第6章 公式速查与答题模板

本章定位

这章是”考试时翻出来直接用”的公式和模板速查手册。不讲概念解释，只给公式、步骤、易错点。建议考前 30 分钟过一遍。

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公式速查表

领域	公式	符号说明
折现	$PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$	$r$ = 折现率，$n$ = 年数
终值	$FV = PV \times (1+r)^n$	同上
NPV	$NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^t}$	$I_0$ = 初始投资，$CF_t$ = 第 $t$ 年现金流
BCR	$BCR = \dfrac{PV(\text{benefits})}{PV(\text{costs})}$	$BCR > 1$ 值得投资，$BCR = 1$ 不值得
Break-even	$Q_{BE} = \dfrac{FC}{SP - VC}$	$FC$ = 固定成本，$SP$ = 售价，$VC$ = 单位变动成本
Safety Margin	$\text{Safety Margin} = \dfrac{\text{Actual} - Q_{BE}}{\text{Actual}} \times 100\%$	Actual = 实际销量
总成本	$TC = FC + Q \times VC$	$Q$ = 产量
收入	$R = SP \times Q$	同上
沟通渠道	$\text{Channels} = \dfrac{n(n-1)}{2}$	$n$ = 团队人数
CPM Float	$\text{Float} = LF - EF = LS - ES$	Float = 0 即为关键路径
Forward Pass	$EF = ES + D$；$ES = \max(\text{前驱的 } EF)$	$D$ = 工期
Backward Pass	$LS = LF - D$；$LF = \min(\text{后继的 } LS)$	从终点往回算
三角分布	$E = \dfrac{O + M + P}{3}$	$O$ = 乐观，$M$ = 最可能，$P$ = 悲观
Beta/PERT	$E = \dfrac{O + 4M + P}{6}$	同上
标准差	$\sigma = \dfrac{P - O}{6}$	仅用于 PERT Beta 分布
Taguchi Loss	$L(y) = k(y - m)^2$	$m$ = 目标值，$k$ = 损失系数
$k$ 的计算	$k = \dfrac{A_0}{\Delta_0^2}$	$A_0$ = 超出公差的维修费，$\Delta_0$ = 公差范围
控制图 CL	$CL = \bar{\bar{x}}$	样本均值的均值
控制图 UCL/LCL	$UCL = \bar{\bar{x}} + k \cdot s$，$LCL = \bar{\bar{x}} - k \cdot s$	$k$ 通常 = 3（3σ），也有 2σ 变体
X-bar 图（查表法）	$UCL = \bar{\bar{x}} + A_2 \bar{R}$，$LCL = \bar{\bar{x}} - A_2 \bar{R}$	$A_2$ 查表，$\bar{R}$ = 平均极差
R 图	$UCL = D_4 \bar{R}$，$LCL = 0$	$D_4$ 查表，$LCL$ 最小为 0
$\sigma$（由极差估计）	$\sigma = \dfrac{\bar{R}}{d_2}$	$d_2$ 查表
$C_p$	$C_p = \dfrac{USL - LSL}{6\sigma}$	衡量过程潜在能力
$C_{pk}$	$C_{pk} = \min\left[\dfrac{USL - \mu}{3\sigma}, \dfrac{\mu - LSL}{3\sigma}\right]$	衡量过程实际能力
Cross-over	$FC_1 + VC_1 \times Q = FC_2 + VC_2 \times Q$	解出 $Q^*$
EVM: SV	$SV = EV - PV$	$SV > 0$ 进度提前
EVM: CV	$CV = EV - AC$	$CV > 0$ 成本节约
EVM: SPI	$SPI = \dfrac{EV}{PV}$	$SPI > 1$ 进度提前
EVM: CPI	$CPI = \dfrac{EV}{AC}$	$CPI > 1$ 成本节约
EAC	$EAC = \dfrac{BAC}{CPI}$ 或 $EAC = \dfrac{BAC}{CPI \times SPI}$	完工估算
EAC（综合）	$EAC = AC + \dfrac{BAC - EV}{CPI \times SPI}$	剩余工作按当前效率继续

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计算题答题模板

模板 1：NPV / BCR 计算

适用：投资方案比较、项目可行性判断

Step 1 — 列出每年现金流，确认初始投资 $I_0$ 和折现率 $r$

Step 2 — 逐年折现

$PV_t = \frac{CF_t}{(1+r)^t}$

Step 3 — 求 NPV

$NPV = -I_0 + \sum PV_t$

Step 4 — 求 BCR

$BCR = \frac{\sum PV(\text{benefits})}{\sum PV(\text{costs})}$

Step 5 — 判断：NPV > 0 且 BCR > 1 → 值得投资；多个方案选 NPV 最大的

答题写法示例：

The NPV of Project A is $X, which is positive / negative. The BCR is Y, which is greater / less than 1. Therefore, the project is financially viable / not viable and should / should not be undertaken.

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模板 2：Break-even 计算

适用：盈亏平衡点、安全边际

Step 1 — 算 contribution margin（单位边际贡献）

$\text{Contribution} = SP - VC$

Step 2 — 算 break-even quantity

$Q_{BE} = \frac{FC}{SP - VC}$

Step 3 — 验证：在 $Q_{BE}$ 处，$TC = R$

$FC + VC \times Q_{BE} = SP \times Q_{BE}$

Step 4 — 算 safety margin（如题目给实际销量）

$\text{Safety Margin} = \frac{\text{Actual} - Q_{BE}}{\text{Actual}} \times 100\%$

Step 5 — 算利润（如需要）

$\text{Profit} = (SP - VC) \times Q - FC$

答题写法示例：

The break-even point is calculated as FC / (SP - VC) = $X / ($Y - $Z) = W units. At full capacity of N units, the profit is (SP - VC) x N - FC =$P. The safety margin is (N - W) / N x 100% = S%.

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模板 3：CPM 计算

适用：关键路径、浮动时间

Step 1 — 画依赖关系图（节点 = 活动，箭头 = 依赖）

Step 2 — Forward pass（从左到右）

$EF = ES + D$ $ES = \max(\text{所有前驱的 } EF)$

Step 3 — Backward pass（从右到左）

$LS = LF - D$ $LF = \min(\text{所有后继的 } LS)$

Step 4 — 算 Float

$\text{Float} = LF - EF = LS - ES$

Step 5 — 识别 critical path：Float = 0 的活动连起来就是关键路径，其总工期 = 项目最短完成时间

答题写法示例：

The critical path is A → C → E with a total duration of 18 weeks. Activity B has a float of 2 weeks, meaning it can be delayed by 2 weeks without affecting the project completion date.

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模板 4：Control Chart 计算

适用：X-bar 图、R 图

Step 1 — 算中心线 CL

$CL = \bar{\bar{x}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \bar{x}_i$

Step 2 — 算标准差 $s$（或用极差法）

方法一：直接计算

$s = \sqrt{\frac{\sum(\bar{x}_i - \bar{\bar{x}})^2}{n-1}}$

方法二：查表法（给出 $A_2, D_4, d_2$ 时）

$UCL = \bar{\bar{x}} + A_2 \bar{R}$ $LCL = \bar{\bar{x}} - A_2 \bar{R}$

Step 3 — 算 UCL 和 LCL

$UCL = \bar{\bar{x}} + k \cdot s$ $LCL = \bar{\bar{x}} - k \cdot s$

Step 4 — 判断：所有点在 UCL 和 LCL 之间 → 过程稳定；有点超出 → 过程不稳定

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模板 5：Cp / Cpk 计算

适用：过程能力判断

Step 1 — 写出 USL 和 LSL

$USL = \text{目标值} + \text{公差}，\quad LSL = \text{目标值} - \text{公差}$

Step 2 — 算 $C_p$

$C_p = \frac{USL - LSL}{6\sigma}$

Step 3 — 算 $C_{pk}$

$C_{pk} = \min\left[\frac{USL - \mu}{3\sigma}, \frac{\mu - LSL}{3\sigma}\right]$

Step 4 — 判断

$C_{pk}$ 范围	能力等级	风险
$C_{pk} < 1.00$	不合格	高风险，大量不良
$1.00 \leq C_{pk} < 1.33$	勉强合格	中等风险
$1.33 \leq C_{pk} < 1.67$	良好	低风险
$C_{pk} \geq 1.67$	优秀	极低风险

关键判断：$C_p = C_{pk}$ 说明过程居中；$C_{pk} < C_p$ 说明过程偏心。

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模板 6：Taguchi Loss 计算

适用：质量损失函数

Step 1 — 写出公式

$L(y) = k(y - m)^2$

Step 2 — 如果需要求 $k$，用公差边界条件

$k = \frac{A_0}{\Delta_0^2}$

其中 $A_0$ = 超出公差时的维修/替换费用，$\Delta_0$ = 公差范围（$\pm$ 值）

Step 3 — 逐个数据点算 loss

$L_i = k(y_i - m)^2$

Step 4 — 求平均 loss（如需要）

$\bar{L} = k\left[(\bar{y} - m)^2 + s^2\right]$

或直接求和：$\text{Total Loss} = \sum L_i$

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模板 7：沟通渠道计算

适用：团队人数变化时的渠道增减

Step 1 — 确定变化前后的人数 $n_{\text{old}}$ 和 $n_{\text{new}}$

Step 2 — 算原来的渠道数

$C_{\text{old}} = \frac{n_{\text{old}}(n_{\text{old}} - 1)}{2}$

Step 3 — 算新的渠道数

$C_{\text{new}} = \frac{n_{\text{new}}(n_{\text{new}} - 1)}{2}$

Step 4 — 求差值

$\Delta C = C_{\text{new}} - C_{\text{old}}$

易错点：题目问的是”新增多少条渠道”，不是”总共有多少条”。看清是问 total 还是 additional。

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模板 8：Cross-over Point 计算

适用：两个方案的成本交叉点

Step 1 — 写出两个方案的总成本方程

$TC_1 = FC_1 + VC_1 \times Q$ $TC_2 = FC_2 + VC_2 \times Q$

Step 2 — 令 $TC_1 = TC_2$，解出 $Q^*$

$Q^* = \frac{FC_1 - FC_2}{VC_2 - VC_1}$

Step 3 — 如果题目给年产量，折算年限

$\text{年限} = \frac{Q^*}{\text{年产量}}$

Step 4 — 判断：产量 < $Q^*$ → 选低固定成本方案；产量 > $Q^*$ → 选高固定成本低变动成本方案

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易错公式汇总

易错点	错误做法	正确做法
BCR = 1	以为 BCR = 1 就值得投资	$BCR = 1$ 刚好不亏不赚，不值得投资；必须 $BCR > 1$
Float 计算	$Float = EF - LF$（反了）	正确：$Float = LF - EF$（终点 - 起点）
Critical path	以为是最短路径	关键路径是最长路径
Control chart UCL	用 specification limits 当 control limits	Control limits 来自过程数据，specification limits 来自客户要求，两者不同
$C_{pk}$ 公式	只算一边 $(USL - \mu)/(3\sigma)$	必须两边都算，取较小值
Taguchi $k$	以为 $k$ 可以随便取	$k$ 由公差边界条件决定：$k = A_0 / \Delta_0^2$
SPI/CPI 判断	$SV > 0$ = 落后进度	$SV = EV - PV$，$SV > 0$ = 提前进度
Cross-over	分子分母搞反	$Q^* = (FC_1 - FC_2) / (VC_2 - VC_1)$，注意大 FC 减小 FC
Communication channels	把 PM 也算进去	看清题目：PM 是否算在 $n$ 里
Safety Margin	分母用 break-even 值	分母是 actual sales，不是 break-even
$C_p$ vs $C_{pk}$	混淆两者含义	$C_p$ = 潜在能力（不考虑偏心），$C_{pk}$ = 实际能力（考虑偏心）
EAC 公式	用 $AC + (BAC-EV)$	要除以 CPI（或 CPI × SPI），考虑效率因素

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Cpk 风险判断速查表

$C_{pk}$ 值	能力判定	风险等级	考试常见问法
$< 1.00$	过程不合格（incapable）	高风险：不良率 > 0.27%	“Is the process capable?” → No
$1.00 - 1.33$	勉强合格（marginal）	中等风险	需要改进但可接受
$1.33 - 1.67$	良好（capable）	低风险	”Is the process capable?” → Yes
$\geq 1.67$	优秀（highly capable）	极低风险	通常不需要进一步改进

真题考法：

• 2022 年真题 Q3.4：给 UCL/LCL 和 USL/LSL，问 “Is the process capable?” 以及 “Can control chart limits be used as specification limits?”
• 2023 年真题 Q26/Q37/Q51：给 $\bar{\bar{x}}$、$\bar{R}$、样本量，要求算 $C_p$ 和 $C_{pk}$
• 样题 Set 4 Q3(o)：算 $C_{pk}$ 后讨论风险等级

答题写法示例：

The calculated Cpk is X. Since X < 1.00 / 1.00 ≤ X < 1.33 / 1.33 ≤ X < 1.67 / X ≥ 1.67, the process is classified as [不合格/勉强合格/良好/优秀]. This indicates that the process has [high/moderate/low/minimal] risk of producing defective products.