第2章 二极管与整流器

先讲清楚

二极管(diode)可以近似看成自动开关：正向(forward)偏置时导通，反向(reverse)偏置时关断。整流器(rectifier)就是利用这个单向导通，把交流变成同一方向的电压或电流。

考试里不要一上来背公式。先看两件事：

1. 哪些二极管在这个半周导通？
2. 关断的二极管两端会承受多大反向电压？

第一个问题决定输出波形，第二个问题决定反向峰值电压(PIV)。

输入先转峰值(peak)

题目给 RMS 时：

$$\hat V=\sqrt2 V_{rms}$$

题目写成 $v_s(t)=10\sin(100\pi t)$ 时，10 已经是峰值，不要再乘 $\sqrt2$。

三种整流器

拓扑	每周期输出脉冲	每次导通二极管	纹波(ripple)频率	常见 PIV
半波(half-wave)	1 个	1 个	$f_{line}$	无电容约 $\hat V$，有电容可到 $2\hat V$
中心抽头全波(centre-tapped full-wave)	2 个	1 个	$2f_{line}$	$2\hat V_{half}$
桥式整流器(bridge rectifier)	2 个	2 个	$2f_{line}$	$\hat V$

桥式的缺点是导通路径有两个二极管压降(drop)。中心抽头的缺点是需要中心抽头绕组，而且 PIV 高。

输出电压怎么画（2022Q2+2023Q1e+2024Q1e+2025Q1e+2025Q2ab 型，必考）

考试必考画波形（10 分级别），下面先看图理解特征，再按步骤画。

半波整流器波形(half-wave rectifier waveform)

波形特征：

• 正半周（$0\sim\pi$）：输出跟随输入正弦，但扣掉一个 $V_f$，峰值为 $\hat V-V_f$
• 负半周（$\pi\sim2\pi$）：二极管反偏，输出为 0
• 结果是”半馒头”形状，每完整周期只有一个脉冲
• 纹波频率 = $f_{line}$

分步标注指南：

1. 画坐标轴，横轴标 $\theta$（或 $t$），纵轴标 $v$
2. 先用虚线画出原始正弦波 $v_s=\hat V\sin\theta$ 作为参考
3. $0\sim\pi$ 区间：在正弦下方画输出曲线（比正弦低 $V_f$），起点在 $\theta=0$ 时为 0，上升到 $\theta=\pi/2$ 时为峰值 $\hat V-V_f$，回到 $\theta=\pi$ 时为 0
4. $\pi\sim2\pi$ 区间：输出画在 0 线上（水平直线）
5. 用虚线标出峰值 $\hat V-V_f$ 的水平线和纵轴的箭头
6. 在 $\theta=\pi/2$ 处标注”峰值 = $\hat V-V_f$”
7. 标注导通区间”$0\sim\pi$，$D$ 正向偏置”
8. 标注关断区间”$\pi\sim2\pi$，$D$ 反向偏置”
9. 横轴标 $\pi$、$2\pi$（或对应时间）

桥式整流器波形(bridge rectifier waveform)

波形特征：

• 正半周和负半周都”翻上来”——相当于取绝对值 $|v_s|$
• 每个半周扣掉两个 $V_f$（导通路径上有 2 个二极管）
• 峰值为 $\hat V-2V_f$
• 每半个周期一个脉冲，共 2 个脉冲/周期
• 纹波频率 = $2f_{line}$

分步标注指南：

1. 画坐标轴，横轴标 $\theta$，纵轴标 $v$
2. 先用虚线画出原始正弦波 $v_s=\hat V\sin\theta$ 作为参考
3. $0\sim\pi$ 区间：画正弦的绝对值形状，峰值在 $\theta=\pi/2$ 处，值为 $\hat V-2V_f$。这段由 $D_1$、$D_2$ 导通
4. $\pi\sim2\pi$ 区间：把原本的负半周”翻上来”，形状与正半周相同。这段由 $D_3$、$D_4$ 导通
5. 用虚线标峰值 $\hat V-2V_f$
6. 分别标注两个导通区间和对应的二极管对
7. 注意峰值位置有两个（$\theta=\pi/2$ 和 $\theta=3\pi/2$），都要标

中心抽头整流器波形(centre-tapped full-wave rectifier waveform)

波形特征：

• 两个半绕组的正弦波相位相反（相差 180 度），共用中心抽头参考点
• 正半周：$D_1$ 导通，输出跟随上方绕组，扣一个 $V_f$
• 负半周：$D_2$ 导通，输出跟随下方绕组（正值部分），扣一个 $V_f$
• 结果和桥式一样是全波整流，但每个半周只扣一个 $V_f$
• 峰值为 $\hat V_{half}-V_f$（注意用半边绕组峰值）
• 纹波频率 = $2f_{line}$

分步标注指南：

1. 画坐标轴，横轴标 $\theta$，纵轴标 $v$
2. 先用不同颜色画出两个半绕组的正弦波（相位相反）作为参考：上方绕组 $v_{upper}=\hat V_{half}\sin\theta$（正半周在上），下方绕组 $v_{lower}=-\hat V_{half}\sin\theta$（负半周在上）
3. $0\sim\pi$ 区间：$D_1$ 导通，画上方绕组的正值部分，峰值 $\hat V_{half}-V_f$
4. $\pi\sim2\pi$ 区间：$D_2$ 导通，画下方绕组的正值部分（原负半周翻上来），峰值同样为 $\hat V_{half}-V_f$
5. 用虚线标峰值 $\hat V_{half}-V_f$
6. 分别标注”$D_1$ 导通（上方绕组）“和”$D_2$ 导通（下方绕组）”
7. 标注 $V_f$ 偏移量（输出比绕组电压低一个 $V_f$）

有电容时的波形区别

无电容时输出是”光秃秃的正弦脉冲”（见上面三个图）。有电容时：

1. 正弦上升到峰值时，电容充电（跟随正弦）
2. 正弦过了峰值开始下降，但电容电压不会跟着降——二极管反偏了
3. 电容通过负载缓慢放电，电压呈指数下降
4. 下一个正弦脉冲到来时再次充电
5. 结果是”锯齿状”波形：快速充电上升、缓慢放电下降

有电容时的标注要点：

• 标注充电区间（二极管导通）和放电区间（二极管关断）
• 用虚线标峰值 $\hat V-V_{drop}$（$V_{drop}$ 取决于二极管数量）
• 用双箭头标纹波幅度 $\Delta V$
• 标注 $V_{cap,min}=\hat V-V_{drop}-\Delta V$

去电容后的波形画法（2025Q2ab 型）

去电容就是纯整流输出：半波是”半馒头”，桥式/全波是”全馒头”。2025Q2ab 考过这种画法——题目说”画出去电容后的波形”，意思就是忽略电容效果，画纯整流输出。

PIV 是什么

PIV 是二极管关断时承受的最大反向电压。

固定做法：

1. 找一只关断二极管。
2. 标出它两端电压极性。
3. 找 source 的最不利峰值。
4. 有电容时，考虑电容电压保持在接近峰值。
5. 写出每只二极管的 PIV。

中心抽头题最容易错：$\hat V_{half}$ 是半边次级(secondary)的峰值。每只二极管的 PIV 常约为 $2\hat V_{half}$。

中心抽头 PIV 的 KVL 推导（考试必会，2025Q1e 型）

这是最常考的 PIV 题型之一。考的就是你能不能在图上标出关断二极管两端的电压。

电路结构： 中心抽头变压器有两个次级绕组，每个绕组电压为 $\hat V_{half}\sin\theta$。两只二极管 $D_1$ 和 $D_2$ 分别接在两个绕组的外端和负载之间。中心抽头是参考地。

第 1 步：确认导通/关断状态。

在正半周，$D_1$ 导通，$D_2$ 关断。负半周反过来。

第 2 步：对关断二极管画 KVL 回路。

以正半周为例，$D_2$ 关断。$D_2$ 的阳极接在下方绕组的外端，阴极通过负载连到 $D_1$ 的阳极（即上方绕组外端）。

从 $D_2$ 的阴极出发，经过负载回到中心抽头（地），再经下方绕组到 $D_2$ 的阳极。此时 $D_1$ 导通，把上方绕组的电压”抬”到了输出端。

$D_2$ 两端的反向电压：

$$V_{D2,reverse}=v_{upper}+v_{lower}$$

在正半周峰值时刻，$v_{upper}=\hat V_{half}$，$v_{lower}=\hat V_{half}$（两个绕组同时到峰值），所以：

$$\mathrm{PIV}=2\hat V_{half}$$

考虑二极管压降 $V_f$ 时： 导通的 $D_1$ 上有正向压降 $V_f$，这意味着 $D_1$ 阳极（输出端）比阴极端”少抬了” $V_f$。但 PIV 看的是关断二极管两端的电压，关断时没有电流流过 $D_2$，$D_2$ 上没有正向压降。所以：

$$\mathrm{PIV}=2\hat V_{half} \quad\text{（PIV 不受 $V_f$ 影响）}$$

但是，$V_f$ 会影响输出峰值：$V_{out,peak}=\hat V_{half}-V_f$。

各拓扑的 PIV 公式（直接背）

拓扑	PIV	含义
半波（无电容）	$\hat V$	峰值反向
半波（有电容）	$2\hat V$	峰值加电容保持
桥式	$\hat V$	每只二极管反向峰值
中心抽头	$2\hat V_{half}$	两个半绕组峰值叠加

$\hat V_{half}$ 是半边次级绕组的峰值，不是整个次级的峰值。如果题目给的是整个次级的 RMS，则 $\hat V_{half}=\sqrt{2}\times V_{sec,rms}/2$。

例题 3：中心抽头含 Vf 的 PIV（2025Q1e 型）

已知： 中心抽头整流器，次级电压 $80\,\mathrm{V_{rms}}$（整个次级），$V_f=0.7\,\mathrm{V}$。

(a) 每个半绕组的峰值。

$$V_{sec,rms}=80\,\mathrm{V}$$

半绕组 RMS：

$$V_{half,rms}=\frac{80}{2}=40\,\mathrm{V}$$

半绕组峰值：

$$\hat V_{half}=\sqrt{2}\times40=56.6\,\mathrm{V}$$

(b) 输出峰值。

$$V_{out,peak}=\hat V_{half}-V_f=56.6-0.7=55.9\,\mathrm{V}$$

(c) PIV。

$$\mathrm{PIV}=2\hat V_{half}=2\times56.6=113.1\,\mathrm{V}$$

PIV 不受 $V_f$ 影响。

(d) 二极管峰值电流。

如果负载电阻为 $R$，峰值电流在输出峰值时刻出现：

$$I_{peak}=\frac{V_{out,peak}}{R}$$

如果没给 $R$，但给了平均电流 $I_{avg}$，可以用 $I_{peak}\approx\pi I_{avg}/2$（全波整流正弦波形的峰值是平均值的 $\pi/2$ 倍）估算。

半波有电容时 PIV 为什么变成 $2\hat V$（2025Q2ab 型，必须理解）

很多人背了”半波有电容 PIV = $2\hat V$“，但不理解为什么。考试变形一下就不会了。下面用 KVL 推一遍。

电路： 半波整流器，输入 $v_s=\hat V\sin\theta$，二极管 $D$，滤波电容 $C$，负载 $R$。

关键事实： 有大电容时，电容被充电到接近输入峰值 $\hat V$，并在正弦下降期间保持这个电压（放电很慢）。

第 1 步：正半周峰值时刻。

$v_s$ 达到峰值 $\hat V$，$D$ 导通给 $C$ 充电。电容电压被充到接近 $\hat V$（忽略 $V_f$ 时 $V_C\approx\hat V$）。

第 2 步：正半周过后，$v_s$ 开始下降。

$D$ 阳极接 $v_s$（在下降），阴极接电容（保持在 $\hat V$ 附近）。$D$ 反偏，关断。

第 3 步：负半周峰值时刻（$v_s=-\hat V$）。

这是 $D$ 承受反向电压最大的时刻。画 KVL 回路：

从 $D$ 阴极出发（电容正端，电压 $V_C\approx\hat V$），经过 $D$ 到 $D$ 阳极（接 $v_s=-\hat V$）：

$$V_{D,reverse}=V_C-v_s=\hat V-(-\hat V)=2\hat V$$

所以：

$$\boxed{\mathrm{PIV}_{half-wave+cap}=2\hat V}$$

对比无电容的情况： 无电容时，$D$ 阴极没有被电容”钉”在 $\hat V$，负半周时阴极电压跟着负载降到接近 0，所以 PIV 只有 $\hat V$。有电容后，电容把阴极端”抬”到了 $\hat V$，反向电压翻倍。

例题：半波有电容的 PIV 和纹波（2025Q2ab 型）

已知： 半波整流器，$v_s=10\sin(100\pi t)\,\mathrm{V}$，$V_f=1\,\mathrm{V}$，大电容滤波，$I_{load}=0.5\,\mathrm{A}$，$C=1000\,\mu\mathrm{F}$。

(a) 求输出纹波。

半波纹波频率 $f_{ripple}=f_{line}=50\,\mathrm{Hz}$：

$$\Delta V=\frac{I_{load}}{f_{ripple}\cdot C}=\frac{0.5}{50\times1000\times10^{-6}}=\frac{0.5}{0.05}=10\,\mathrm{V}$$

注意：$\hat V=10\,\mathrm{V}$，纹波也是 $10\,\mathrm{V}$——这意味着电容在正弦波谷时电压几乎降到 0，电容太小了，电路不在正常工作状态。考试中如果算出纹波接近或超过峰值，要指出”电容不足”。

(b) 求 PIV。

$$\mathrm{PIV}=2\hat V-V_f=2\times10-1=19\,\mathrm{V}$$

这里扣掉 $V_f$ 是因为导通期间二极管上确实有 $V_f$ 压降，电容实际被充到 $\hat V-V_f$，所以 $V_C=\hat V-V_f$，PIV $=V_C+\hat V=2\hat V-V_f$。

(c) 画去电容后的输出波形。

去电容后就是纯半波整流输出：正半周跟随正弦（扣 $V_f$），负半周为 0。波形是”半馒头”，峰值 $=10-1=9\,\mathrm{V}$，频率 $50\,\mathrm{Hz}$。

例题 1：桥式整流器 PIV

次级电压是 $20\,\mathrm{V_{rms}}$，桥式整流器(bridge rectifier)，忽略二极管压降。求每只二极管的 PIV。

先转峰值：

$$\hat V=\sqrt2\times20=28.3\,\mathrm{V}$$

桥式整流器中每只二极管的 PIV 约为一个次级峰值：

$$\mathrm{PIV}\approx28.3\,\mathrm{V}$$

实际选型要留 margin，例如选 50 V 或更高耐压值的二极管。

整流输出的 RMS 和平均值公式

考试经常问整流输出的 RMS 和平均值。不查表的话，从积分推：

半波整流正弦（无电容）

输出 $v_o=\hat V\sin\theta$，$0\le\theta\le\pi$，其余为 0。完整周期 $2\pi$。

平均值：

$$V_{avg}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}\hat V\sin\theta\,d\theta=\frac{\hat V}{2\pi}[-\cos\theta]_0^{\pi}=\frac{\hat V}{2\pi}(1+1)=\frac{\hat V}{\pi}$$

RMS：

$$V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}\hat V^2\sin^2\theta\,d\theta}=\sqrt{\frac{\hat V^2}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{2}}=\frac{\hat V}{2}$$

全波/桥式整流正弦（无电容）

输出 $v_o=|\hat V\sin\theta|$，完整周期 $\pi$（或 $2\pi$ 内两个脉冲）。

平均值：

$$V_{avg}=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\hat V\sin\theta\,d\theta=\frac{2\hat V}{\pi}$$

RMS： 取绝对值不改变 RMS（$(|v|)^2=v^2$），所以：

$$V_{rms}=\frac{\hat V}{\sqrt{2}}$$

和原始正弦的 RMS 相同。

必背速查

整流类型	平均值 $V_{avg}$	RMS $V_{rms}$
半波（无电容）	$\hat V/\pi$	$\hat V/2$
全波/桥式（无电容）	$2\hat V/\pi$	$\hat V/\sqrt{2}$

有电容时： RMS 和平均值都趋近 $\hat V$（纹波越小越接近），不能用上面的公式。有电容的近似：$V_{avg}\approx\hat V-\Delta V/2$，$V_{rms}\approx\hat V-\Delta V/2$（对称三角纹波近似）。

电容平滑(capacitor smoothing)

没有电容(capacitor)时，整流输出是脉动的。有电容时，输入到峰值附近二极管导通，电容充电；峰值过后二极管关断，负载(load)从电容取电，电容电压慢慢下降。

纹波(ripple)近似：

$$\Delta V\approx\frac{I_{load}\Delta t}{C}$$

如果没有给导通角(conduction angle)，可以用：

$$\Delta V\approx\frac{I_{load}}{f_{ripple}C}$$

半波的 $f_{ripple}=f_{line}$。全波和桥式的 $f_{ripple}=2f_{line}$。

例题 2：纹波

桥式整流器，线路频率 $50\,\mathrm{Hz}$，负载电流 $0.2\,\mathrm{A}$，电容 $1000\,\mu\mathrm{F}$。估算纹波。

桥式是全波：

$$f_{ripple}=100\,\mathrm{Hz}$$

电容：

$$C=1000\,\mu\mathrm{F}=1000\times10^{-6}\,\mathrm{F}$$

纹波：

$$\Delta V\approx\frac{0.2}{100\times1000\times10^{-6}}=2\,\mathrm{V}$$

变压器变比与次级电压（2024Q1e 型，考试必用）

考试经常给初级电压和变压器变比（turns ratio），要求算次级电压。很多人在这一步丢分。

基本关系

变压器匝比（turns ratio）：

$$\frac{V_{primary}}{V_{secondary}}=\frac{N_p}{N_s}$$

所以：

$$V_{secondary}=V_{primary}\times\frac{N_s}{N_p}$$

固定做法

第 1 步：确认给的是 RMS 还是峰值。 题目写 $170\sin(100\pi t)$ 时，170 是峰值。写 $120\,\mathrm{V_{rms}}$ 时，120 是 RMS。

第 2 步：用变比算次级。 如果初级是 RMS，次级也是 RMS。如果初级是峰值，次级也是峰值。

第 3 步：中心抽头时，半边绕组 = 次级/2。 题目给的是整个次级电压时，每只二极管看的半边绕组电压是次级的一半。

例题：初级到次级（2024Q1e 型）

已知： 中心抽头整流器，初级电压 $170\sin(100\pi t)\,\mathrm{V}$（峰值），变比 $N_p/N_s=2$。

求次级峰值和半边绕组峰值。

次级峰值：

$$\hat V_{sec}=170\times\frac{1}{2}=85\,\mathrm{V}$$

半边绕组峰值：

$$\hat V_{half}=\frac{85}{2}=42.5\,\mathrm{V}$$

输出峰值（忽略 $V_f$）$=42.5\,\mathrm{V}$。

PIV $=2\times42.5=85\,\mathrm{V}$。

易错点： 中心抽头的 PIV 用半边绕组峰值 $\hat V_{half}$，不是整个次级峰值 $\hat V_{sec}$。如果题目给的是次级 RMS，要先乘 $\sqrt{2}$ 转峰值，再除以 2 得半边峰值。

稳压电源题(regulated supply)

这类题把变压器(transformer)、桥式、电容、线性稳压器(regulator)放在一起考。

先从稳压器往前推：

1. 稳压器输入最低点必须高于输出加压差(dropout)：

$$V_{cap,min}\ge V_{out}+V_{dropout}$$

2. 电容峰值要比最低点高一个纹波：

$$V_{cap,peak}\approx V_{cap,min}+\Delta V$$

3. 桥式前次级峰值要再加两个二极管压降：

$$\hat V_{sec}\approx V_{cap,peak}+2V_F$$

4. 峰值转 RMS：

$$V_{sec,rms}=\frac{\hat V_{sec}}{\sqrt2}$$

5. 变压器 VA 用 RMS：

$$VA=V_{sec,rms}I_{sec,rms}$$

若题目给 current form factor：

$$I_{sec,rms}=\mathrm{FF}\cdot I_{dc}$$

电容增大对电路的影响（2022Q2d 型，5 分定性分析）

这是考试反复考的定性分析题。问法通常是”电容 $C_s$ 增大，对以下参数有什么影响？“

分析思路

电容大 → 充放电慢 → 电压下降少 → 纹波小。但二极管导通时间变短（导通角变小），导致电流在更短的时间内流出更大的峰值。

定性分析表（直接背，考试直接抄）

参数	$C$ 增大时	原因
纹波电压 $\Delta V$	减小	$\Delta V\approx I_{load}/(f_{ripple}C)$，$C$ 越大纹波越小
导通角 $\theta_c$	减小	电容电压保持在接近峰值的时间更长，二极管只在峰值附近很短的区间导通
Form Factor (FF)	增大	导通角小 → 电流波形更”尖” → RMS/平均值之比增大
变压器 VA	增大	电流波形更尖意味着 RMS 电流更大（相同直流功率下），需要更大的变压器容量
输出平均电压 $V_{dc}$	略微增大（趋近峰值）	纹波小了，最低点抬高，平均值略升
二极管峰值电流	增大	同样的平均电流要在更短的导通时间内通过，峰值必须更大
二极管导通损耗	基本不变	导通损耗 $=V_F I_{avg}$，平均电流不变时损耗不变（但峰值电流变大可能影响器件选型）
输出纹波频率	不变	纹波频率由整流拓扑决定（$f_{line}$ 或 $2f_{line}$），与 $C$ 无关

答题模板（直接抄）

当滤波电容 $C_s$ 增大时：

1. 纹波电压 $\Delta V$ 减小，因为 $\Delta V\approx I_{load}/(f_{ripple}C_s)$。
2. 导通角 $\theta_c$ 减小，因为电容电压保持在峰值附近更长时间，二极管只在很窄的区间导通。
3. 电流波形因数（form factor）增大，因为电流波形变得更尖、导通时间更短。
4. 变压器 VA 需求增大，因为 RMS 电流增大（相同直流输出功率下）。
5. 二极管峰值电流增大，因为同样的平均电流要在更短时间内通过。

理解”为什么”：导通角变小的直觉

没有电容时，二极管在整个正半周都导通（180°导通角）。有了电容后，电容电压被充到接近峰值，只有当正弦输入超过电容电压时二极管才导通。电容越大，电压下降越慢，正弦要等更久才能超过电容电压，所以导通窗口变窄。

想象一个水池（电容）接水龙头（二极管）和放水口（负载）。水池越大，放水时水位下降越慢，水龙头只在水位最低的那一小会儿才打开补水。

三种整流器完整对比表（考试答题用）

这是考试对比题（“比较三种整流器优缺点”）和计算题都需要的参考表。比前面的简表更详细。

比较项	半波 (half-wave)	桥式 (bridge)	中心抽头 (centre-tapped)
二极管数量	1	4	2
每周期输出脉冲	1 个	2 个	2 个
纹波频率	$f_{line}$	$2f_{line}$	$2f_{line}$
导通路径压降	$1\times V_F$	$2\times V_F$	$1\times V_F$
PIV	$\hat V$（无 C）/ $2\hat V$（有 C）	$\hat V$	$2\hat V_{half}$
输出峰值	$\hat V-V_F$	$\hat V-2V_F$	$\hat V_{half}-V_F$
平均输出电压	$\hat V/\pi$	$2\hat V/\pi$	$2\hat V_{half}/\pi$
变压器利用率	低	高	中（需要中心抽头）
变压器直流磁化	有（次级单向电流）	无（正负半周平衡）	无
适用场合	低成本小功率	最常用，中大功率	需要少压降时

优缺点答题模板（考试直接抄）

半波整流器：

• 优点：结构最简单，只用一个二极管。
• 缺点：输出纹波大（纹波频率等于线路频率），变压器利用率低，有直流磁化分量。

桥式整流器：

• 优点：纹波频率是线路频率的 2 倍（容易滤波），变压器利用率高，无直流磁化。
• 缺点：导通路径有两个二极管压降（输出峰值少 $2V_F$），需要 4 个二极管。

中心抽头整流器：

• 优点：导通路径只有一个二极管压降，纹波频率是线路频率的 2 倍。
• 缺点：需要带中心抽头的变压器，PIV 高（$2\hat V_{half}$），变压器利用率不如桥式。

稳压电源完整例题（模拟 2024Q2，25 分）

这道题把稳压电源设计的全部步骤串起来。考试就是考这套路。

已知

线性稳压电源：输入 $110\,\mathrm{V_{rms}}$（$\pm 8\%$ 波动），$60\,\mathrm{Hz}$。稳压器输出 $5\,\mathrm{V}$，输出电流 $1\,\mathrm{A}$，稳压器压差（dropout）$2\,\mathrm{V}$，效率 $\eta=90\%$，桥式整流器，$V_f=1\,\mathrm{V}$，电流波形因数 $\mathrm{FF}=2.7$，滤波电容 $C=10\,\mathrm{mF}$。

(a) 求最小次级电压（7 分）

从输出往前反推——这是固定做法。

第 1 步：稳压器输入最低电压。

稳压器正常工作要求输入端电压不低于输出电压加压差：

$$V_{in,min}\ge V_{out}+V_{dropout}=5+2=7\,\mathrm{V}$$

第 2 步：电容最低电压。

电容最低电压就是稳压器的输入最低电压：

$$V_{cap,min}=V_{in,min}=7\,\mathrm{V}$$

第 3 步：电容纹波。

桥式整流器，$f_{ripple}=2\times60=120\,\mathrm{Hz}$，负载电流 $I_{load}=1\,\mathrm{A}$：

$$\Delta V=\frac{I_{load}}{f_{ripple}\cdot C}=\frac{1}{120\times10\times10^{-3}}=\frac{1}{1.2}=0.833\,\mathrm{V}$$

第 4 步：电容峰值。

$$V_{cap,peak}=V_{cap,min}+\Delta V=7+0.833=7.833\,\mathrm{V}$$

第 5 步：次级峰值。

桥式整流器有两个二极管压降：

$$\hat V_{sec}=V_{cap,peak}+2V_f=7.833+2\times1=9.833\,\mathrm{V}$$

第 6 步：次级 RMS（正常电压下）。

$$V_{sec,rms,normal}=\frac{\hat V_{sec}}{\sqrt{2}}=\frac{9.833}{1.414}=6.95\,\mathrm{V}$$

第 7 步：考虑电网最低电压。

电网波动 $-8\%$ 时，实际输入降为 $110\times0.92=101.2\,\mathrm{V}$。变压器变比固定，所以次级也按比例下降。为了在最低电压下仍满足要求，正常电压时的次级 RMS 必须留出 $8\%$ 的余量：

$$V_{sec,rms,min}=\frac{V_{sec,rms,normal}}{0.92}=\frac{6.95}{0.92}=7.56\,\mathrm{V}$$

如果题目还给变压器 regulation： 设 regulation $=7\%$，意味着负载时次级电压比空载低 $7\%$。那还要再除以 $(1-0.07)$：

$$V_{sec,rms,required}=\frac{7.56}{1-0.07}=\frac{7.56}{0.93}=8.13\,\mathrm{V}$$

答案：最小次级 RMS 电压约 $8.1\,\mathrm{V}$。

(b) 求稳压器功耗（4 分）

核心公式：

线性稳压器(regulator)的工作原理是把多余的电压”吃掉”——通过内部晶体管的等效电阻把压差变成热量。所以稳压器功耗就是压差乘以流过的电流：

$$P_{reg}=(V_{in,reg}-V_{out})\times I_{load}$$

其中 $V_{in,reg}$ 是稳压器输入端（即电容两端）的电压，$V_{out}$ 是稳压器输出电压，$I_{load}$ 是负载电流。

为什么功耗 = 热耗散？ 线性稳压器是串联型的——输入电流基本等于输出电流（忽略静态电流），多余的能量全部以热量形式消耗在稳压器内部的调整管上。输入功率 $P_{in}=V_{in,reg}\times I_{load}$，输出功率 $P_{out}=V_{out}\times I_{load}$，两者之差就是功耗：

$$P_{reg}=P_{in}-P_{out}=(V_{in,reg}-V_{out})\times I_{load}$$

这些能量不能被回收，全部变成热量，所以功耗 = 热耗散(heat dissipation)。

为什么取最坏情况（电网最高电压）？

稳压器功耗取决于压差 $(V_{in,reg}-V_{out})$。$V_{out}$ 固定为 $5\,\mathrm{V}$，$I_{load}$ 固定为 $1\,\mathrm{A}$。当电网电压升高时，次级电压升高，电容电压升高，压差变大，功耗变大。所以最大功耗出现在电网电压最高的时候（$+8\%$）。注意这和(a)问取最低电压相反——两个最坏情况不同时。

完整数值推导：

第 1 步：电网 $+8\%$ 时的次级 RMS。

正常次级 RMS 为 $7.56\,\mathrm{V}$（已考虑 regulation，见(a)问），电网 $+8\%$ 时按比例升高：

$$V_{sec,rms}=7.56\times1.08=8.16\,\mathrm{V}$$

第 2 步：次级峰值。

$$\hat V_{sec}=\sqrt{2}\times8.16=11.54\,\mathrm{V}$$

第 3 步：电容峰值（桥式扣两个 $V_f$）。

$$V_{cap,peak}=\hat V_{sec}-2V_f=11.54-2\times1=9.54\,\mathrm{V}$$

第 4 步：电容最低电压（扣除纹波）。

纹波 $\Delta V=0.833\,\mathrm{V}$（和(a)问相同，因为 $I_{load}$ 和 $C$ 不变）：

$$V_{cap,min}=V_{cap,peak}-\Delta V=9.54-0.833=8.71\,\mathrm{V}$$

第 5 步：稳压器输入电压。

电容最低电压就是稳压器的输入最低电压（但功耗用平均值更准确；这里简化为用最低点估算最大功耗——保守取最坏情况）：

$$V_{in,reg}=V_{cap,min}=8.71\,\mathrm{V}$$

第 6 步：代入功耗公式。

$$P_{reg}=(V_{in,reg}-V_{out})\times I_{load}=(8.71-5)\times1=3.71\,\mathrm{W}$$

考试写法： 先写公式 $P_{reg}=(V_{in,reg}-V_{out})\times I_{load}$，说明最坏情况取电网最高（$+8\%$），代入 $V_{in,reg}=8.71\,\mathrm{V}$，$V_{out}=5\,\mathrm{V}$，$I_{load}=1\,\mathrm{A}$，得到 $P_{reg}=3.71\,\mathrm{W}$。每步都写清楚就满分。

简化估算（若不做精确计算）： 直接用电容平均电压减输出电压再乘电流。$V_{cap,avg}\approx V_{cap,min}+\Delta V/2\approx8.71+0.42=9.13\,\mathrm{V}$，$P_{reg}\approx(9.13-5)\times1=4.13\,\mathrm{W}$。两种方法结果在同一量级，考试用精确值。

(c) 求电容耐压值（3 分）

电容电压额定值（voltage rating）要看最高可能的峰值电压，不是看正常输出直流电压。这道题考的就是你能不能把”电网波动”和”空载峰值”两个因素叠加起来。

完整数值例题：

用本题已知条件：$V_{primary}=110\,\mathrm{V_{rms}}$，电网波动 $\pm 8\%$，变压器 regulation $=7\%$，桥式整流器，$V_f=1\,\mathrm{V}$。前面(a)问已算出正常条件下 $V_{sec,rms,required}=8.13\,\mathrm{V}$（满足最低输入要求的设计值）。

第 1 步：找最高次级 RMS。

电网 $+8\%$ 时，初级升高，次级按变比升高：

$$V_{sec,rms,max}=8.13\times1.08=8.78\,\mathrm{V}$$

第 2 步：考虑空载 regulation。

变压器有 regulation $=7\%$，意味着负载时电压比空载低 $7\%$。反过来，空载时电压比负载高。电容耐压要看空载情况（空载峰值最高）：

$$V_{sec,rms,no-load}=\frac{V_{sec,rms,max}}{1-0.07}=\frac{8.78}{0.93}=9.44\,\mathrm{V}$$

直觉：前面(a)问的设计值 $8.13\,\mathrm{V}$ 已经把 $-8\%$ 和 regulation 都考虑进去了（除以 $0.92$ 和 $0.93$），所以 $+8\%$ 和空载就是乘 $1.08$ 再除以 $0.93$。

第 3 步：求最高次级峰值。

$$\hat V_{sec,max}=\sqrt{2}\times V_{sec,rms,no-load}=\sqrt{2}\times9.44=13.35\,\mathrm{V}$$

第 4 步：求电容两端最高电压。

桥式整流器扣两个 $V_f$：

$$V_{cap,peak,max}=\hat V_{sec,max}-2V_f=13.35-2\times1=11.35\,\mathrm{V}$$

第 5 步：留安全余量(safety margin)，选电容耐压。

实际选型时，电容耐压必须高于最高工作电压，因为：

• 电网瞬态(surge)可能使电压短时超出 $\pm 8\%$
• 电容老化后耐压会下降
• 温度升高时耐压也会降

工程上通常留 $20\%\sim50\%$ 余量。用 20% 余量（$\times 1.2$）：

$$V_{rating,min}=V_{cap,peak,max}\times1.2=11.35\times1.2=13.62\,\mathrm{V}$$

标准电容耐压值为 $6.3\,\mathrm{V}$、$10\,\mathrm{V}$、$16\,\mathrm{V}$、$25\,\mathrm{V}$、$50\,\mathrm{V}$ 等。选 $\geq 13.62\,\mathrm{V}$ 的最小标准值：

$$\boxed{V_{rating}=16\,\mathrm{V}}$$

如果用更保守的 50% 余量（$\times 1.5$）：$11.35\times1.5=17.0\,\mathrm{V}$，就要选 $25\,\mathrm{V}$ 的电容。

考试答题模板（直接抄框架）：

$$\hat V_{sec,max}=\sqrt{2}\times V_{sec,rms}\times\frac{1+8\%}{1-7\%}$$ $$V_{cap,peak,max}=\hat V_{sec,max}-2V_f$$ V_{rating}\ge 1.2\times V_{cap,peak,max}\quad\text{（至少 20% 余量）}

关键：电容耐压看的是最高输入条件下的峰值，不是输出直流电压。 很多考生把 $5\,\mathrm{V}$ 当耐压值选，这是致命错误。电容两端电压接近次级峰值（约十几伏），远大于输出的 $5\,\mathrm{V}$。

(d) 求 PIV（3 分）

桥式整流器：

$$\mathrm{PIV}=\hat V_{sec}=\sqrt{2}\times V_{sec,rms}$$

用最高电压情况：

$$\mathrm{PIV}=\sqrt{2}\times8.13\times1.08=12.4\,\mathrm{V}$$

选型时留余量，选 $20\,\mathrm{V}$ 或更高。

(e) 求变压器 VA（4 分）（2024Q2[25分] 型，3 分）

变压器 VA（伏安容量）用次级绕组的 RMS 电压和次级绕组的 RMS 电流相乘。注意这里的电压是次级（secondary）电压的 RMS，不是初级电压，也不是输出直流电压——很多人在这一步用错电压值。

完整公式：

$$VA=V_{sec,rms}\times I_{sec,rms}$$

$V_{sec,rms}$ 用哪个值？

用次级绕组的 RMS 电压。在本题中，前面(a)问已经算出了满足最低输入条件的 $V_{sec,rms,required}=8.13\,\mathrm{V}$。代入时就用这个值（注意不要用初级电压 $110\,\mathrm{V}$ 或输出电压 $5\,\mathrm{V}$）。

$I_{sec,rms}$ 怎么求？

次级电流的 RMS 不等于负载直流电流 $I_{dc}$。因为有电容滤波时，电流波形很”尖”（只在导通角内流过），RMS 比平均值大。题目给了电流波形因数(current form factor) FF，直接用：

$$I_{sec,rms}=\mathrm{FF}\times I_{dc}=2.7\times1=2.7\,\mathrm{A}$$

完整代入过程：

$$VA=V_{sec,rms}\times I_{sec,rms}=8.13\times2.7=21.95\,\mathrm{VA}$$

为什么 $I_{sec,rms}$ 比 $I_{dc}$ 大那么多？ 因为电流波形因数 $FF=2.7$ 意味着电流波形很”尖”——二极管只在导通角很小的区间内导通，峰值电流远大于平均电流，导致 RMS 电流是平均值的 2.7 倍。

整道题的反推链路总结

$$V_{out}\xrightarrow{+V_{dropout}}V_{cap,min}\xrightarrow{+\Delta V}V_{cap,peak}\xrightarrow{+2V_f}\hat V_{sec}\xrightarrow{/\sqrt{2}}V_{sec,rms}\xrightarrow{\text{考虑电网波动和regulation}}V_{sec,rms,required}$$

考试画这条链路就拿一半分。 每一步公式写清楚，代入数值，最后检查单位。

固定套路

整流器题按这几步：

1. 输入 RMS 转峰值
2. 判断拓扑：半波 / 桥式 / 中心抽头
3. 标导通二极管数和二极管压降
4. 画负载(load)电压
5. 按关断二极管算 PIV
6. 有电容时算纹波或电容值
7. 有稳压器时从压差往前反推

画整流输出波形的分步指南（考试必练）

整流器题经常要求”画输出波形”。下面列出速查步骤，详细图解和标注指南见上方”输出电压怎么画”一节。

半波整流器画法（参见上方半波波形图）：

1. 画一个完整的正弦波（两个半周）
2. 正半周：输出跟随正弦，但扣掉一个 $V_f$（如果有）
3. 负半周：输出为 0（二极管反偏）
4. 标注峰值 $\hat V-V_f$、过零点、$\pi$ 和 $2\pi$

桥式整流器画法（参见上方桥式波形图）：

1. 画一个完整的正弦波
2. 正半周和负半周都”翻上来”——取绝对值
3. 每个半周扣掉两个 $V_f$（因为有两个二极管在导通路径上）
4. 结果是每半个周期一个脉冲，频率是输入的 2 倍
5. 标注峰值 $\hat V-2V_f$

中心抽头整流器画法（参见上方中心抽头波形图）：

1. 先画两个半绕组的正弦波（相位相反，共用参考点）
2. 正半周：$D_1$ 导通，输出跟随上方绕组，扣一个 $V_f$
3. 负半周：$D_2$ 导通，输出跟随下方绕组的正值部分，扣一个 $V_f$
4. 结果和桥式一样是全波整流，但只扣一个 $V_f$
5. 标注峰值 $\hat V_{half}-V_f$

有电容时的波形区别（参见上方电容纹波图）：

无电容时输出是”光秃秃的正弦脉冲”。有电容时：

1. 正弦上升到峰值时，电容充电（跟随正弦）
2. 正弦过了峰值开始下降，但电容电压不会跟着降——二极管反偏了
3. 电容通过负载缓慢放电，电压呈指数下降
4. 下一个正弦脉冲到来时再次充电
5. 结果是”锯齿状”的波形：快速充电上升、缓慢放电下降

去电容（去掉电容）后的波形：就是无电容的正弦脉冲。2025Q2ab 考过这种画法——题目说”画出去电容后的波形”，意思就是忽略电容效果，画纯整流输出。

别丢分

• 桥式每次两个二极管压降。
• 半波 50 Hz 的纹波周期是 20 ms；全波是 10 ms。
• PIV 是反向电压，不是输出平均值。
• 中心抽头的 PIV 用半边绕组峰值判断，且 PIV 不受 $V_f$ 影响。
• $\mu\mathrm{F}$、mF 要换成 F。
• 电容耐压值(voltage rating)看高压电网 / 空载峰值，不只看输出直流。
• 稳压器功耗的最坏情况在电网电压最高时（压差最大，发热最多）。
• 最小次级电压的最坏情况在电网电压最低时（输入不够，稳压器 dropout）。
• 两个最坏情况不同时——做功耗算用最高电压，做次级电压反推用最低电压。
• 变压器 VA 用次级 RMS 电压（不是初级，不是输出直流），乘以次级 RMS 电流。给 form factor 时 $I_{sec,rms}=FF\times I_{dc}$。
• 画波形时一定要标数值：峰值、过零点、时间轴。光画形状不标数值得不到满分。详见上方”输出电压怎么画”的三张波形图和分步标注指南。
• 变压器变比公式只适用于理想变压器。有 regulation 时次级负载电压比空载低。
• 桥式整流器每个半周有 2 只二极管在导通路径上，每只各有一个 $V_f$，所以输出峰值要扣 $2V_f$。中心抽头只扣 $1V_f$。
• 半波有电容时 PIV = $2\hat V$（或 $2\hat V - V_f$），无电容时 PIV = $\hat V$。关键区别是电容把阴极端”钉”在峰值附近。
• 整流输出 RMS 公式：半波 $= \hat V/2$，全波 $= \hat V/\sqrt{2}$。这些是无电容的值。有电容时 RMS 接近 $\hat V$。
• 稳压电源反推链：$V_{out}$ → 加 $V_{dropout}$ → $V_{cap,min}$ → 加 $\Delta V$ → $V_{cap,peak}$ → 加 $2V_f$ → $\hat V_{sec}$ → 除 $\sqrt{2}$ → $V_{sec,rms}$ → 考虑电网波动和 regulation。每步都写公式再代入数值。