第6章静磁场：Q2 磁场、电感与磁能

本章对应哪些考试题

本章是 Q2 的主战场。老师明确点名：CH6，概念题 + 大计算题，范围包括

\mathbf B, \quad \mathbf H, \quad \mathbf M, \quad \mathbf J_M, \quad \text{自感}, \quad \text{互感}, \quad \text{磁能}

从往年题和 mock 2026 看，最值得优先掌握的是两套大题模板：

同轴线磁场-磁能-电感：mock 2026 Q2、2022 Q9、2025 Q4 都能对应。
螺线管自感/互感：2023 Q3、2024 Q4 反复出现。

概念题则集中在 $\mathbf B$ 、 $\mathbf H$ 、 $\mathbf M$ 的区别，磁化电流，以及磁边界条件。

先用人话理解本章在讲什么

第3章是“电荷产生电场”，本章是“电流产生磁场”。静磁场的直觉是：

电流让磁场绕起来，所以用环路积分最方便。
磁场线永远闭合，没有孤立磁荷，所以 $\nabla\cdot\mathbf B=0$ 。
在介质中，真实微观电流很复杂，于是引入 $\mathbf H$ 和 $\mathbf M$ ，把自由电流和磁化效应分开。
电感不是电路里凭空来的元件参数，本质是“电流产生磁链的能力”。
磁能可以从场能密度积分，也可以从 $W_m=\frac12 LI^2$ 反推电感。

Q2 不怕公式多，怕你不知道从哪里开始。看到“同轴线/螺线管/磁能/电感”，第一反应都应该是：先求 $\mathbf H$ 或 $\mathbf B$ 。

必背符号和单位

符号	含义	单位	考试提醒
$\mathbf B$	磁感应强度/磁通密度	T	进入磁通 $\Phi$
$\mathbf H$	磁场强度	A/m	安培环路定律常用
$\mathbf M$	磁化强度	A/m	单位体积磁偶极矩
$\mathbf J$	自由体电流密度	A/m $^2$	$\nabla\times\mathbf H=\mathbf J$
$\mathbf J_M$	体磁化电流密度	A/m $^2$	$\mathbf J_M=\nabla\times\mathbf M$
$\mathbf K_M$	面磁化电流密度	A/m	$\mathbf K_M=\mathbf M\times\hat{\mathbf n}$
$\mu$	磁导率	H/m	线性介质 $\mathbf B=\mu\mathbf H$
$\Phi$	磁通	Wb	$\Phi=\int\mathbf B\cdot d\mathbf S$
$\Psi$	磁链	Wb	多匝线圈 $\Psi=N\Phi$
$L$	自感	H	$L=\Psi/I$
$M$	互感	H	$M=\Psi_{21}/I_1$
$w_m$	磁能密度	J/m $^3$	$w_m=\frac12\mathbf B\cdot\mathbf H$

注意：互感 $M$ 和磁化强度 $\mathbf M$ 符号相同但含义不同。写题时用粗体 $\mathbf M$ 表示磁化强度，用标量 $M$ 表示互感。

核心概念

$\mathbf B$ 、 $\mathbf H$ 、 $\mathbf M$ 的区别

$\mathbf B$ ：真正进入洛伦兹力和磁通的磁感应强度，表示总磁效应。
$\mathbf H$ ：把自由电流单独拎出来后使用的辅助磁场，环路积分直接对应自由电流。
$\mathbf M$ ：介质被磁化后，单位体积内的磁偶极矩；磁化效应可用 $\mathbf M$ 或等效磁化电流描述。

一般关系：

\boxed{\mathbf B=\mu_0(\mathbf H+\mathbf M)}

线性各向同性介质中：

\boxed{\mathbf M=\chi_m\mathbf H}, \qquad \boxed{\mathbf B=\mu\mathbf H=\mu_0(1+\chi_m)\mathbf H}

考场答法： $\mathbf B$ 描述总磁场效果， $\mathbf H$ 与自由电流关系最直接， $\mathbf M$ 描述介质磁化。

磁化电流

磁化强度不均匀或有边界时，会等效出束缚电流：

\boxed{\mathbf J_M=\nabla\times\mathbf M}

\boxed{\mathbf K_M=\mathbf M\times\hat{\mathbf n}}

其中 $\hat{\mathbf n}$ 是介质表面向外法向。老师点名 $J_M$ ，所以即使往年大题不一定展开，也必须会写定义和物理意义。

安培环路定律

静磁场宏观形式：

\boxed{\oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l=I_{\rm free,enc}}

微分形式：

\boxed{\nabla\times\mathbf H=\mathbf J}

它适合高对称电流分布：无限长直导线、同轴线、长螺线管、环形磁芯。

磁边界条件

设 $\hat{\mathbf n}$ 从介质 1 指向介质 2：

\boxed{\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf B_2-\mathbf B_1)=0}

\boxed{\hat{\mathbf n}\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1)=\mathbf K_s}

分量人话：

法向 $B$ 连续： $B_{1n}=B_{2n}$ 。
切向 $H$ 因自由面电流跳变；若无自由面电流，则 $H_{1t}=H_{2t}$ 。

这里的 $\mathbf K_s$ 方向必须与所选 $\hat{\mathbf n}$ 配套；如果教材采用相反法向，右端符号会相应改变。考试时先画出 $\hat{\mathbf n}$ 和 $\mathbf K_s$ ，再代入边界条件。

和静电边界对比： 静电是切向 $E$ 连续、法向 $D$ 跳变；静磁是法向 $B$ 连续、切向 $H$ 跳变。

核心公式与推导

静磁场基本方程

\boxed{\nabla\cdot\mathbf B=0}, \qquad \boxed{\nabla\times\mathbf H=\mathbf J}

积分形式：

\boxed{\oint_S\mathbf B\cdot d\mathbf S=0}, \qquad \boxed{\oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l=I_{\rm enc}}

真空中 $\mathbf B=\mu_0\mathbf H$ ，所以也可写

\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J

磁矢位

因为 $\nabla\cdot\mathbf B=0$ ，可以引入磁矢位：

\boxed{\mathbf B=\nabla\times\mathbf A}

静磁场中常配合 Coulomb gauge：

\boxed{\nabla\cdot\mathbf A=0}

概念题常问：为什么能引入 $\mathbf A$ ？答：因为 $\mathbf B$ 无散，任意旋度的散度恒为零。

磁能与电感

磁能密度：

\boxed{w_m={1\over2}\mathbf B\cdot\mathbf H={1\over2}\mu H^2={B^2\over2\mu}}

总磁能：

\boxed{W_m=\int_V w_m\,dV}

自感定义：

\boxed{L={\Psi\over I}}

磁能与电感关系：

\boxed{W_m={1\over2}LI^2}, \qquad \boxed{L={2W_m\over I^2}}

易错点： 从磁能求电感时必须乘 2，不能写 $L=W/I^2$ 。

互感定义：

\boxed{M_{21}={\Psi_{21}\over I_1}}

其中 $\Psi_{21}$ 是线圈 1 的电流 $I_1$ 在线圈 2 中产生的磁链。

固定做题模板

模板 1：同轴线磁场-磁能-电感

题目特征：内导体半径 $a$ ，外导体内半径 $b$ ，中间填充磁导率 $\mu$ 的介质，电流 $I$ 和回流 $-I$ 。

先判断模型：

题干关键词	采用模型	是否算导体内部磁能
ideal conductor / current on surface / outer conductor thickness neglected	表面电流模型	不算
solid conductor / uniformly distributed current / DC current in conductor volume	均匀体电流模型	要算
只问介质区域 $a<\rho<b$	只算介质区域	不补导体内部

第一步：用安培环路定律求 $H$

在 $a<\rho<b$ ：

H_\phi(2\pi\rho)=I

\boxed{\mathbf H={I\over2\pi\rho}\hat{\boldsymbol\phi}\quad(a<\rho<b)}

理想导体/表面电流模型下：

\boxed{\mathbf H=0\quad(\rho<a)}, \qquad \boxed{\mathbf H=0\quad(\rho>b)}

如果题目明确说内导体为实心且电流均匀分布，则内导体中要改用

\boxed{\mathbf H={I\rho\over2\pi a^2}\hat{\boldsymbol\phi}\quad(\rho<a)}

本次 mock 2026 的描述“外导体厚度忽略、中间填充介质”更适合先按理想同轴线模板处理；若老师特别强调 DC 均匀电流，再补内导体内磁能。

第二步：积分单位长度磁能

单位长度体元：

dV'=2\pi\rho\,d\rho

磁能密度：

w_m={1\over2}\mu H^2={1\over2}\mu\left({I\over2\pi\rho}\right)^2

单位长度磁能：

W_m'=\int_a^b {1\over2}\mu\left({I\over2\pi\rho}\right)^2 2\pi\rho\,d\rho

\boxed{W_m'={\mu I^2\over4\pi}\ln{b\over a}}

第三步：由磁能求电感

L'={2W_m'\over I^2}

所以

\boxed{L'={\mu\over2\pi}\ln{b\over a}}

模板 2：长螺线管自感

题目特征：长螺线管长度 $l$ ，匝数 $N$ ，截面积 $S$ ，电流 $I$ 。

安培环路：

\boxed{H={NI\over l}}

磁感应强度：

\boxed{B=\mu H=\mu{NI\over l}}

单匝磁通：

\Phi=BS=\mu{NI\over l}S

磁链：

\Psi=N\Phi=\mu{N^2SI\over l}

自感：

\boxed{L={\Psi\over I}={\mu N^2S\over l}}

模板 3：互感

题目特征：线圈 1 产生磁场，问线圈 2 的磁链或互感。

步骤：

只让线圈 1 通电 $I_1$ 。
求它在目标区域的 $B_1$ 。
求穿过线圈 2 单匝的磁通 $\Phi_{21}$ 。
求线圈 2 的磁链 $\Psi_{21}=N_2\Phi_{21}$ 。
互感

\boxed{M_{21}={\Psi_{21}\over I_1}}

若两个线圈耦合完全且共用同一磁通区域，结果通常也满足 $M_{12}=M_{21}$ 。

常见长螺线管互感模板：线圈 1 为长螺线管，长度 $l$ 、匝数 $N_1$ 、截面积 $S_1$ ；线圈 2 有 $N_2$ 匝并套在共同磁通区域内，有效耦合面积为 $S_{\rm eff}$ 。线圈 1 通电 $I_1$ 时，

H_1={N_1I_1\over l}, \qquad B_1=\mu{N_1I_1\over l}

线圈 2 单匝磁通为

\Phi_{21}=B_1S_{\rm eff}

磁链为

\Psi_{21}=N_2\Phi_{21}

所以互感为

\boxed{M_{21}={\Psi_{21}\over I_1}={\mu N_1N_2S_{\rm eff}\over l}}

若两线圈完全同轴且截面积不同，通常取 $S_{\rm eff}$ 为共同穿过磁通的较小面积。

模板 4：磁边界条件题

题目特征：两种磁介质界面，给一侧 $\mathbf B$ 或 $\mathbf H$ ，求另一侧分量。

步骤：

分解法向/切向。
法向 $B$ 连续： $B_{1n}=B_{2n}$ 。
若无自由面电流，切向 $H$ 连续： $H_{1t}=H_{2t}$ 。
用 $B=\mu H$ 在各自介质中换算。

往年考试例题

例题 1：同轴线磁场、磁能、电感（mock 2026 Q2 类型）

同轴线内导体半径 $a$ ，外导体内半径 $b$ ，外导体厚度忽略，中间填充磁导率 $\mu$ 的介质。内外导体携带大小相等、方向相反的直流电流 $I$ 。求各区域磁场、中间介质单位长度磁能和单位长度电感。

解：

在 $a<\rho<b$ 选半径 $\rho$ 的圆形安培回路：

\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l=H_\phi2\pi\rho=I

所以

\boxed{\mathbf H={I\over2\pi\rho}\hat{\boldsymbol\phi}\quad(a<\rho<b)}

理想导体表面电流模型下：

\boxed{\mathbf H=0\quad(\rho<a)}, \qquad \boxed{\mathbf H=0\quad(\rho>b)}

单位长度磁能：

W_m'=\int_a^b {1\over2}\mu\left({I\over2\pi\rho}\right)^2 2\pi\rho\,d\rho

= {\mu I^2\over4\pi}\int_a^b {1\over\rho}d\rho ={\mu I^2\over4\pi}\ln{b\over a}

因此

\boxed{W_m'={\mu I^2\over4\pi}\ln{b\over a}}

单位长度电感：

\boxed{L'={2W_m'\over I^2}={\mu\over2\pi}\ln{b\over a}}

易错提醒： 介质中求磁能时体元是单位长度圆柱壳 $2\pi\rho d\rho$ ，不能写成 $\pi(b^2-a^2)$ 乘平均场，因为 $H$ 随 $1/\rho$ 变化。

例题 2：长螺线管自感（2023/2024 Q3 类型）

长螺线管长度 $l$ ，匝数 $N$ ，截面积 $S$ ，填充磁导率 $\mu$ 的磁介质，求自感。

解：

长螺线管内部磁场近似均匀：

H={NI\over l}

B=\mu H=\mu{NI\over l}

单匝磁通：

\Phi=BS=\mu{NI\over l}S

磁链：

\Psi=N\Phi=\mu{N^2SI\over l}

所以

\boxed{L={\Psi\over I}={\mu N^2S\over l}}

例题 3：磁边界条件（2024 Q4 类型）

两磁介质界面无自由面电流，磁导率分别为 $\mu_1$ 、 $\mu_2$ 。已知介质 1 中切向磁场 $H_{1t}$ 和法向磁感应强度 $B_{1n}$ ，求介质 2 中对应分量。

解：

无自由面电流：

H_{2t}=H_{1t}

法向 $B$ 永远连续：

B_{2n}=B_{1n}

若要换成 $H_{2n}$ ，用 $B_{2n}=\mu_2H_{2n}$ ：

H_{2n}={B_{1n}\over\mu_2}

若要换成 $B_{2t}$ ，用 $B_{2t}=\mu_2H_{2t}$ ：

B_{2t}=\mu_2H_{1t}

易错提醒： 无面电流时连续的是切向 $H$ ，不是切向 $B$ 。

例题 4：磁化电流概念题

均匀磁化介质内 $\mathbf M=M_0\hat{\mathbf z}$ 为常量，问体磁化电流 $\mathbf J_M$ 是否存在。

解：

\mathbf J_M=\nabla\times\mathbf M

因为 $\mathbf M$ 是常量，旋度为零：

\boxed{\mathbf J_M=0}

但如果介质有边界，面磁化电流可能存在：

\mathbf K_M=\mathbf M\times\hat{\mathbf n}

所以“体磁化电流为零”不代表“完全没有磁化等效电流”。

重点难点总结

$\mathbf B$ 进磁通， $\mathbf H$ 进安培环路， $\mathbf M$ 描述磁化。
$\mathbf J_M=\nabla\times\mathbf M$ ， $\mathbf K_M=\mathbf M\times\hat{\mathbf n}$ 。
同轴线电感模板一定按 $H \to W_m' \to L'$ 走。
磁能求电感： $L=2W/I^2$ ，别漏 2。
螺线管自感： $L=\mu N^2S/l$ 。
磁边界条件： $B_n$ 连续， $H_t$ 因面电流跳变。

自测题与答案

题 1

同轴线 $a<\rho<b$ 中 $\mathbf H=I/(2\pi\rho)\hat{\boldsymbol\phi}$ ，求 $\mathbf B$ 。

答案：

线性介质中 $\mathbf B=\mu\mathbf H$ ，所以

\boxed{\mathbf B={\mu I\over2\pi\rho}\hat{\boldsymbol\phi}}

题 2

同轴线单位长度磁能为 $W_m'=\mu I^2\ln(b/a)/(4\pi)$ ，求单位长度电感。

答案：

L'={2W_m'\over I^2}={2\over I^2}{\mu I^2\over4\pi}\ln{b\over a}

\boxed{L'={\mu\over2\pi}\ln{b\over a}}

题 3

为什么 $\nabla\cdot\mathbf B=0$ 可以理解为“没有磁荷”？

答案：

散度描述场线的源或汇。 $\nabla\cdot\mathbf B=0$ 表示磁感应线没有起点和终点，任意闭合面的总磁通为零。因此不存在孤立的北极或南极磁荷，磁力线总是闭合。

题 4

某介质 $\mathbf M=M_0\rho\hat{\boldsymbol\phi}$ ，柱坐标下求 $J_{Mz}$ 。

答案：

柱坐标旋度的 $z$ 分量：

(\nabla\times\mathbf M)_z={1\over\rho}{\partial(\rho M_\phi)\over\partial\rho}-{1\over\rho}{\partial M_\rho\over\partial\phi}

这里 $M_\phi=M_0\rho$ ， $M_\rho=0$ ，所以

J_{Mz}={1\over\rho}{\partial(M_0\rho^2)\over\partial\rho}=2M_0

\boxed{\mathbf J_M=2M_0\hat{\mathbf z}}

学习路线

先背 $\mathbf B=\mu_0(\mathbf H+\mathbf M)$ 和磁化电流定义。
再练同轴线模板，必须能从头推到 $L'$ 。
然后练螺线管自感和互感。
最后补磁边界条件概念题。

和后续章节的关系

第7章会把静磁场的 $\nabla\times\mathbf H=\mathbf J$ 改成

\nabla\times\mathbf H=\mathbf J+{\partial\mathbf D\over\partial t}

也就是加入位移电流。第8章平面波中的磁场 $\mathbf H$ 仍然和这里同一个物理量，只是变成随时间和空间传播的波。

一页考前速记

\mathbf B=\mu_0(\mathbf H+\mathbf M), \qquad \mathbf B=\mu\mathbf H\quad\text{线性介质}

\mathbf J_M=\nabla\times\mathbf M, \qquad \mathbf K_M=\mathbf M\times\hat{\mathbf n}

\oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l=I_{\rm enc}, \qquad \nabla\cdot\mathbf B=0

同轴线：

H_\phi={I\over2\pi\rho}, \quad W_m'={\mu I^2\over4\pi}\ln{b\over a}, \quad L'={\mu\over2\pi}\ln{b\over a}

螺线管：

H={NI\over l}, \quad B=\mu{NI\over l}, \quad L={\mu N^2S\over l}

边界： $B_n$ 连续； $H_t$ 无自由面电流时连续，有自由面电流时跳变。

本章对应哪些考试题

先用人话理解本章在讲什么

必背符号和单位

核心概念

B\mathbf BB、H\mathbf HH、M\mathbf MM 的区别

磁化电流

安培环路定律

磁边界条件

核心公式与推导

静磁场基本方程

磁矢位

磁能与电感

固定做题模板

模板 1：同轴线磁场-磁能-电感

第一步：用安培环路定律求 HHH

第二步：积分单位长度磁能

第三步：由磁能求电感

模板 2：长螺线管自感

模板 3：互感

模板 4：磁边界条件题

往年考试例题

例题 1：同轴线磁场、磁能、电感（mock 2026 Q2 类型）

例题 2：长螺线管自感（2023/2024 Q3 类型）

例题 3：磁边界条件（2024 Q4 类型）

例题 4：磁化电流概念题

重点难点总结

自测题与答案

题 1

题 2

题 3

题 4

学习路线

和后续章节的关系

一页考前速记

$\mathbf B$ 、 $\mathbf H$ 、 $\mathbf M$ 的区别

第一步：用安培环路定律求 $H$