S$、电导率为 $\sigma$ 的均匀导体，求电阻。

答案：

$$\boxed{R={l\over\sigma S}}$$

推导：$E=U/l$，$J=\sigma E$，$I=JS=\sigma SU/l$，所以 $R=U/I=l/(\sigma S)$。

题 2

同轴导电介质内半径 $a$、外半径 $b$、长度 $l$、电导率 $\sigma$，求径向电阻。

答案：

半径 $\rho$ 处面积 $2\pi\rho l$，所以

$$dR={d\rho\over\sigma 2\pi\rho l}$$

积分：

$$\boxed{R={\ln(b/a)\over2\pi\sigma l}}$$

题 3

稳恒电流中，若某点 $\nabla\cdot\mathbf J>0$，这意味着什么？为什么稳恒时不允许？

答案：

连续性方程：

$$\nabla\cdot\mathbf J=-{\partial\rho_v\over\partial t}$$

若 $\nabla\cdot\mathbf J>0$，说明该点附近净流出电流为正，电荷密度随时间减少。稳恒电流要求 $\partial\rho_v/\partial t=0$，所以必须有 $\nabla\cdot\mathbf J=0$。

题 4

导体中 $\mathbf J=3\hat{\mathbf x}$ A/m$^2$，$\sigma=6$ S/m，求 $\mathbf E$ 和 $p$。

答案：

$$\mathbf E={\mathbf J\over\sigma}=0.5\hat{\mathbf x}\ \text{V/m}$$ $$p=\mathbf J\cdot\mathbf E=3\times0.5=1.5\ \text{W/m}^3$$

学习路线

1. 先背 $\mathbf J=\sigma\mathbf E$、$\nabla\cdot\mathbf J=0$、$p=\mathbf J\cdot\mathbf E$。
2. 再练平板电阻和同轴径向电阻。
3. 最后把导电边界条件和静电边界条件对照背。

和后续章节的关系

第6章的磁场由电流产生，所以本章的 $\mathbf J$ 会进入 $\nabla\times\mathbf H=\mathbf J$。第8章有耗媒质里也会比较传导电流 $\sigma\mathbf E$ 和位移电流 $j\omega\varepsilon\mathbf E$，判断良导体/良介质。

一页考前速记

$$\mathbf J=\sigma\mathbf E, \qquad \nabla\cdot\mathbf J=0\quad\text{稳恒}, \qquad p=\mathbf J\cdot\mathbf E=\sigma E^2$$ $$R={l\over\sigma S}, \qquad R_{\rm coax}={\ln(b/a)\over2\pi\sigma l}$$

径向多层同轴：

$$R=\sum_i{\ln(r_{i+1}/r_i)\over2\pi\sigma_i l}$$

导电边界：

$$J_{1n}=J_{2n}, \qquad E_{1t}=E_{2t}$$

看到电阻题，先画电流路径，再判断串联还是并联。