第1章 波形计算：平均值、RMS、波形因数

先讲清楚

电力电子里很多电压、电流不是稳定直流，而是一段一段变化的波形。考试问平均值、RMS、波形因数，其实是在问三个不同问题。

平均值（Average） 看一个周期里的净效果。正面积和负面积会抵消。

RMS 看发热效果。先平方，所以负半周也会产生正的贡献。

波形因数（Form Factor） 看波形有多”尖”。它通常用 RMS 除以整流后的平均值。

三个公式

平均值：

$$X_{avg}=\frac{1}{T}\int_0^T x(t)\,dt$$

RMS：

$$X_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T x^2(t)\,dt}$$

波形因数：

$$\mathrm{FF}=\frac{X_{rms}}{X_{avg,rectified}}$$

这里 $T$ 是完整周期。$X_{avg,rectified}$ 是 $|x(t)|$ 的平均值，不一定等于普通平均值。

为什么 RMS 要平方

电阻发热功率是：

$$p(t)=i^2(t)R$$

所以电流为负时，$i^2(t)$ 仍然是正的。RMS 就是把一个变化电流换成”发热效果相同”的直流电流。

考试里只要看到电阻功率、MOSFET 导通损耗、heating，就用 RMS。

常见波形

波形	平均值	RMS
占空比为 $D$、幅值为 $X_m$ 的矩形脉冲	$DX_m$	$X_m\sqrt D$
$0$ 到 $X_m$ 的线性斜坡，占满周期	$X_m/2$	$X_m/\sqrt3$
$I_1$ 到 $I_2$ 的线性斜坡，占满周期	$(I_1+I_2)/2$	$\sqrt{(I_1^2+I_1I_2+I_2^2)/3}$
梯形波（$0$ 升到 $X_m$ 平台再降到 $0$，底宽 $T$，平台宽 $T_p$）	$\frac{X_m(T+T_p)}{2T}$	见例题 5 分段计算
半波整流正弦	$\hat V/\pi$	$\hat V/2$
全波整流正弦	$2\hat V/\pi$	$\hat V/\sqrt2$
锯齿波（0 到 $V_m$ 线性上升，周期 $T$）	$V_m/2$	$V_m/\sqrt3$
双极性锯齿波（$-V_m$ 到 $+V_m$ 线性上升）	0	$V_m/\sqrt3$
全波整流锯齿波（0 到 $V_m$）	$V_m/2$（不变）	$V_m/\sqrt3$（不变）

线性斜坡的平方积分常用：

$$\int i^2\,dt=\frac{\Delta t}{3}\left(I_1^2+I_1I_2+I_2^2\right)$$

例题 1：矩形脉冲

已知电流在一个周期内有 25% 时间为 $8\,\mathrm{A}$，其余时间为 0。求平均值和 RMS。

已知：

$$D=0.25,\qquad I_m=8\,\mathrm{A}$$

平均值：

$$I_{avg}=DI_m=0.25\times8=2\,\mathrm{A}$$

RMS：

$$I_{rms}=I_m\sqrt D=8\sqrt{0.25}=4\,\mathrm{A}$$

注意：RMS 不是 $0.25\times8$。这是最常见的错法。

例题 2：线性斜坡

电感电流在一个周期内从 $2\,\mathrm{A}$ 线性升到 $6\,\mathrm{A}$，求平均值和 RMS。

平均值：

$$I_{avg}=\frac{2+6}{2}=4\,\mathrm{A}$$

RMS：

$$I_{rms}=\sqrt{\frac{2^2+2\times6+6^2}{3}}$$ $$I_{rms}=\sqrt{\frac{52}{3}}=4.16\,\mathrm{A}$$

RMS 比平均值稍大，因为高电流段对平方更敏感。

例题 3：锯齿波（sawtooth）全波整流后求 avg / RMS / FF

这是期末必考题型。2023Q1a 考的就是这个。

已知

一个锯齿波(sawtooth)周期 $T=10\,\mathrm{ms}$，峰值 $V_m=200\,\mathrm{V}$。波形从 $0$ 线性上升到 $V_m$，然后瞬间回到 $0$。

画出该锯齿波经过**全波整流(full-wave rectification)**后的波形，再求平均值、RMS 和波形因数(Form Factor)。

第一步：画原始锯齿波

锯齿波的特征是”斜上去、直落下来”。在一个周期 $T$ 内：

• $0\le t<T$：电压从 $0$ 线性上升到 $V_m$

所以原始波形表达式：

$$v(t)=\frac{V_m}{T}\,t=\frac{200}{0.01}\,t=20\,000\,t\quad(\mathrm{V})$$

第二步：画全波整流后的波形

全波整流(full-wave rectification)就是取绝对值 $|v(t)|$。由于原始锯齿波始终 $\ge 0$（没有负值部分），全波整流后波形不变。

这一点很关键：如果原始波形本身没有负值，全波整流不改变任何东西。

$$|v(t)|=v(t)=\frac{V_m}{T}\,t$$

如果题目给的是”从 $-V_m$ 上升到 $+V_m$ 的双极性锯齿波”，那整流后就不同了——见下文”别丢分”。

第三步：求平均值

用积分算，不靠记忆：

$$V_{avg}=\frac{1}{T}\int_0^T v(t)\,dt=\frac{1}{T}\int_0^T \frac{V_m}{T}\,t\,dt$$

把常数提出来：

$$V_{avg}=\frac{V_m}{T^2}\int_0^T t\,dt$$

代入积分上下限：

$$\int_0^T t\,dt=\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^T=\frac{T^2}{2}-0=\frac{T^2}{2}$$

所以：

$$V_{avg}=\frac{V_m}{T^2}\times\frac{T^2}{2}=\frac{V_m}{2}$$

代入数值：

$$V_{avg}=\frac{200}{2}=100\,\mathrm{V}$$

直觉验证：从 $0$ 线性升到 $200$，平均值就是中间值 $100$，合理。

第四步：求 RMS

$$V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt}$$

先算积分内部：

$$\int_0^T \left(\frac{V_m}{T}\,t\right)^2 dt=\frac{V_m^2}{T^2}\int_0^T t^2\,dt$$

代入积分上下限：

$$\int_0^T t^2\,dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^T=\frac{T^3}{3}-0=\frac{T^3}{3}$$

所以：

$$\int_0^T v^2(t)\,dt=\frac{V_m^2}{T^2}\times\frac{T^3}{3}=\frac{V_m^2\,T}{3}$$

代入 RMS 公式：

$$V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\times\frac{V_m^2\,T}{3}}=\sqrt{\frac{V_m^2}{3}}=\frac{V_m}{\sqrt{3}}$$

代入数值：

$$V_{rms}=\frac{200}{\sqrt{3}}=\frac{200}{1.732}=115.5\,\mathrm{V}$$

和前面”常见波形”表里”0 到 Xm 的线性斜坡”一栏一致——$V_{avg}=V_m/2$，$V_{rms}=V_m/\sqrt{3}$。记住表格比积分快，但考试要能从头推。

第五步：求波形因数 (Form Factor)

$$\mathrm{FF}=\frac{V_{rms}}{V_{avg}}=\frac{V_m/\sqrt{3}}{V_m/2}=\frac{2}{\sqrt{3}}=1.155$$

注意这里整流后的平均值就是普通平均值（因为波形没有负值），所以直接用 $V_{avg}=100\,\mathrm{V}$。

答案汇总

量	公式	数值
平均值 $V_{avg}$	$V_m/2$	$100\,\mathrm{V}$
RMS $V_{rms}$	$V_m/\sqrt{3}$	$115.5\,\mathrm{V}$
波形因数 FF	$2/\sqrt{3}$	$1.155$

如果题目要求”画波形”怎么办

画图时注意：

1. 锯齿波是一个直角三角形的重复——直角在右上角，斜边从左下到右上
2. 标注峰值 $V_m=200\,\mathrm{V}$ 和周期 $T=10\,\mathrm{ms}$
3. 如果经过全波整流，对这个锯齿波来说画出来的图完全一样，但要在旁边写”全波整流后”并说明波形不变的原因

如果锯齿波有负值怎么办（含负值波形处理）

如果题目给的是从 $-V_m$ 到 $+V_m$ 的双极性锯齿波（2025Q1a 风格），那：

• 平均值：正负抵消，结果可能很小甚至为零。要看具体数值。
• RMS：先平方再积分，负值也会产生正的贡献。不会为零。
• 波形因数：分母用整流后的平均值 $|v(t)|$ 的平均值，不是普通平均值。

处理原则：不管波形有没有负值，先把 $|v(t)|$ 的表达式写出来，然后再套公式。不要凭直觉猜。

全波整流波形的画法（2023Q1a 型，必考）

考试经常要求”画出全波整流后的波形”。很多人画错是因为不清楚全波整流（full-wave rectification）到底在做什么。

全波整流的定义

全波整流就是取绝对值：

$$v_{rectified}(t)=|v(t)|$$

画法固定做法：

1. 画出原始波形 $v(t)$（一个完整周期）
2. 把负半周的部分”翻上去”——也就是关于时间轴做镜像
3. 正半周的部分保持不变
4. 标注：峰值不变，频率翻倍（如果原始波形正负都有）

例题：正弦波全波整流

已知 $v(t)=100\sin(100\pi t)\,\mathrm{V}$，画全波整流波形。

• 原始波形：$50\,\mathrm{Hz}$ 正弦波，峰值 $100\,\mathrm{V}$
• 全波整流后：负半周翻上去，每半个周期一个”馒头”脉冲
• 纹波频率（ripple frequency）变成 $100\,\mathrm{Hz}$（原来是 $50\,\mathrm{Hz}$）
• 峰值不变，仍为 $100\,\mathrm{V}$

例题：锯齿波全波整流（2023Q1a）

如果原始锯齿波本身没有负值（从 0 线性上升到 $V_m$，然后瞬间回到 0），全波整流后波形不变。因为 $|v(t)|=v(t)$ 对所有 $t$ 都成立。

如果原始波形有负值部分（如从 $-V_m$ 到 $+V_m$ 的双极性锯齿波），整流后负值部分翻上去，波形变成两段”朝上的斜坡”——形状变了。

判断标准： 看原始波形有没有负值。有负值就翻上去，没有负值就不变。

全波整流后的 Average 和 RMS

平均值： 对全波整流的正弦波，平均值就是”馒头”面积除以半周期：

$$V_{avg,rect}=\frac{2\hat V}{\pi}$$

RMS： 取绝对值不改变 RMS（因为 $(|v|)^2=v^2$），所以全波整流后 RMS 不变：

$$V_{rms,rect}=\frac{\hat V}{\sqrt{2}}$$

波形因数（FF）： 用整流后的平均值做分母：

$$\mathrm{FF}=\frac{V_{rms}}{V_{avg,rect}}=\frac{\hat V/\sqrt{2}}{2\hat V/\pi}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}=1.11$$

对比：没有整流时的正弦波，平均值为 0（正负抵消），FF 无意义。整流后才能有意义地定义 FF。

画波形题的通用得分要点

1. 标注峰值和时间：光画形状不标数值只得一半分
2. 标注零点和过零点：让人看到你知道波形在哪里变号
3. 频率变化：全波整流后频率翻倍，在图上体现
4. 写”整流后”三个字：避免歧义

例题 5：梯形波多段积分（2022Q1a 型，5 分）

考试经常给一个由多段直线组成的波形，要求算平均值和 RMS。2022Q1a 就是这种题型。关键是分段积分——每段单独算，最后加起来除以完整周期。

已知

一个周期性波形 $v(t)$，周期 $T=10\,\mathrm{ms}$，由三段组成：

• $0\le t<2\,\mathrm{ms}$：从 $0$ 线性上升到 $100\,\mathrm{V}$
• $2\,\mathrm{ms}\le t<6\,\mathrm{ms}$：保持 $100\,\mathrm{V}$ 不变
• $6\,\mathrm{ms}\le t<10\,\mathrm{ms}$：从 $100\,\mathrm{V}$ 线性下降到 $0$

这是一个典型的梯形波（trapezoidal wave）。

第一步：写出每段表达式

段 1（$0\le t<2\,\mathrm{ms}$）：

$$v_1(t)=\frac{100}{0.002}\,t=50\,000\,t\quad(\mathrm{V})$$

段 2（$2\,\mathrm{ms}\le t<6\,\mathrm{ms}$）：

$$v_2(t)=100\,\mathrm{V}$$

段 3（$6\,\mathrm{ms}\le t<10\,\mathrm{ms}$）：

从 $100\,\mathrm{V}$ 线性降到 $0$，持续时间 $4\,\mathrm{ms}$：

$$v_3(t)=100-\frac{100}{0.004}(t-0.006)=100-25\,000(t-0.006)\quad(\mathrm{V})$$

第二步：求平均值（分段积分）

$$V_{avg}=\frac{1}{T}\int_0^T v(t)\,dt=\frac{1}{T}\left[\int_0^{0.002}v_1\,dt+\int_{0.002}^{0.006}v_2\,dt+\int_{0.006}^{0.01}v_3\,dt\right]$$

段 1：三角形面积。

$$\int_0^{0.002}50\,000\,t\,dt=50\,000\times\frac{t^2}{2}\Big|_0^{0.002}=50\,000\times\frac{0.002^2}{2}=50\,000\times2\times10^{-6}=0.1\,\mathrm{V\cdot s}$$

段 2：矩形面积。

$$\int_{0.002}^{0.006}100\,dt=100\times0.004=0.4\,\mathrm{V\cdot s}$$

段 3：三角形面积。

$$\int_{0.006}^{0.01}v_3\,dt=\frac{1}{2}\times100\times0.004=0.2\,\mathrm{V\cdot s}$$

段 3 是从 $100$ 线性降到 $0$ 的三角形，面积 $=\frac{1}{2}\times\text{高}\times\text{底}$。

加起来：

$$\int_0^T v(t)\,dt=0.1+0.4+0.2=0.7\,\mathrm{V\cdot s}$$

平均值：

$$V_{avg}=\frac{0.7}{0.01}=70\,\mathrm{V}$$

第三步：求 RMS（分段积分平方）

$$V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt}$$

段 1：斜坡的平方积分。

$$\int_0^{0.002}(50\,000\,t)^2\,dt=50\,000^2\times\frac{t^3}{3}\Big|_0^{0.002}=\frac{2.5\times10^9\times8\times10^{-9}}{3}=\frac{20}{3}=6.667\,\mathrm{V^2\cdot s}$$

段 2：常数的平方积分。

$$\int_{0.002}^{0.006}100^2\,dt=10\,000\times0.004=40\,\mathrm{V^2\cdot s}$$

段 3：从 $100$ 线性降到 $0$ 的平方积分。

用公式 $\int_0^T (a-bt)^2\,dt$ 或直接用三角斜坡公式 $\frac{T}{3}(I_1^2+I_1I_2+I_2^2)$，其中 $I_1=100$，$I_2=0$，$T=0.004$：

$$\int_{0.006}^{0.01}v_3^2\,dt=\frac{0.004}{3}(100^2+100\times0+0^2)=\frac{0.004\times10\,000}{3}=\frac{40}{3}=13.333\,\mathrm{V^2\cdot s}$$

加起来：

$$\int_0^T v^2(t)\,dt=6.667+40+13.333=60\,\mathrm{V^2\cdot s}$$

RMS：

$$V_{rms}=\sqrt{\frac{60}{0.01}}=\sqrt{6000}=77.5\,\mathrm{V}$$

答案汇总

量	数值
平均值 $V_{avg}$	$70\,\mathrm{V}$
RMS $V_{rms}$	$77.5\,\mathrm{V}$

分段积分的固定做法

拿到任意分段波形：

1. 写出每段表达式：斜坡写斜率，常数写值
2. 每段面积 $=$ 高 $\times$ 底（矩形）或 $\frac{1}{2}\times$高 $\times$底（三角形）——平均值用这个
3. 每段平方积分：斜坡用 $\frac{T}{3}(I_1^2+I_1I_2+I_2^2)$，常数用 $V^2\times T$
4. 加起来除以完整周期 $T$
5. 平均值最后除以 $T$，RMS 先除以 $T$ 再开根号

易错点： 平均值是”面积/T”，不是”面积”。很多人算完三段面积加起来就交卷，忘了除 $T$——直接扣一半分。

例题 6：含负值的分段波形（2025Q1a 型，5 分）

如果波形有负值部分，平均值会因正负抵消而变小，但 RMS 不会（平方后负值变正）。

已知

一个周期性波形 $v(t)$，周期 $T=10\,\mathrm{ms}$：

• $0\le t<4\,\mathrm{ms}$：$+50\,\mathrm{V}$（矩形脉冲）
• $4\,\mathrm{ms}\le t<6\,\mathrm{ms}$：从 $+50$ 线性降到 $-50\,\mathrm{V}$
• $6\,\mathrm{ms}\le t<10\,\mathrm{ms}$：$-50\,\mathrm{V}$（矩形脉冲）

平均值

$$V_{avg}=\frac{1}{T}\left[50\times0.004+\frac{50+(-50)}{2}\times0.002+(-50)\times0.004\right]$$

段 2 是线性从 $+50$ 到 $-50$，平均值 $=\frac{50+(-50)}{2}=0$。

$$V_{avg}=\frac{0.2+0-0.2}{0.01}=\frac{0}{0.01}=0\,\mathrm{V}$$

正面积和负面积完全抵消。

RMS

$$V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\left[50^2\times0.004+\frac{0.002}{3}(50^2+50\times(-50)+(-50)^2)+(-50)^2\times0.004\right]}$$

段 2 的平方积分：

$$\frac{0.002}{3}(2500-2500+2500)=\frac{0.002\times2500}{3}=\frac{5}{3}=1.667\,\mathrm{V^2\cdot s}$$

总和：

$$2500\times0.004+1.667+2500\times0.004=10+1.667+10=21.667\,\mathrm{V^2\cdot s}$$ $$V_{rms}=\sqrt{\frac{21.667}{0.01}}=\sqrt{2166.7}=46.6\,\mathrm{V}$$

RMS 不为零，因为平方后负值贡献了正面积。 平均为零只说明正负抵消。

波形因数 (Form Factor)

2025Q1a 明确要求算 avg + RMS + FF 三项。很多人做到这里就交卷了——少了 FF 要扣分。

关键点： FF 的分母是整流后的平均值 $V_{avg,rect}$，不是普通平均值。普通平均值是 $0$，不能做分母。

整流后的平均值就是 $|v(t)|$ 在一个周期内的平均。把所有面积当正的算：

段 1（$0\le t<4\,\mathrm{ms}$）： $v(t)=+50\,\mathrm{V}$，$|v(t)|=50$

$$\int_0^{0.004}|v(t)|\,dt=50\times0.004=0.2\,\mathrm{V\cdot s}$$

段 2（$4\,\mathrm{ms}\le t<6\,\mathrm{ms}$）： $v(t)$ 从 $+50$ 线性降到 $-50$。$|v(t)|$ 的形状是”V”形——从 $50$ 降到 $0$（在 $t=5\,\mathrm{ms}$ 处过零），再升到 $50$。

这段 $|v(t)|$ 的平均值用面积法更直观。整流后的形状是一个底边 $2\,\mathrm{ms}$、两腰高 $50$ 的等腰三角形（两个小三角形拼在一起）：

$$\int_{0.004}^{0.006}|v(t)|\,dt=\frac{1}{2}\times50\times0.001+\frac{1}{2}\times50\times0.001=0.025+0.025=0.05\,\mathrm{V\cdot s}$$

解释一下为什么是两个小三角形：$t=4$ 到 $t=5\,\mathrm{ms}$，电压从 $+50$ 降到 $0$，绝对值从 $50$ 降到 $0$，是一个小三角形，面积 $=\frac{1}{2}\times50\times0.001$。$t=5$ 到 $t=6\,\mathrm{ms}$，电压从 $0$ 降到 $-50$，绝对值从 $0$ 升到 $50$，又是一个小三角形。两个加起来就是整段面积。

段 3（$6\,\mathrm{ms}\le t<10\,\mathrm{ms}$）： $v(t)=-50\,\mathrm{V}$，$|v(t)|=50$

$$\int_{0.006}^{0.01}|v(t)|\,dt=50\times0.004=0.2\,\mathrm{V\cdot s}$$

整流后的平均值：

$$V_{avg,rect}=\frac{0.2+0.05+0.2}{0.01}=\frac{0.45}{0.01}=45\,\mathrm{V}$$

波形因数：

$$\mathrm{FF}=\frac{V_{rms}}{V_{avg,rect}}=\frac{46.6}{45}=1.036$$

对比例题 3 的锯齿波 FF $=1.155$：含负值的分段波形经过整流后比较”方”（接近矩形），所以 FF 接近 1。波形越方，FF 越小；波形越尖，FF 越大。这是 FF 的物理含义。

答案汇总

量	公式	数值
平均值 $V_{avg}$	有符号面积 $/T$	$0\,\mathrm{V}$
RMS $V_{rms}$	$\sqrt{\text{平方面积}/T}$	$46.6\,\mathrm{V}$
整流后平均值 $V_{avg,rect}$	$\|v(t)\|$ 面积 $/T$	$45\,\mathrm{V}$
波形因数 FF	$V_{rms}/V_{avg,rect}$	$1.036$

处理含负值波形的核心原则

1. 平均值： 正负可能抵消。如果对称，结果为零或很小。
2. RMS： 先平方，负值变正值，不会抵消。
3. 整流后平均值（FF 的分母）： 用 $|v(t)|$ 的平均值，把所有面积当正的算。

由电感电流画电感电压

电感公式：

$$v_L=L\frac{di_L}{dt}$$

意思很简单：电流变化越快，电感两端电压越大。

固定做法：

1. 把 $i_L(t)$ 按直线段分开。
2. 每段算斜率：$\Delta i/\Delta t$。
3. 每段乘以 $L$。
4. 斜率为正，$v_L$ 为正；斜率为负，$v_L$ 为负；斜率为 0，$v_L=0$。
5. 画出的 $v_L$ 是一段一段的常数电压。

从分段电流画电感电压（2022Q1a 型完整例题）

这是考试高频题型。给你一个分段线性的电流波形，要求画出电感电压。关键是”每段斜率乘以 $L$”。

已知： $L=1\,\mathrm{mH}$。电感电流 $i_L(t)$ 的一个完整周期 $T=10\,\mathrm{ms}$：

• $0\le t<2\,\mathrm{ms}$：从 $0$ 线性上升到 $4\,\mathrm{A}$
• $2\,\mathrm{ms}\le t<6\,\mathrm{ms}$：保持 $4\,\mathrm{A}$ 不变
• $6\,\mathrm{ms}\le t<8\,\mathrm{ms}$：从 $4\,\mathrm{A}$ 线性下降到 $1\,\mathrm{A}$
• $8\,\mathrm{ms}\le t<10\,\mathrm{ms}$：从 $1\,\mathrm{A}$ 线性下降到 $0$

画出电感电压 $v_L(t)$。

第 1 步：算每段斜率。

区间	$\Delta i$ (A)	$\Delta t$ (ms)	斜率 $di/dt$ (A/s)
0–2 ms	$4-0=4$	2	$4/0.002=2000$
2–6 ms	$4-4=0$	4	0
6–8 ms	$1-4=-3$	2	$-3/0.002=-1500$
8–10 ms	$0-1=-1$	2	$-1/0.002=-500$

第 2 步：每段乘 $L$。

$$v_L=L\times\frac{di}{dt}$$

区间	$v_L$ (V)
0–2 ms	$0.001\times2000=+2\,\mathrm{V}$
2–6 ms	$0\,\mathrm{V}$
6–8 ms	$0.001\times(-1500)=-1.5\,\mathrm{V}$
8–10 ms	$0.001\times(-500)=-0.5\,\mathrm{V}$

第 3 步：画波形。

$v_L$ 是一段一段的水平线：+2V 持续 2ms，0V 持续 4ms，-1.5V 持续 2ms，-0.5V 持续 2ms。

第 4 步：检查伏秒平衡。

$$2\times2+0\times4+(-1.5)\times2+(-0.5)\times2=4+0-3-1=0$$

正负面积之和为 0，满足伏秒平衡。如果算出来不为 0，说明斜率或时间算错了。

考试得分关键： 画出的 $v_L$ 必须标注每段的数值（不要只画形状），且要写单位。伏秒平衡检查可以加在答案末尾作为”自查”，阅卷老师看到会加分。

固定套路

波形题按这几步写：

1. 选完整周期 T
2. 按直线段 / 平台段 / 零段分段
3. 平均值：有符号面积 / T
4. RMS：平方积分 / T，再开方
5. 波形因数：RMS / 整流后的平均值
6. 单位写清楚

别丢分

• RMS 不是平均值。
• 脉冲的 RMS 是 $X_m\sqrt D$。
• 波形因数的分母通常是整流后的平均值。
• 只算导通区间后，最后仍要除以完整周期。
• $\Delta I$ 是峰峰值，求最大最小时用 $\Delta I/2$。
• ms、$\mu$s、ns 一律先换成秒。
• 分段积分时，平均值用面积（不平方），RMS 用平方后面积。
• 含负值的波形：平均值会抵消变小（甚至为零），RMS 不会——先平方再积分。
• 梯形波的两个斜坡段和平台段要分开算，最后加起来。别只算一个斜坡就交卷。
• 锯齿波全波整流：如果原始波形没有负值，整流后波形不变。如果原始波形有负值，整流后等于取绝对值。
• 整流平均值（FF 分母）用 $|v(t)|$ 的平均值，不是有符号平均值。
• 全波整流画波形：负半周翻上去（取绝对值），正半周不变。如果原始波形无负值，则整流后不变。
• 画 $v_L$ 时，每段斜率乘以 $L$ 后画水平线。画完后检查伏秒平衡（正面积 = 负面积）。
• 画波形题必须标数值：峰值、过零点、时间区间。光画形状只得一半分。
• 锯齿波和三角波的平均值和 RMS 可以直接从常见波形表查，但考试要能从头积分推导。