第10章考试专题：财务计算与投资决策

本章定位

这章专门训练财务计算和投资决策能力。Break-even 和 cross-over point 是每年必考的大题（2022 Q3.2/Q3.5、2023 Q19/Q43、2024 Q10、2025 Q2）。EVM 的 SPI/CPI 判断也是高频考点（2022 Q1.12/Q2.3/Q2.4、2023 Q28/Q39/Q52、2024 Q7）。

NPV / BCR / IRR 判断速记

指标	英文	判断规则	注意事项
NPV	Net Present Value	NPV > 0 → 值得投资	多个方案比大小，选 NPV 最大的
BCR	Benefit-Cost Ratio	BCR > 1 → 值得投资	BCR = 1 不值得（刚好不亏不赚）
IRR	Internal Rate of Return	IRR > 要求回报率 → 值得投资	IRR < 0 → 拒绝

三指标不能直接横向比较的陷阱：

NPV 是绝对值，BCR 是比率。一个方案 NPV 大但 BCR 可能小（投资大导致）
BCR 高的方案 NPV 不一定最高
如果 NPV 和 BCR 冲突，以 NPV 为准（NPV 反映真实财富增量）

真题出处：

2022 年真题 Q1.13：BCR > 1 should be undertaken → 正确
2022 年真题 Q1.19：Site A (BCR=1.25), Site B (BCR=0.7) → 选 A
2022 年真题 Q1.16：算 BAC = AC / %complete = 27000/0.45 = $60,000

NPV / BCR 计算练习

练习 1：基础 NPV

参考 2022 年 MCQ Q7-Q9 风格

一个项目初始投资 $50,000，预期 3 年现金流为：

年份	1	2	3
现金流	$20,000	$25,000	$22,000

折现率 10%。求 NPV 和 BCR。

解：

Step 1 — 逐年折现

$PV_1 = \frac{20000}{(1.1)^1} = \frac{20000}{1.1} = 18181.82$

$PV_2 = \frac{25000}{(1.1)^2} = \frac{25000}{1.21} = 20661.16$

$PV_3 = \frac{22000}{(1.1)^3} = \frac{22000}{1.331} = 16528.93$

Step 2 — 求 NPV

$NPV = -50000 + 18181.82 + 20661.16 + 16528.93 = 5371.91$

Step 3 — 求 BCR

$BCR = \frac{PV(\text{benefits})}{PV(\text{costs})} = \frac{18181.82 + 20661.16 + 16528.93}{50000} = \frac{55371.91}{50000} = 1.107$

Step 4 — 判断

NPV = $5,371.91 > 0，BCR = 1.107 > 1 → 项目值得投资。

练习 2：两个方案比较

方案 A：投资 $30,000，5 年每年现金流 $9,000。方案 B：投资 $50,000，5 年每年现金流 $14,000。折现率 8%。哪个方案更好？

解：

等额年金折现公式： $PV = CF \times \dfrac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$

$PV_A = 9000 \times \frac{1 - (1.08)^{-5}}{0.08} = 9000 \times 3.9927 = 35934.30$

$PV_B = 14000 \times \frac{1 - (1.08)^{-5}}{0.08} = 14000 \times 3.9927 = 55897.80$

$NPV_A = 35934.30 - 30000 = 5934.30$

$NPV_B = 55897.80 - 50000 = 5897.80$

$BCR_A = 35934.30 / 30000 = 1.198$

$BCR_B = 55897.80 / 50000 = 1.118$

判断：NPV_A (5934) > NPV_B (5898)，BCR_A (1.198) > BCR_B (1.118) → 选方案 A。

注意：虽然 B 投资更大、年现金流更多，但 A 的效率更高。这就是”NPV 和 BCR 一致”的理想情况。

Break-even 计算专练

核心公式

$Q_{BE} = \frac{FC}{SP - VC}$

$\text{Profit} = (SP - VC) \times Q - FC$

$\text{Safety Margin} = \frac{Q_{\text{actual}} - Q_{BE}}{Q_{\text{actual}}} \times 100\%$

练习 1：基础 Break-even + Safety Margin

参考样题 Sets 2/5 Q4 风格

某公司生产 Wi-Fi 路由器，年产能 45,000 台。成本如下：

项目	金额（RMB）
Direct Materials	405,000
Direct Labour	225,000
Variable Overhead	45,000
Fixed Overhead	562,500

售价：40 RMB/台。

(a) 求 break-even point。

解：

Step 1 — 算总变动成本和单位变动成本

$\text{Total VC} = 405000 + 225000 + 45000 = 675000$

$VC = \frac{675000}{45000} = 15 \text{ RMB/台}$

Step 2 — 算 $Q_{BE}$

$Q_{BE} = \frac{FC}{SP - VC} = \frac{562500}{40 - 15} = \frac{562500}{25} = 22500 \text{ 台}$

(b) 满产时的利润和安全边际。

解：

$\text{Profit} = (40 - 15) \times 45000 - 562500 = 25 \times 45000 - 562500 = 1125000 - 562500 = 562500 \text{ RMB}$

$\text{Safety Margin} = \frac{45000 - 22500}{45000} \times 100\% = 50\%$

练习 2：含额外固定成本

参考样题 Sets 3/6 Q4 风格（含租赁费）

某公司生产光收发器，年产能 17,500 个。成本：

项目	金额（RMB）
Direct Materials	22.50 / 个
Direct Labour	12.50 / 个
Variable Overhead	2.50 / 个
Fixed Overhead	568,750
额外：厂房租赁	225,000 / 年

售价：78.125 RMB/个。

(a) 求 break-even point。

解：

Step 1 — 算单位变动成本

$VC = 22.50 + 12.50 + 2.50 = 37.50 \text{ RMB/个}$

Step 2 — 算总固定成本（注意加租赁费）

$FC = 568750 + 225000 = 793750 \text{ RMB}$

Step 3 — 算 $Q_{BE}$

$Q_{BE} = \frac{793750}{78.125 - 37.50} = \frac{793750}{40.625} = 19538 \text{ 个}$

结论： $Q_{BE} = 19538$ > 产能 17500 → 在当前产能下无法达到 break-even，这个项目会亏钱！

易错点：别忘了加额外固定成本（租赁费、广告费等）。题目给的成本表之外的固定成本也要算进去。

练习 3：求目标利润所需销量

某产品售价 $50，单位变动成本 $30，固定成本 $100,000。要赚 $40,000 利润需要卖多少？

解：

$Q = \frac{FC + \text{Target Profit}}{SP - VC} = \frac{100000 + 40000}{50 - 30} = \frac{140000}{20} = 7000 \text{ 个}$

验证：Profit = (50-30) x 7000 - 100000 = 140000 - 100000 = $40,000 ✓

Cross-over Point 计算专练

核心公式

$Q^* = \frac{FC_1 - FC_2}{VC_2 - VC_1}$

其中 $FC_1 > FC_2$ （高固定成本方案）， $VC_1 < VC_2$ （低变动成本方案）。

判断规则：产量 < $Q^*$ → 选低固定成本方案；产量 > $Q^*$ → 选高固定成本方案。

练习 1：基础两个方案比较

参考 2022 年真题 Q3.5 和 2023 年真题 Q19

两家工厂考虑两种生产系统：

	System X	System Y
Fixed Cost	$15,000	$5,000
Variable Cost	$10/个	$15/个

年产能 1000 个。

(a) 求 cross-over point。

解：

$TC_X = 15000 + 10Q$ $TC_Y = 5000 + 15Q$

令 $TC_X = TC_Y$ ：

$15000 + 10Q = 5000 + 15Q$ $10000 = 5Q$ $Q^* = 2000 \text{ 个}$

(b) 需求低于 cross-over point 时选哪个？

解：

需求 < 2000 → 选 System Y（低固定成本），因为总成本更低。

需求 > 2000 → 选 System X（低变动成本），因为高固定成本被摊薄。

(c) 按年产能 1000 个算，多少年才能达到 cross-over？

解：

$\text{年限} = \frac{2000}{1000} = 2 \text{ 年}$

（2022 年真题 Q3.5 就是这道题，答案 cross-over = 2000 个）

练习 2：含年产量折算年限

参考样题 Sets 2/4/5 Q1.10

手工生产：工具费 1000 RMB，人工 1.50 RMB/个。自动化生产：设备费 15,000 RMB，人工 0.50 RMB/个。年产量 5000 个。求多少年达到 cross-over？

解：

$Q^* = \frac{15000 - 1000}{1.50 - 0.50} = \frac{14000}{1.00} = 14000 \text{ 个}$

$\text{年限} = \frac{14000}{5000} = 2.8 \text{ 年}$

答案：2.8 年。选项 C。

练习 3：Buy vs Lease

参考样题 Set 6 Q1.10

购买设备：30,000 RMB + 500 RMB/天运营费。租赁设备：2,000 RMB/天。最多租多少天比买更划算？

解：

$30000 + 500d = 2000d$ $30000 = 1500d$ $d = 20 \text{ 天}$

判断：租 ≤ 20 天 → 租更划算；> 20 天 → 买更划算。

答案：C — 20 天。

EVM 计算专练

核心公式

指标	公式	判断
SV	$SV = EV - PV$	$SV > 0$ 进度提前， $SV < 0$ 进度落后
CV	$CV = EV - AC$	$CV > 0$ 成本节约， $CV < 0$ 成本超支
SPI	$SPI = EV / PV$	$SPI > 1$ 进度提前， $SPI < 1$ 进度落后
CPI	$CPI = EV / AC$	$CPI > 1$ 成本节约， $CPI < 1$ 成本超支

记忆口诀：EV 永远在前面（分子或被减数）。进度看 PV，成本看 AC。

练习 1：基础 SPI/CPI 计算 + 判断

参考 2023 年真题 Q28 风格

PV = $100,000，EV = $60,000，AC = $80,000。求 SV、CV、SPI、CPI 并判断。

解：

$SV = EV - PV = 60000 - 100000 = -40000$

$CV = EV - AC = 60000 - 80000 = -20000$

$SPI = \frac{EV}{PV} = \frac{60000}{100000} = 0.6$

$CPI = \frac{EV}{AC} = \frac{60000}{80000} = 0.75$

判断：SV < 0, SPI = 0.6 < 1 → 进度落后；CV < 0, CPI = 0.75 < 1 → 成本超支。

结论：项目既落后进度又超支，情况不乐观。

练习 2：综合判断题（陷阱解读）

参考样题 Set 6 Q1.6 风格

一个项目的 CPI = 1.1，SPI = 0.9。怎么解读？

解：

$CPI = 1.1 > 1 \rightarrow \text{成本节约（under budget）}$

$SPI = 0.9 < 1 \rightarrow \text{进度落后（behind schedule）}$

陷阱：不要因为 CPI > 1 就觉得项目很好。进度落后可能导致客户不满、错过市场窗口。CPI 好但 SPI 差，说明钱花得有效率，但进度管理有问题。

答题写法：

The project is currently under budget (CPI = 1.1 > 1) but behind schedule (SPI = 0.9 < 1). While cost performance is satisfactory, the project manager should investigate the causes of schedule delays and consider corrective actions such as crashing or fast-tracking to bring the project back on schedule.

练习 3：EAC 计算

参考 2023 年真题 Q29/Q30

BAC = $1,000,000，CPI = 0.8，SPI = 0.9。

(a) 仅按 CPI 估算 EAC。

$EAC = \frac{BAC}{CPI} = \frac{1000000}{0.8} = \$1,250,000$

(b) 按 CPI 和 SPI 综合估算。

$EAC = \frac{BAC}{CPI \times SPI} = \frac{1000000}{0.8 \times 0.9} = \frac{1000000}{0.72} = \$1,388,889$

2023 年真题 Q30 就考了这道，答案是 C — $1,388,889。

P&L 层级速记

Profit & Loss 从上到下的层级关系：

Sales (Revenue)
- Cost of Sales
= Gross Profit
- Operating Expenses (SG&A)
= EBIT (Operating Profit)
+ Amortization
= EBITA
+ Depreciation
= EBITDA
- Interest
- Tax
= Net Profit (Bottom Line)

注意：EBITA = EBIT + A（只加回摊销），EBITDA = EBIT + D + A（加回折旧和摊销）。所以 EBITDA = EBITA + Depreciation。

速记：

指标	全称	含义	公式
GP	Gross Profit	毛利	Sales - Cost of Sales
EBIT	Earnings Before Interest & Tax	息税前利润	GP - Operating Expenses
EBITDA	EBIT + Depreciation + Amortization	息税折旧摊销前利润	EBIT + D + A
EBITA	EBIT + Amortization	息税摊销前利润	EBIT + A
NP	Net Profit	净利润	EBIT - Interest - Tax

考试常考的判断：

EBITDA 用于比较不同资本结构的公司（排除折旧和融资差异）
EBITDA > EBIT（因为加回了 D&A）
Net Profit 是最后一行，“Bottom Line”

Make-or-Buy 决策框架

Relevant Cost 判断

成本类型	含义	决策中是否考虑
Avoidable Cost	自己生产才发生，买就不发生	考虑
Unavoidable Cost	不管自己做还是买都得花	不考虑
Opportunity Cost	选择一个方案而放弃另一个方案的收益	考虑
Sunk Cost	已经花出去的钱，无法收回	不考虑

决策模板

Step 1 — 列出自己做的总成本（只算 relevant cost）

$\text{Make Cost} = \text{材料} + \text{人工} + \text{变动制造费} + \text{可避免的固定成本}$

Step 2 — 列出外购的总成本

$\text{Buy Cost} = \text{单价} \times Q$

Step 3 — 比较，选低的

如果 Make Cost < Buy Cost → 自己做如果 Make Cost > Buy Cost → 外购

真题出处：样题 Sets 2/5 Q4 和 Sets 3/6 Q4 都涉及 make-or-buy 判断。

综合练习：投资决策全流程

串联 NPV → BCR → Break-even → Cross-over 的完整分析链

场景：某公司要投资一条新生产线，有两个方案：

	方案 A	方案 B
初始投资	$200,000	$350,000
年固定成本	$50,000	$30,000
单位变动成本	$20	$12
售价	$40	$40
年产能	15,000 个	15,000 个
项目周期	5 年	5 年
折现率	10%	10%

Step 1：Break-even 分析

$Q_{BE,A} = \frac{50000}{40 - 20} = 2500 \text{ 个}$

$Q_{BE,B} = \frac{30000}{40 - 12} = 1071 \text{ 个}$

方案 B 的 break-even 更低，更容易盈利。

Step 2：Cross-over Point

$Q^* = \frac{350000 - 200000}{20 - 12} = \frac{150000}{8} = 18750 \text{ 个}$

但年产能只有 15,000 → 在产能范围内， $Q^*$ 永远达不到 → 选方案 A（低固定成本）。

等一下，这不对。让我重新算：cross-over 比较的是运营成本，不包含初始投资。

实际上 cross-over 应该看：

$TC_A = 200000 + 50000 \times 5 + 20Q \times 5 = 200000 + 250000 + 100Q$

$TC_B = 350000 + 30000 \times 5 + 12Q \times 5 = 350000 + 150000 + 60Q$

$450000 + 100Q = 500000 + 60Q$

$40Q = 50000 \implies Q^* = 1250 \text{（5 年总产量）}$

年均 $1250 / 5 = 250$ 个。这个数字太小了，说明方案 B 在几乎所有情况下总成本都更低。

重新整理思路：cross-over 通常只比较运营成本，不包含初始投资。或者把初始投资摊入每年。

$\text{每年初始投资分摊}_A = 200000 / 5 = 40000$ $\text{每年初始投资分摊}_B = 350000 / 5 = 70000$

$TC_{A,\text{annual}} = 40000 + 50000 + 20Q = 90000 + 20Q$ $TC_{B,\text{annual}} = 70000 + 30000 + 12Q = 100000 + 12Q$

$90000 + 20Q = 100000 + 12Q \implies 8Q = 10000 \implies Q^* = 1250$

判断：年产量 > 1250 → 选方案 B；年产量 < 1250 → 选方案 A。产能 15,000 远大于 1250 → 选方案 B。

Step 3：满产时的年利润

$\text{Profit}_A = (40 - 20) \times 15000 - 50000 = 300000 - 50000 = \$250,000$

$\text{Profit}_B = (40 - 12) \times 15000 - 30000 = 420000 - 30000 = \$390,000$

Step 4：NPV 比较

5 年等额年金，折现率 10%：

$\text{Annuity Factor} = \frac{1 - (1.1)^{-5}}{0.1} = 3.7908$

$NPV_A = -200000 + 250000 \times 3.7908 = -200000 + 947700 = \$747,700$

$NPV_B = -350000 + 390000 \times 3.7908 = -350000 + 1478412 = \$1,128,412$

Step 5：结论

指标	方案 A	方案 B	胜者
Break-even	2,500	1,071	B
Cross-over	年产 > 1,250 选 B	—	B
年利润	$250,000	$390,000	B
NPV	$747,700	$1,128,412	B

综合结论：方案 B 在所有指标上都优于方案 A。虽然初始投资高，但低变动成本在高产量下优势明显。

历年真题考查情况

知识点	2022	2023	2024	2025
NPV/BCR 判断	Q1.13, Q1.19	MCQ 中出现	MCQ 中出现	MCQ 中出现
BAC 计算	Q1.16	Q29	—	—
EVM (SV/CV/SPI/CPI)	Q1.12, Q2.3, Q2.4	Q28/Q39/Q52	Q7	MCQ 中出现
EAC 计算	—	Q29/Q30	—	—
Break-even	Q3.2	Q19/Q43	Q10	Q2(ii)
Cross-over	Q3.5	Q19/Q43	Q10	Q2(iii)
Make-or-buy	—	—	—	样题 Q4
P&L	—	MCQ 中出现	MCQ 中出现	MCQ 中出现
Cycle time	Q1.20, Q2.2	—	—	—
ROI	Q2.1	—	—	—