传输线速记

📌 考试定位：2024 Q10 和 2025 Q8(4)/Q10 考了传输线输入阻抗推导、λ/4 变换器和 VSWR。本页覆盖最常考的公式和步骤。

1. 核心公式

编号	公式	名称
T.1	$\Gamma=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$	反射系数
T.2	$Z_{in}(l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$	输入阻抗
T.3	$\beta=\frac{2\pi}{\lambda}$	相位常数
T.4	$\text{VSWR}=\frac{1+	\Gamma
T.5	$V_{max}=\text{距负载}\,d_{min}+\lambda/4$	电压最大点位置
T.6	$Z_{in}=Z_0^2/Z_L$（当 $l=\lambda/4$）	λ/4 阻抗变换器
T.7	$Z_0=\sqrt{L/C}$	特性阻抗
T.8	$v_p=1/\sqrt{LC}$	相速度
T.9	$\lambda=v_p/f$	波长

2. 做题套路

套路 1：求输入阻抗

输入： $Z_L$、$Z_0$、线长 $l$（或 $l/\lambda$）。

1. 计算 $\beta l=2\pi l/\lambda$
2. 代入公式 T.2： $$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$$
3. 特殊情况检查：
   • $l=0$：$Z_{in}=Z_L$（直接接负载）
   • $l=\lambda/2$：$Z_{in}=Z_L$（半波重复）
   • $l=\lambda/4$：$Z_{in}=Z_0^2/Z_L$（四分之一变换）
   • 短路 $Z_L=0$：$Z_{in}=jZ_0\tan\beta l$
   • 开路 $Z_L=\infty$：$Z_{in}=-jZ_0\cot\beta l$

套路 2：λ/4 阻抗变换器

输入： 负载阻抗 $Z_L$，需要匹配到 $Z_0$。

1. 插入一段 $\lambda/4$ 传输线
2. 变换器特性阻抗：$Z_{0t}=\sqrt{Z_0\cdot Z_L}$
3. 匹配后 $Z_{in}=Z_0$

⚠️ 注意：λ/4 变换器只在单一频率完美匹配。频率偏移时匹配变差。

套路 3：由 VSWR 和最小点位置求 $Z_L$

输入： VSWR、第一个电压最小点距负载 $d_{min}$。

1. 由 VSWR 求 $|\Gamma|$：

   $$|\Gamma|=\frac{\text{VSWR}-1}{\text{VSWR}+1}$$

2. 电压最小点处 $\Gamma$ 为负实数：$\Gamma_{min}=-|\Gamma|$

3. 从最小点向负载回退 $d_{min}$，反射系数旋转：

   $$\Gamma_L=\Gamma_{min}\cdot e^{-j2\beta d_{min}}$$

   （注意：向负载方向是逆时针，所以指数为负）

4. 由 $\Gamma_L$ 求 $Z_L$：

   $$Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$$

套路 4：stub 匹配（概念理解）

目的： 用一段短路或开路传输线（stub）并联在主线上，抵消负载的反射。

基本步骤（了解即可，考试可能只问原理）：

1. 找到主线上的一个位置，在该处归一化导纳的实部为 1
2. 在该位置并联一个 stub，其电纳恰好抵消虚部
3. stub 长度由短路/开路条件确定

3. 典型题

例题 1：λ/4 变换器

题目： 负载 $Z_L=200\,\Omega$，传输线 $Z_0=50\,\Omega$。用 $\lambda/4$ 变换器匹配，求变换器特性阻抗。

解答：

$$Z_{0t}=\sqrt{Z_0\cdot Z_L}=\sqrt{50\times200}=\sqrt{10000}=100\,\Omega$$

答案： 变换器特性阻抗为 $100\,\Omega$。

例题 2：输入阻抗推导

题目： 推导无耗传输线输入阻抗公式。

解答：

传输线上电压和电流可写为入射波和反射波之和：

$$V(z)=V^+e^{-j\beta z}+V^-e^{j\beta z}$$ $$I(z)=\frac{V^+}{Z_0}e^{-j\beta z}-\frac{V^-}{Z_0}e^{j\beta z}$$

在负载端 $z=0$（设负载在 $z=0$）：

$$\Gamma=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$$

在距负载 $l$ 处（$z=-l$）：

$$Z_{in}=\frac{V(-l)}{I(-l)}=Z_0\frac{e^{j\beta l}+\Gamma e^{-j\beta l}}{e^{j\beta l}-\Gamma e^{-j\beta l}}$$

代入 $\Gamma$ 并化简：

$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$$

例题 3：VSWR 求 $Z_L$

题目： $Z_0=50\,\Omega$，测得 VSWR=3，第一个电压最小点距负载 $d_{min}=0.15\lambda$。求 $Z_L$。

解答：

$$|\Gamma|=\frac{3-1}{3+1}=0.5$$

最小点处 $\Gamma=-0.5$。

从最小点向负载回退 $0.15\lambda$：

$$2\beta d_{min}=2\cdot\frac{2\pi}{\lambda}\cdot0.15\lambda=0.6\pi=108°$$ $$\Gamma_L=-0.5\cdot e^{-j0.6\pi}=-0.5(\cos108°-j\sin108°)\approx 0.155+j0.476$$ $$Z_L=50\cdot\frac{1+0.155+j0.476}{1-0.155-j0.476}=50\cdot\frac{1.155+j0.476}{0.845-j0.476}$$

（继续化简可得具体数值）

4. 易错点

❌ 错误	✅ 正确
λ/4 变换器在所有频率匹配	只在单一频率完美匹配
输入阻抗公式中 $\tan$ 的参数用度数	必须用弧度（$\beta l$ 弧度）
电压最小点在 $V_{max}$ 之前	从负载出发，先到最小点
向负载方向是顺时针	向负载方向是逆时针（Smith chart）
短路线输入阻抗为零	只在 $l=0$ 为零；其他位置为纯电抗

5. 自测题

1. λ/4 变换器的特性阻抗公式是什么？
2. 无耗传输线 $l=\lambda/2$ 时输入阻抗等于什么？
3. 短路传输线的输入阻抗是什么形式？
4. VSWR=1 时 $|\Gamma|$ 是多少？
5. λ/4 变换器的局限性是什么？

答案： 1. $Z_{0t}=\sqrt{Z_0 Z_L}$。 2. $Z_{in}=Z_L$（半波重复性）。 3. 纯电抗 $jZ_0\tan\beta l$。 4. $|\Gamma|=0$（完美匹配）。 5. 只在单一频率匹配。