第2章时域序列与卷积

📌 考试定位：本章是后面所有题的语言基础。它单独出大题的概率不高，但 2025 Q2 的系统性质、级联系统，ch5 的 DFT 卷积，ch3 的采样单频题都会默认你会本章内容。

0. 先用一句话抓住本章

离散时间信号就是一串按整数 $n$ 编号的数；本章要解决的是：如何表示它、移动它、翻转它、判断周期、把两个序列卷积起来。

题干出现这些关键词就翻本章：

$\delta[n]$ 、 $u[n]$ 、rectangular sequence、exponential sequence；
shift / delay / advance / reversal / modulation / windowing；
convolution sum、linear convolution、circular convolution；
periodicity of sinusoidal sequence；
product-to-sum / trigonometric identities。

最容易错的地方：把普通移位和循环移位混用；把线性卷积结果长度写错；判断离散正弦周期时只看连续频率直觉。

1. 30 秒公式速查

编号	公式 / 结论	名称	看到什么题干就用
2.1	$\delta[n]=1(n=0),0(n\ne0)$	单位采样	用脉冲表示任意序列
2.2	$u[n]=1(n\ge0),0(n<0)$	单位阶跃	因果序列、右边序列
2.3	$x[n]=\sum_k x[k]\delta[n-k]$	脉冲展开	LTI 卷积推导
2.4	$y[n]=x[n-n_0]$	延迟 $n_0$	普通时移题
2.5	$x[-n]$	时间反转	卷积四步法
2.6	$y[n]=\sum_k x[k]h[n-k]$	线性卷积	LTI 输出、手算卷积
2.7	$L_y=L_x+L_h-1$	卷积长度	有限长序列卷积
2.8	$x[\langle n-n_0\rangle_N]$	$N$ 点循环移位	DFT 相关循环题
2.9	$y_C[n]=\sum_{m=0}^{N-1}x[m]h[\langle n-m\rangle_N]$	圆周卷积	DFT 卷积定理
2.10	$\omega_0N=2\pi r$	离散正弦周期判定	判断 $\cos(\omega_0n+\phi)$ 是否周期
2.11	$\cos A\cos B=\frac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$	积化和差	采样/调制后频率分量
2.12	$\sin A\cos B=\frac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$	积化和差	调制、乘余弦
2.13	$e^{j\omega n}=\cos\omega n+j\sin\omega n$	欧拉公式	复指数与正弦互转

2. 5 分钟直觉

2.1 离散时间不是“时间变成整数”这么简单

写 $x[n]$ 时， $n$ 是整数索引。它可以来自真实采样时间 $t=nT$ ，也可以只是数组下标。不要把 $x[n]$ 写成 $x(t)$ ，也不要问 $x[0.5]$ 是多少；除非题目额外定义插值，否则非整数处没有定义。

但 $x[n]$ 的幅度不一定是整数。理论 DSP 通常把 $x[n]$ 当作实数或复数序列；只有经过量化后，才是严格的数字信号。

2.2 普通移位和循环移位的区别

普通移位像在一条直线上移动：移出去的样本就走了，空出来的位置通常补零。循环移位像把序列放在圆环上：从右边出去会从左边回来。

时域 LTI 卷积用普通移位 $h[n-k]$ ；
DFT 章节用循环移位 $x[\langle n-n_0\rangle_N]$ ；
用 DFT 算线性卷积时，必须补零到足够长，避免循环卷积把尾巴绕回来。

2.3 卷积为什么总是“翻转、移位、相乘、求和”

LTI 系统的输入可以拆成很多个延迟脉冲：

x[n]=\sum_k x[k]\delta[n-k].

系统对 $\delta[n-k]$ 的响应是 $h[n-k]$ ，再乘权重 $x[k]$ ，所有响应相加，就是

y[n]=\sum_k x[k]h[n-k].

所以卷积不是凭空定义的，它就是“每个输入样本激发一份延迟后的系统响应，然后叠加”。

3. 做题套路

套路 1：手算线性卷积

输入： 两个有限长序列 $x[n]$ 、 $h[n]$ 。
输出： $y[n]=x[n]*h[n]$ 。
对应真题/复习题： 复习题基础题、ch4 LTI 输出、ch5 DFT 线性卷积补零。

标清两个序列的 $n=0$ 位置。
先写结果非零区间：若 $x$ 在 $[n_x^-,n_x^+]$ ， $h$ 在 $[n_h^-,n_h^+]$ ，则
$y[n]\ne0,\quad n_x^-+n_h^-\le n\le n_x^++n_h^+.$
用定义逐项算：
$y[n]=\sum_k x[k]h[n-k].$
用长度检查：
$L_y=L_x+L_h-1.$

⚠️ 注意：卷积可以交换， $x*h=h*x$ 。手算时选择更短的序列翻转会省事。

套路 2：判断离散正弦是否周期

输入： $x[n]=A\cos(\omega_0n+\phi)$ 或 $e^{j\omega_0n}$ 。
输出： 是否周期，若周期则给最小正周期。
对应真题/复习题： 时域基础题、采样后频率判断。

写周期条件：
$x[n+N]=x[n].$
对复指数或正弦，要求
$\omega_0N=2\pi r,$
其中 $N,r$ 为整数。
等价判断：
$\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{r}{N}$
必须是有理数。
找最小正整数 $N$ 。

例： $\cos(0.25\pi n)$ ， $\omega_0/(2\pi)=0.25\pi/(2\pi)=1/8$ ，周期 $N=8$ 。

反例： $\cos(0.5n)$ ， $0.5/(2\pi)=1/(4\pi)$ 不是有理数，因此不是周期序列。

套路 3：调制 / 乘正弦余弦后的频率分量

输入： 两个正弦或余弦相乘。
输出： 变成哪些频率分量。
对应真题/复习题： 采样单频、频谱搬移、2025 Q1 的 $(-1)^n$ 思路。

常用恒等式：

\cos A\cos B=\frac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)].

\sin A\cos B=\frac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)].

\sin A\sin B=\frac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)].

做题步骤：

把题目里的乘积写成 $A$ 、 $B$ 。
用积化和差展开。
把得到的频率化到 $[-\pi,\pi]$ 或 $[0,2\pi)$ 。
若出现 $\omega+2\pi r$ ，说明离散域等效。

⚠️ 注意： $(-1)^n=e^{j\pi n}$ ，乘以 $(-1)^n$ 等价于频谱平移 $\pi$ 。这在 ch3/ch5 会反复出现。

套路 4：线性卷积、圆周卷积、DFT 卷积的关系

输入： 题目问 circular convolution 或用 DFT 做 convolution。
输出： 判断是否需要补零，写出正确长度。
对应真题/复习题： ch5 DFT 线性卷积、Overlap-add / Overlap-save。

线性卷积长度：
$L=L_x+L_h-1.$
若做 $N$ 点圆周卷积：
- 如果 $N\ge L$ ，圆周卷积等于线性卷积补零后的前 $N$ 点；
- 如果 $N<L$ ，线性卷积尾部会绕回开头，产生 time aliasing。
用 DFT 算线性卷积时，至少补零到 $N\ge L$ ：
$y[n]=\operatorname{IDFT}_N\{X[k]H[k]\}.$

⚠️ 注意：考试里“DFT convolution”默认是圆周卷积；要得到线性卷积必须主动说明补零。

4. 典型题精讲

例题 1：诊断题卷积

题目： 计算 $[1,2,1]*[1,-1]$ 。

解答： 设 $x=[1,2,1]$ ， $h=[1,-1]$ ，都从 $n=0$ 开始。结果长度为

3+2-1=4.

逐项算：

y[0]=1\cdot1=1.

y[1]=1\cdot(-1)+2\cdot1=1.

y[2]=2\cdot(-1)+1\cdot1=-1.

y[3]=1\cdot(-1)=-1.

答案：

y[n]=[1,1,-1,-1].

易错提醒： 不要把结果写成 3 点。两个有限长序列卷积后长度会增加。

例题 2：判断周期

题目： 判断 $x[n]=\cos(0.3\pi n)$ 是否周期。若周期，求基波周期。

解答：

\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{0.3\pi}{2\pi}=0.15=\frac{3}{20}.

这是有理数，所以周期存在。要求

\omega_0N=2\pi r.

即

0.3\pi N=2\pi r \Rightarrow 3N=20r.

最小正整数解为 $N=20$ ， $r=3$ 。

答案： 周期序列，基波周期 $N=20$ 。

例题 3：普通移位与循环移位

题目： $x[n]=[1,2,3,4]$ ， $N=4$ 。分别求普通右移 1 位和 4 点循环右移 1 位。

解答：

普通右移 1 位：

y[n]=x[n-1].

若只看 $n=0,1,2,3$ ，并默认边界外为 0，则

y=[0,1,2,3].

4 点循环右移 1 位：

y[n]=x[\langle n-1\rangle_4].

于是

y[0]=x[3]=4,

y[1]=x[0]=1,

y[2]=x[1]=2,

y[3]=x[2]=3.

答案： 普通右移为 $[0,1,2,3]$ ；循环右移为 $[4,1,2,3]$ 。

易错提醒： DFT 里的移位通常是循环移位，不是普通补零移位。

例题 4：三角恒等式用于调制

题目： 化简 $x[n]=\cos(0.2\pi n)\cos(0.5\pi n)$ ，说明有哪些频率分量。

解答： 用

\cos A\cos B=\frac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)].

令 $A=0.2\pi n$ ， $B=0.5\pi n$ ：

x[n]=\frac12\cos(-0.3\pi n)+\frac12\cos(0.7\pi n).

因为余弦是偶函数， $\cos(-0.3\pi n)=\cos(0.3\pi n)$ ，所以

x[n]=\frac12\cos(0.3\pi n)+\frac12\cos(0.7\pi n).

答案： 频率分量为 $0.3\pi$ 和 $0.7\pi$ 。

5. 易错点表

❌ 错误做法	✅ 正确做法	来源
认为 $x[n]$ 在非整数 $n$ 也有值	离散时间序列只在整数索引定义	基础概念
把 $u[n]$ 和 $\delta[n]$ 混淆	$u[n]$ 是阶跃， $\delta[n]$ 是单点脉冲	ch2/ch6
线性卷积长度写成 $L_x+L_h$	正确为 $L_x+L_h-1$	卷积题
循环卷积不取模	索引用 $\langle\cdot\rangle_N$	ch5
DFT 做线性卷积时不补零	至少补到 $L_x+L_h-1$	ch5
判断周期只看 $2\pi/\omega_0$ 数值大小	要判断 $\omega_0/(2\pi)$ 是否有理	周期题
调制题不会展开乘积	用积化和差公式	采样/调制
把 $(-1)^n$ 当成普通符号变化	$(-1)^n=e^{j\pi n}$ ，频域平移 $\pi$	2025 Q1

6. 本章 90 分检查清单

能正确写出 $\delta[n]$ 、 $u[n]$ 和脉冲展开公式。
能区分普通移位和循环移位。
能手算两个短序列的线性卷积，并用长度检查。
能写出圆周卷积定义，并知道 DFT 乘法对应圆周卷积。
能判断离散正弦是否周期。
能使用三角恒等式做调制/乘积展开。
能解释为什么用 DFT 算线性卷积必须补零。

7. 自测题与答案

题目

$x[n]=[2,0,1]$ ， $h[n]=[1,1]$ ，求 $x*h$ 。
$\langle -3\rangle_8$ 和 $\langle 10\rangle_8$ 分别是多少？
判断 $\cos(\pi n/6)$ 是否周期，若周期求基波周期。
判断 $\cos(0.4 n)$ 是否周期。
写出 $\cos A\cos B$ 的积化和差公式。
若 $x[n]$ 长 5， $h[n]$ 长 7，用 DFT 算线性卷积至少要几点 DFT？
$x[n]=[1,2,3,4]$ 的 4 点循环反转是什么？
为什么 $(-1)^n$ 等价于频谱平移 $\pi$ ？

答案

结果长度 $3+2-1=4$ ：
$y=[2,2,1,1].$
$\langle -3\rangle_8=5$ ， $\langle10\rangle_8=2$ 。
$\omega_0=\pi/6$ ， $\omega_0/(2\pi)=1/12$ ，周期存在，基波周期 $N=12$ 。
$0.4/(2\pi)=1/(5\pi)$ 不是有理数，所以不是周期序列。

\cos A\cos B=\frac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)].

至少
$5+7-1=11$
点 DFT。
循环反转 $y[n]=x[\langle -n\rangle_4]$ ，所以
$y=[x[0],x[3],x[2],x[1]]=[1,4,3,2].$
因为
$(-1)^n=e^{j\pi n}.$
时域乘复指数 $e^{j\omega_0n}$ 会让频谱整体平移 $\omega_0$ ，所以乘 $(-1)^n$ 等价于平移 $\pi$ 。

8. 学习路线

先把 $x[n]$ 、 $\delta[n]$ 、 $u[n]$ 的定义分清。
用 3–5 个短序列练线性卷积，必须每次用长度公式检查。
再学循环移位和圆周卷积，为第5章 DFT 做准备。
最后补三角恒等式和周期判断。它们看起来像数学小工具，但采样、调制、频谱搬移题会频繁用到。

9. 和后续章节的关系

第3章会把时域序列搬到 DTFT 频域，并讨论采样和混叠。
第4章会把卷积解释成 LTI 系统输出。
第5章会把循环移位、圆周卷积和 DFT 性质连接起来。

本章不要追求复杂推导，重点是把“序列怎么动、怎么卷、怎么判周期”练熟。后面所有大题都会默认这些技能已经会了。

第2章 时域序列与卷积