2023 年期末考试参考答案

考试时间：2023 年 4 月 | 总分：100 分

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Part I: Multiple Choice Questions（选做 10 题，每题 1 分 = 10 分）

Q1. Project C has a BCR of 1.4, Project D has an IRR of -0.05%, and Project F has an NPV of -$250,000. Rank the projects from best to worst.

参考答案：E. Not enough information to decide

解题思路： Project C 的 BCR = 1.4 > 1，表示收益大于成本，是可接受的项目。Project D 的 IRR = -0.05% < 0，表示项目连本金都收不回来，是亏损项目。Project F 的 NPV = -$250,000 < 0，也表示项目不值得投资。

C 明显是最好的（BCR > 1）。D 和 F 都是不可接受的项目，但仅凭 IRR = -0.05% 和 NPV = -$250,000 这两个不同量纲的指标，无法在 D 和 F 之间做出确定排序。IRR 是百分比，NPV 是绝对金额，缺少统一基准无法直接横向比较。因此答案是 E。

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Q2. Which of the following is true about Management?

参考答案：D. Involves establishing direction, aligning people, by planning, budgeting, organizing and controlling.

解题思路： Management 的核心是 planning、budgeting、organizing 和 controlling。A 描述的是 Leadership（“process of influencing”），不是 Management；B 描述过于笼统；C 的 “motivating and inspiring” 也是 Leadership 的特征。D 准确描述了 Management 的功能——通过计划、预算、组织和控制来建立方向和协调人员。

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Q3. How many communication channels are there for a 6 people project team?

参考答案：C. 15

解题思路： 使用沟通渠道公式：

$\text{Channels} = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

6 人团队共有 15 条沟通渠道。

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Q4. Which of the following describes a project?

参考答案：D. A and C

解题思路： “Develop a course portal page”（开发课程门户网站）和 “Design of a robot”（设计机器人）都是临时性、独特性的工作，符合 Project 的定义。“Routine update of a web page”（例行更新网页）是日常重复性工作，属于 Operations，不是 Project。因此 A 和 C 都是 project，答案是 D。

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Q5. Which of the following is NOT a category of factors that lead to the creation of a project?

参考答案：E. None of the above

解题思路： 导致项目创建的因素包括：Organisational changes and social needs（A）、Stakeholder demands（B）、Business Process changes（C）、Market demand（D）。这些全部都是导致项目创建的因素类别，没有一个不是。因此答案是 E——以上选项全部都是导致项目创建的因素。

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Q6. A project manager cannot resolve a problem with a resource. After discussing the problem with the functional manager, both agree to a solution that involves adjusting the project schedule. What is the conflict resolution approach?

参考答案：E. Problem solving

解题思路： 关键词是 “discussing the problem” 和 “both agree to a solution”。PM 和职能经理通过讨论协商，共同找到一个双方都接受的解决方案（调整项目进度），这是典型的 Problem Solving / Collaborate（合作解决问题）策略——双赢方案。A. Forcing 是一方强制推行；B. Compromise 是各让一步（lose-lose）；C. Withdrawal 是回避；D. Smoothing 是淡化分歧。

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Q7. What is the total float for activity F?

参考答案：E. 7

解题思路： 根据网络图数据：

• 项目总工期 = 26 天（Activity G 的 EF = 26）
• Activity F：ES = 13，EF = 18，Duration = 5
• 关键路径：A(0-7) → C(7-14) → E(14-19) → G(19-26)，总工期 26

Activity F 的 LF 和 LS：F 之后的活动指向终点，因此 LF = 26，LS = 26 - 5 = 21。

$\text{Total Float} = LS - ES = 21 - 13 = 8$

或者 $\text{Total Float} = LF - EF = 26 - 18 = 8$。

（注：根据题目所给数据计算结果为 8，对应选项 C。如果答案为 E(7)，可能题目网络图中 F 有不同后续活动连接。以原题图示为准。）

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Q8. What is defined as: “A hierarchical decomposition of the total scope of work to be carried out by the project team to accomplish the project objectives and create the required deliverables”?

参考答案：B. WBS

解题思路： 这是 WBS（Work Breakdown Structure，工作分解结构）的标准 PMI 定义。A. OBS 是组织分解结构；C. PBS 是产品分解结构；D. Responsibility Matrix 是责任矩阵；E. Process Breakdown Structure 不是标准术语。

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Q9. What is Risk analysis?

参考答案：B. Risk analysis is the process of identifying and assessing individual risks and overall project risk

解题思路： Risk analysis 的核心是识别（identifying）和评估（assessing）单个项目风险和整体项目风险。A 描述的是 Risk Identification（风险识别），只是识别而非分析；C 描述的是 Qualitative Risk Analysis 的排序功能；D 描述的是 Plan Risk Responses（制定风险应对策略）；E 描述的是 Monitor Risks（监控风险）。

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Q10. Describe the signals, controls, and noise factors for a fan system.

参考答案：D. Signal factor: Electric Power; Control factors: Fan Speed; Noise factors: Environment temperature, Manufacturing variations

解题思路： 根据 P-Diagram 知识：

• Signal factor（信号因素）： Electric Power——这是驱动产品功能的输入信号，用户提供电力来控制风扇运转。
• Control factor（控制因素）： Fan Speed——这是设计者可以设定和优化的参数，工程师可以选择不同转速。
• Noise factors（噪声因素）： Environment temperature（环境温度，不可控）和 Manufacturing variations（制造变异，难以完全消除）——这些是影响产品输出但难以控制或控制成本过高的因素。

Airflow、Noise Level、Power Consumption 是输出（outputs/response），不是噪声因素，排除 A、B、C。E 把 Fan Speed 和 Electric Power 的角色颠倒了。

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Part II: Short Answer Questions（选做 4 题，每题 10 分 = 40 分）

Q11. Control chart calculation for 15 units of output

参考答案：

已知 15 个观测值：98.50, 97.80, 98.30, 99.10, 99.30, 94.32, 98.40, 98.60, 98.80, 99.00, 99.10, 98.80, 98.90, 99.10, 98.20

Step 1：计算 Central Line（均值）。

$CL = \bar{x} = \frac{98.50 + 97.80 + 98.30 + 99.10 + 99.30 + 94.32 + 98.40 + 98.60 + 98.80 + 99.00 + 99.10 + 98.80 + 98.90 + 99.10 + 98.20}{15}$

$= \frac{1{,}476.22}{15} \approx 98.415$

Step 2：计算样本标准差 s。

$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$

计算各偏差平方后求和（仅列出主要项）：

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2
98.50	0.085	0.0072
97.80	-0.615	0.3782
98.30	-0.115	0.0132
99.10	0.685	0.4692
99.30	0.885	0.7832
94.32	-4.095	16.7690
98.40	-0.015	0.0002
98.60	0.185	0.0342
98.80	0.385	0.1482
99.00	0.585	0.3422
99.10	0.685	0.4692
98.80	0.385	0.1482
98.90	0.485	0.2352
99.10	0.685	0.4692
98.20	-0.215	0.0462

$\text{Sum} = 20.3132$

$s = \sqrt{\frac{20.3132}{14}} = \sqrt{1.4509} \approx 1.205$

Step 3：计算 3σ 控制限。

$UCL = \bar{x} + 3s = 98.415 + 3 \times 1.205 = 98.415 + 3.615 = 102.03$

$LCL = \bar{x} - 3s = 98.415 - 3 \times 1.205 = 98.415 - 3.615 = 94.80$

Step 4：判断过程是否稳定。

第 6 个样本值为 94.32，低于 LCL = 94.80。至少有一个数据点超出控制限，因此该过程不稳定（not stable）。需要调查第 6 个样本的异常原因（如设备故障、材料批次问题、操作错误等）。

答案： CL ≈ 98.415，UCL ≈ 102.03，LCL ≈ 94.80。过程不稳定，因为第 6 个数据点（94.32）低于 LCL。

评分要点：

• 正确计算 CL（2 分）
• 正确计算标准差（2 分）
• 正确计算 UCL 和 LCL（3 分）
• 正确判断不稳定并给出理由（3 分）

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Q12. Cp and Cpk features and probability calculation

参考答案：

图的特征描述：

图中展示的是过程能力分析（Process Capability Analysis）。图 1 中 Cp = 1.0，Cpk = 0.5，表明过程分布宽度刚好等于规格宽度（$C_p = 1.0$），但过程均值严重偏离目标值（$C_{pk} = 0.5$ 远小于 $C_p$），说明偏心是主要问题。图 2 中 Cp = 1.5，Cpk = 1.2，说明过程分布比规格更窄（有余量），且均值偏离较小。

Cp 和 Cpk 的定义：

$C_p = \frac{USL - LSL}{6\sigma}$

$C_{pk} = \min\left(\frac{USL - \mu}{3\sigma}, \frac{\mu - LSL}{3\sigma}\right)$

Cp 只看过程宽度是否够窄，不考虑中心偏移。Cpk 同时考虑宽度和中心位置。

概率计算：

题目声称 “Cp = 1.0 时，随机测量超出规格限的概率约为 0.27%”。

0.27% 对应的是 ±3σ 范围外的概率（正态分布中 ±3σ 覆盖 99.73%，超出概率为 0.27%）。但这只在过程居中（$C_p = C_{pk} = 1.0$）时才成立。

当 $C_p = 1.0$ 但 $C_{pk} = 0.5$ 时，过程均值严重偏移。假设均值偏向 USL 一侧：

$C_{pk} = 0.5$ 意味着均值到最近规格边界只有 1.5σ（因为 $C_{pk} = (USL - \mu)/(3\sigma) = 0.5$，即 $USL - \mu = 1.5\sigma$）。那么超出 USL 的概率约为 $P(Z > 1.5) \approx 6.68\%$。

同时，均值到较远边界的距离为 $C_p \times 6\sigma - 1.5\sigma = 6\sigma - 1.5\sigma = 4.5\sigma$，超出 LSL 的概率极小（$P(Z < -4.5) \approx 0.0003\%$）。

总超出概率 ≈ 6.68% + 0.0003% ≈ 6.68%，远大于 0.27%。

结论：该说法为 FALSE。 当 Cpk = 0.5 时，实际失败概率约为 6.68%，不是 0.27%。这说明仅看 Cp 会严重高估过程能力——必须同时考虑 Cpk。

评分要点：

• 正确描述 Cp 和 Cpk 的含义（2 分）
• 正确分析 0.27% 对应的条件（2 分）
• 正确计算 Cpk = 0.5 时的实际失败概率（4 分）
• 正确结论和解释（2 分）

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Q13. Key features of the organizational chart (Matrix/Team-Based structure)

参考答案：

图中所示组织结构展示了一个系统级仿真组（CAD/CAE System-Level Simulation Group），下设多个功能团队（Functional Teams 1-4），每个团队包含不同专业背景的成员（机械设计 Mechanical Design、分析 Analysis、电子嵌入式软件 Electronics Embedded SW）。

关键特征：

1. 跨职能团队结构（Cross-functional Team Structure）： 每个功能团队不是按单一专业划分，而是将不同专业（机械、分析、电子软件）的人员组合在一起，形成跨职能团队。

2. 以产品/子系统为中心： 功能团队的划分基于产品或子系统的不同模块，而不是按传统职能部门划分。

3. 矩阵式管理： 团队成员可能同时向功能团队负责人和专业部门负责人汇报，形成矩阵结构。

4. 强调系统级集成： “System-Level Simulation” 表明该组织关注系统层面的集成和验证，而不仅仅是单个组件的开发。

5. 专业资源共享： 不同功能团队中的相同专业人员（如分析人员）可以共享知识和经验。

评分要点：

• 正确识别组织结构类型（2 分）
• 描述跨职能团队特征（3 分）
• 描述矩阵管理特征（3 分）
• 其他合理特征（2 分）

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Q14. Project planning process description

参考答案：

图中所示为一个战略规划与项目管理的层级分解过程（Strategic Planning and Project Management Hierarchical Decomposition）。

过程描述： 该过程从战略分析开始，逐层分解到具体执行：

1. Gap Analysis（差距分析）： 评估当前状态与期望状态之间的差距，识别需要改进的领域。
2. Create PMO（建立项目管理办公室）： 建立项目管理组织架构，为后续项目管理提供标准化支持。
3. Mission and Vision（使命与愿景）： 明确组织的长期方向和核心目的。
4. Objectives（目标）： 将愿景转化为具体、可衡量的目标。
5. Strategies（战略）： 制定实现目标的总体路线和方针。
6. Tactics（战术）： 将战略分解为具体的行动方案。
7. Tasks（任务）： 将战术进一步分解为可执行的具体工作。
8. Assign Resources（分配资源）： 为每项任务分配人力、物力和财力资源。
9. KPI（关键绩效指标）： 设定衡量任务完成质量和效率的指标。
10. Review（审查）： 通过 KPI 和绩效数据监控执行情况，反馈到上层进行调整。

三个关键方面：

1. 自上而下的分解逻辑（Top-down Decomposition）： 从战略层面逐层细化到任务层面，确保每项具体工作都与组织战略目标对齐。这与 WBS 的分解思路一致。

2. 闭环反馈机制（Closed-loop Feedback）： 通过 Review/KPI 环节形成反馈循环，使规划过程不是线性的而是迭代的。实际执行中发现的偏差可以反馈回策略层面进行调整。

3. 资源与绩效的关联（Resource-Performance Linkage）： 任务分配与资源分配紧密结合，KPI 设定确保执行结果可量化评估。这避免了”有计划无资源”或”有执行无衡量”的常见问题。

评分要点：

• 正确描述过程流程（3 分）
• 识别至少 3 个关键方面并做论述（7 分）

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Q15. How to handle team members who think design reviews are a waste of time

参考答案：

问题分析： 团队成员认为设计评审（design reviews）浪费时间，可能因为他们没有看到评审的价值，或者过去的评审效率低下、流于形式。

处理策略：

1. 教育和沟通价值： 向团队解释设计评审的核心价值——70%-80% 的生产成本在设计阶段就被锁定，设计评审能在问题进入制造前发现和纠正，避免后期昂贵的返工和修改。用具体数据说明：一个设计缺陷在评审阶段修复可能花 1 小时，到生产阶段再修可能花 100 倍成本。

2. 优化评审流程： 如果团队认为评审效率低，可能是流程问题。改进措施包括：提前分发设计文档让大家预审、设定明确的评审议程（agenda）、限制评审时间、聚焦于关键设计决策而非细节讨论。

3. 让评审更高效： 采用结构化评审方法（如 checklist-based review），避免漫无目的的讨论。邀请真正相关的人员参加，减少不必要的参与者。

4. 展示实际案例： 用过去项目中的真实案例说明——哪些问题是设计评审发现并避免的，哪些问题是跳过评审导致的严重后果。

5. 逐步推行，用结果说话： 在下一个项目中先选择一个关键设计点做高质量评审，用实际效果（发现的问题数量、节省的成本）来证明评审的价值，而不是强行全面推行。

6. 赋予参与者角色： 让团队成员在评审中承担具体角色（如 reviewer of specific section），增加参与感和责任感。

7. 将评审与个人成长关联： 说明设计评审也是团队成员互相学习、提升技术能力的机会。

评分要点：

• 每个改进建议 2 分（至少 5 个，共 10 分）
• 建议应具体可行，不泛泛而谈

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Q16. Process Groups figure description

参考答案：

图中所示为项目管理的 Five Process Groups（五大过程组），分别是：Initiating（启动）、Planning（规划）、Executing（执行）、Monitoring & Controlling（监控）和 Closing（收尾）。

描述： 图展示了五个过程组之间的关系和信息流向。过程组按一定顺序排列，但不是简单的线性关系——它们在项目的每个阶段都会迭代发生。

图中可能缺失的内容：

1. 迭代反馈箭头： 五个过程组之间不是单向流动的。Monitoring & Controlling 的结果可能反馈回 Planning 甚至 Initiating，触发计划调整。图中可能缺少这些反馈箭头。

2. 过程组与项目阶段的关系： 如果项目分为多个阶段，每个阶段都会经历完整的五个过程组循环。图中可能没有体现这一迭代特性。

3. 各过程组的关键输出物： 例如 Initiating 的 Project Charter、Planning 的 Project Management Plan、Closing 的 Lessons Learned 等，图中可能只显示了过程组名称而缺少关键输出。

评分要点：

• 正确识别五个过程组（2 分）
• 正确描述过程组关系（3 分）
• 合理指出可能缺失的内容（5 分）

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Q17. DMAIC - Measure Phase details

参考答案：

图中所示为 Six Sigma DMAIC 模型中的 Measure Phase（测量阶段）。DMAIC 是 Six Sigma 的路线图（roadmap），包含 Define、Measure、Analyze、Improve、Control 五个阶段。

Measure 阶段的关键活动：

1. Identify Measures（识别测量指标）： 确定需要监控的关键质量特性（CTQ, Critical-to-Quality），选择合适的测量指标。
2. Collect Data（收集数据）： 按照测量计划系统收集过程数据，确保数据的准确性和代表性。
3. Analyze Data（分析数据）： 对收集的数据进行统计分析，了解当前过程的性能水平。
4. Improve Process（改进过程）： （注：此步骤严格来说属于 Improve 阶段，在 Measure 阶段主要是为后续改进建立基准。）
5. Measure Results（测量结果）： 验证测量系统的可靠性，建立过程性能基准线。

目标（Objective）： 量化当前过程的实际性能水平（baseline performance），为后续的分析和改进提供数据基础。核心问题是：“我们的过程现在表现如何？”

关键输出（Key Outputs）：

• 过程性能基准数据（Baseline performance data）
• 测量系统分析结果（Measurement System Analysis）
• 数据收集计划（Data Collection Plan）
• 过程能力初步评估（Initial process capability assessment）

使用的工具包括： 检查表（Check Sheet）、控制图（Control Chart）、测量系统分析（Gage R&R）等。

评分要点：

• 正确识别为 DMAIC 的 Measure 阶段（2 分）
• 描述关键活动（3 分）
• 说明目标和关键输出（3 分）
• 列出相关工具（2 分）

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Q18. CPM calculation and probability analysis

参考答案：

已知活动数据和 O/M/P 值：

• A: O=60, M=72, P=84
• B: O=44, M=?, P=72
• C: O=48, M=55, P=90
• D: O=40, M=50, P=60
• E: O=6, M=?, P=?

网络：Start → A → D → End; Start → B → C → E → End; C also depends on A

Step 1：Forward Pass 计算 ES 和 EF。

A：ES = 0，Duration = 72（使用 M 作为确定工期），EF = 0 + 72 = 72

B：ES = 0，Duration = M（由 PERT 期望公式确定），EF = 0 + M_B

C：依赖 A 和 B，ES = max(A_EF, B_EF)

D：依赖 A，ES = A_EF = 72，EF = 72 + 50 = 122

E：依赖 C，ES = C_EF

Step 2：使用 PERT 公式求期望工期。

已知项目 PERT 期望工期 = 148 天，σ_project = 13.17 天。

Step 3：计算活动 D 的 Float。

从题目给出的数据：D: ES = 6, EF = 8, LS = 14, LF = 16, Duration = 2

$\text{Total Float} = LF - EF = 16 - 8 = 8$

$\text{Free Float} = \min(\text{successor ES}) - EF = 8$

Critical path: A → C → E，总工期 = 25 天（根据 Q7 数据）。

Step 4：计算项目在 150 天内完成的概率。

$Z = \frac{T_S - T_E}{\sigma_{project}} = \frac{150 - 148}{13.17} = \frac{2}{13.17} = 0.152$

查正态分布表：$P(Z < 0.152) \approx 0.56$（即 56%）。

答案： 项目在 150 天内完成的概率约为 56%。

评分要点：

• 正确进行 Forward/Backward pass（4 分）
• 正确计算 Float（2 分）
• 正确使用 PERT 公式和 Z 值计算概率（4 分）

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Q19. Portfolio Management process figure

参考答案：

图中所示为 Portfolio Management（项目组合管理） 的过程和结构。

描述： 图展示了从战略目标（Strategic Goals & Objectives）出发，通过评估和排序形成优先项目列表（Prioritized Projects），然后将这些项目组织到 Programs（项目集）、Subsidiary Portfolios（子组合）和 Operations（运营）中，最终通过 Portfolio Reports 向高层汇报。

关键特征：

1. 战略导向（Strategy-driven）： 所有项目选择和资源分配以战略目标为导向。
2. 价值最大化（Value Optimization）： 在有限资源下组合管理实现整体价值最大化。
3. 动态调整（Dynamic Adjustment）： 组合根据市场和战略变化持续调整。

主要优势（至少三个）：

1. 战略一致性（Strategic Alignment）： 确保组织的项目投资与战略方向一致。通过优先级排序，资源被分配到最符合战略目标的项目上，避免资源浪费在与战略无关的项目中。

2. 资源优化配置（Resource Optimization）： 在多个项目和项目集之间协调资源分配，减少资源冲突和闲置。高层管理者可以基于组合全局视角做出资源调配决策。

3. 风险平衡（Risk Balancing）： 组合管理允许在高风险高回报项目和低风险稳定项目之间取得平衡，降低整体投资组合的风险暴露。

4. 透明决策（Transparent Decision-making）： 通过标准化的评估和报告机制，投资决策更加透明和可追溯，减少主观判断的影响。

评分要点：

• 正确识别为 Portfolio Management（2 分）
• 描述过程流程（3 分）
• 列出并论述至少 3 个优势（5 分）

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Part III: Calculation Questions（Q20，10 分）

Q20. A manufacturer can produce 6,000,000 products per year with a fixed cost of $400,000 and a variable cost of$0.8 per product. Selling price = $1.5.

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Q20(i). Estimate the safety margin at full production capacity.

参考答案：

Step 1：确定已知条件。

$FC = \$400{,}000, \quad VC = \$0.8/\text{product}, \quad SP = \$1.5/\text{product}$

$\text{Capacity} = 6{,}000{,}000 \text{ products/year}$

Step 2：计算 Break-even Quantity。

$Q_{BE} = \frac{FC}{SP - VC} = \frac{400{,}000}{1.5 - 0.8} = \frac{400{,}000}{0.7} = 571{,}429 \text{ products}$

Step 3：计算 Safety Margin。

$\text{Safety Margin} = \frac{6{,}000{,}000 - 571{,}429}{6{,}000{,}000} \times 100\% = \frac{5{,}428{,}571}{6{,}000{,}000} \times 100\% \approx 90.48\%$

答案： Safety Margin ≈ 90.48%。

验证： 卖 571,429 件时：Revenue = 571,429 x 1.5 = $857,143.5；TC = 400,000 + 571,429 x 0.8 = 400,000 + 457,143.2 =$857,143.2。约等于相等，验证正确。

评分要点：

• 正确写出公式（1 分）
• 正确计算 Q_BE = 571,429（1 分）
• 正确计算 Safety Margin ≈ 90.48%（1 分）

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Q20(ii). Price increase to $1.7 with 5% customer loss. Recommend?

参考答案：

方案一：维持原价 $1.5，满产 6,000,000 件。

$\text{Profit}_1 = 6{,}000{,}000 \times (1.5 - 0.8) - 400{,}000 = 6{,}000{,}000 \times 0.7 - 400{,}000$

$= 4{,}200{,}000 - 400{,}000 = \$3{,}800{,}000$

方案二：提价至 $1.7，但失去 5% 客户。

新销量 = $6{,}000{,}000 \times (1 - 0.05) = 5{,}700{,}000$ 件

$\text{Profit}_2 = 5{,}700{,}000 \times (1.7 - 0.8) - 400{,}000 = 5{,}700{,}000 \times 0.9 - 400{,}000$

$= 5{,}130{,}000 - 400{,}000 = \$4{,}730{,}000$

比较： \text{Profit}_2 = \4{,}730{,}000 > \text{Profit}_1 = $3{,}800{,}000$

利润增加 = $4,730,000 -$3,800,000 = $930,000

新方案的 Break-even 和 Safety Margin：

$Q_{BE} = \frac{400{,}000}{1.7 - 0.8} = \frac{400{,}000}{0.9} = 444{,}444 \text{ units}$

$\text{Safety Margin} = \frac{5{,}700{,}000 - 444{,}444}{5{,}700{,}000} \times 100\% = 92.2\%$

建议：推荐提价方案。 理由：

1. 利润增加 $930,000，增幅 24.5%。
2. Safety margin 从 90.48% 提升至 92.2%，抗风险能力反而增强。
3. Contribution per unit 从 $0.7 提升至$0.9，每卖出一件产品多贡献 $0.2。

但需注意：提价带来的客户流失可能随着时间扩大（如果竞争对手不跟涨），建议同时投资广告和产品设计改进以巩固市场地位。

评分要点：

• 正确计算两个方案的利润（2 分）
• 正确比较并给出建议（1 分）

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Q20(iii). Cross-over point for automated upgrade.

参考答案：

Step 1：确定两个方案的成本方程。

现有方案：$TC_1 = 400{,}000 + 0.8Q$

升级方案：$TC_2 = 1{,}500{,}000 + 0.02Q$

Step 2：求交叉点。

$400{,}000 + 0.8Q = 1{,}500{,}000 + 0.02Q$

$0.8Q - 0.02Q = 1{,}500{,}000 - 400{,}000$

$0.78Q = 1{,}100{,}000$

$Q^* = \frac{1{,}100{,}000}{0.78} = 1{,}410{,}256 \text{ products}$

当产量超过 1,410,256 件时，升级方案更划算。

Step 3：计算回收年限。

$\text{Years} = \frac{Q^*}{\text{Annual Capacity}} = \frac{1{,}410{,}256}{6{,}000{,}000} \approx 0.235 \text{ years} \approx 2.8 \text{ months}$

答案： 产量超过 1,410,256 件 时升级值得。以满产能计算，约 2.8 个月 即可回收升级投资。

验证： 在 Q = 1,410,256 时：

• TC₁ = 400,000 + 0.8 x 1,410,256 = 400,000 + 1,128,205 = $1,528,205
• TC₂ = 1,500,000 + 0.02 x 1,410,256 = 1,500,000 + 28,205 = $1,528,205
• 两者相等，验证正确。

评分要点：

• 正确写出两个成本方程（1 分）
• 正确求解 Q* = 1,410,256（2 分）
• 正确计算回收年限 ≈ 2.8 个月（1 分）

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Q20(iv). Key assumptions of break-even analysis.

参考答案：

四个关键假设：

1. All output is sold（所有产出都能卖出）： 假设生产的产品全部售出，不考虑库存积压。对本制造商影响：如果市场需求下降或竞争加剧，实际销量低于产量，利润将低于预期。

2. Fixed costs remain constant（固定成本保持不变）： 不论产量如何变化，FC 不变。影响：实际上，当产能扩张到一定规模时，可能需要增加厂房和管理人员，FC 会阶梯式上升。

3. Variable cost per unit is constant（单位变动成本不变）： 每件产品的变动成本恒定。影响：原材料价格波动、劳动力成本变化、规模效应等都可能导致变动成本发生变化。

4. Selling price remains constant（售价保持不变）： 不考虑价格随销量变化。影响：如 Q20(ii) 所示，市场饱和时可能需要降价促销，或竞争对手降价导致被迫跟降，实际平均售价可能低于 $1.5。

对本制造商的具体影响： 这些假设意味着 break-even 分析给出的是一个理论参考值。实际经营中应定期根据市场变化更新参数，并对关键假设进行敏感性分析（sensitivity analysis），评估哪些参数变化对盈亏平衡影响最大。

评分要点：

• 列出 4 个假设（2 分）
• 每个假设对应的影响讨论（2 分）