第4章 系统性质、LTI 与系统辨识

📌 考试定位：本章支撑 2025 Q2 级联系统、2025 Q3 输入输出谱辨识，也支撑所有“判断系统性质”的基础题。考试要求不是凭直觉说“看起来线性”，而是要按定义证明。

0. 先用一句话抓住本章

离散时间系统就是把输入序列 $x[n]$ 变成输出序列 $y[n]$ 的规则；本章要解决的是：这个系统有什么性质、如果它是 LTI 怎么求输出、多个系统串并联怎么合并、能不能从输入输出反推系统。

题干出现这些关键词就翻本章：

• linear / time-invariant / causal / stable；
• impulse response、step response、convolution sum；
• LTI system、frequency response、steady-state response；
• cascade connection、parallel connection、overall response；
• input spectrum / output spectrum、identify $H(e^{j\omega})$、test signal。

最常见错误：系统性质只凭直觉判断，不按定义；系统辨识时直接写 $H=Y/X$，却忘记 $X(e^{j\omega})=0$ 的频率无法确定。

1. 30 秒公式速查

编号	公式 / 结论	名称	看到什么题干就用
4.1	$T\{ax_1[n]+bx_2[n]\}=aT\{x_1[n]\}+bT\{x_2[n]\}$	线性定义	判断 linear
4.2	若 $x[n]\to y[n]$，则 $x[n-n_0]\to y[n-n_0]$	时不变定义	判断 time-invariant
4.3	$y[n_0]$ 不依赖 $x[n]$ for $n>n_0$	因果定义	判断 causal
4.4	有界输入必有有界输出	BIBO 稳定定义	判断 stable
4.5	LTI 稳定：$\sum_n	h[n]	<\infty$
4.6	LTI 因果：$h[n]=0,n<0$	LTI 因果条件	已知 impulse response
4.7	$y[n]=x[n]*h[n]=\sum_kx[k]h[n-k]$	卷积输出	LTI 时域输出
4.8	$Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})$	频域输入输出	LTI 频域输出
4.9	$H(e^{j\omega})=\sum_nh[n]e^{-j\omega n}$	频率响应	由 $h[n]$ 求系统响应
4.10	级联：$H=H_1H_2$，$h=h_1*h_2$	cascade	多系统串联
4.11	并联：$H=H_1+H_2$，$h=h_1+h_2$	parallel	多系统并联
4.12	$H(e^{j\omega})=Y(e^{j\omega})/X(e^{j\omega})$	系统辨识	输入输出谱已知且 $X\ne0$
4.13	$e^{j\omega n}\to H(e^{j\omega})e^{j\omega n}$	特征函数	正弦/复指数稳态响应
4.14	$\tau_g=-d\theta/d\omega$	群延迟	线性相位/波形失真

2. 5 分钟直觉

2.1 系统性质必须按定义证明

考试里判断系统性质，不能只写“因为有平方所以非线性”或“因为有 $n$ 所以时变”。这些直觉通常对，但得分点在定义。

比如判断线性，要做三步：

1. 假设 $x_1[n]\to y_1[n]$，$x_2[n]\to y_2[n]$；
2. 构造 $x[n]=ax_1[n]+bx_2[n]$；
3. 算系统输出，看是否等于 $ay_1[n]+by_2[n]$。

判断时不变也类似：

1. 原输入 $x_1[n]\to y_1[n]$；
2. 延迟输入 $x_2[n]=x_1[n-n_0]$；
3. 算新输出 $y_2[n]$，比较它和 $y_1[n-n_0]$ 是否相等。

这就是“按定义证明”。

2.2 LTI 为什么只靠 $h[n]$ 就能描述

任意序列都可以写成脉冲叠加：

$$x[n]=\sum_kx[k]\delta[n-k].$$

如果系统是 LTI，那么 $\delta[n]$ 的响应是 $h[n]$，$\delta[n-k]$ 的响应就是 $h[n-k]$。再乘权重 $x[k]$ 并相加，就得到

$$y[n]=\sum_kx[k]h[n-k].$$

所以 LTI 系统只要知道 $h[n]$，就知道对任意输入的输出。非 LTI 系统不能这么做。

2.3 级联系统：从“最长 impulse response”理解 FIR/IIR

若两个 LTI 系统串联：

$$H(e^{j\omega})=H_1(e^{j\omega})H_2(e^{j\omega}),$$ $$h[n]=h_1[n]*h_2[n].$$

如果任何一级是 IIR，并且没有特殊抵消，整体冲激响应通常也是无限长；如果所有级都是 FIR，整体仍是 FIR，长度大致按卷积长度增加：

$$L=L_1+L_2-1.$$

2025 的级联系统题就喜欢问：整体频率响应怎么写？哪个子系统造成最长 impulse response？答案通常要看有没有反馈 / IIR 极点。

2.4 系统辨识的边界：$H=Y/X$ 不是万能的

如果已知输入输出频谱，LTI 系统满足

$$Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega}).$$

当 $X(e^{j\omega})\ne0$ 时，可以求

$$H(e^{j\omega})=\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}.$$

但如果某些频率上 $X(e^{j\omega})=0$，输出也一定没有输入激发出的该频率信息。此时这些频率上的 $H$ 无法唯一确定。系统可能在这些频率上是 0、10 或任意相位，单凭这次实验都看不出来。

所以 test signal 的选择很重要：

• $\delta[n]$ 激发所有频率，输出直接是 $h[n]$；
• 单个复指数 $e^{j\omega_0n}$ 只能测一个频点；
• 单个余弦只能测 $\pm\omega_0$ 两个频点；
• 白噪声/宽带信号能覆盖更多频率，但考试一般用 $\delta[n]$ 作为最清楚答案。

3. 做题套路

套路 1：判断线性

输入： 系统规则 $T\{x[n]\}$。
输出： 是否线性，并给定义证明。
对应真题/复习题： 系统性质基础题、2025 Q2。

1. 写：设 $x_1[n]\to y_1[n]$，$x_2[n]\to y_2[n]$。
2. 令 $x[n]=ax_1[n]+bx_2[n]$。
3. 代入系统规则，得到 $y[n]$。
4. 比较是否等于 $ay_1[n]+by_2[n]$。
5. 若不等，给一个反例即可。

常见结论：

• $y[n]=x[n]+x[n-1]$ 线性；
• $y[n]=x^2[n]$ 非线性；
• $y[n]=x[n]+1$ 非线性；
• $y[n]=nx[n]$ 线性但时变。

套路 2：判断时不变

输入： 系统规则。
输出： 是否 time-invariant。
对应真题/复习题： 系统性质证明。

1. 原输入 $x_1[n]\to y_1[n]$。
2. 延迟输入 $x_2[n]=x_1[n-n_0]$。
3. 求 $x_2$ 经过系统的输出 $y_2[n]$。
4. 计算 $y_1[n-n_0]$。
5. 比较 $y_2[n]$ 和 $y_1[n-n_0]$。

快速直觉： 系统公式里显式出现 $n$，通常时变；但考试答案仍要写对比。

套路 3：判断因果和稳定

输入： 系统规则或 LTI 的 $h[n]$。
输出： causal / stable。
对应真题/复习题： 系统性质题。

因果性：看 $y[n_0]$ 是否需要未来输入 $x[n]$，$n>n_0$。

• $y[n]=x[n]+x[n-1]$ 因果；
• $y[n]=x[n+1]$ 非因果。

若已知 LTI 的 $h[n]$，直接用：

$$h[n]=0,n<0\quad \Longleftrightarrow \quad \text{因果}.$$

稳定性：一般系统用 BIBO 定义；LTI 用绝对可和：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty.$$

套路 4：级联系统整体响应

输入： 多个 LTI 系统串联或并联，给 $h_i[n]$ 或 $H_i(e^{j\omega})$。
输出： 总 $H$、总 $h$、FIR/IIR 类型或最长 impulse response。
对应真题： 2025 Q2。

串联：

$$H=H_1H_2\cdots H_K,$$ $$h=h_1*h_2*\cdots*h_K.$$

并联：

$$H=H_1+H_2+\cdots+H_K,$$ $$h=h_1+h_2+\cdots+h_K.$$

判断长度：

• FIR 串 FIR → FIR，长度卷积相加减 1；
• IIR 参与串联 → 通常整体 IIR；
• 若题目给零极点抵消，要单独检查是否真的抵消且 ROC/稳定性允许。

套路 5：输入输出谱辨识

输入： 已知 $X(e^{j\omega})$ 和 $Y(e^{j\omega})$，假设系统 LTI。
输出： 可确定的 $H(e^{j\omega})$ 区域，不可确定区域，test signal 选择。
对应真题： 2025 Q3。

1. 写 LTI 关系：

   $$Y=HX.$$

2. 在 $X\ne0$ 的频率上：

   $$H=Y/X.$$

3. 在 $X=0$ 的频率上：

   • 若 $Y\ne0$，说明假设不一致或存在外加输出/非 LTI/噪声；
   • 若 $Y=0$，$H$ 仍不可唯一确定。

4. 若问如何设计 test signal：

   • 最直接用 $x[n]=\delta[n]$，输出就是 $h[n]$；
   • 若只关心某个频点，用 $e^{j\omega_0n}$；
   • 若要全频响应，不要只用单个正弦。

⚠️ 注意：$H=Y/X$ 的相位也只在 $X\ne0$ 的频率可确定。不要只讨论幅度。

关于 test signal 选择的补充： 考试常问”哪种信号能完整辨识系统”，需要按频谱覆盖范围判断：

• $\delta[n]$：频谱在所有 $\omega$ 上恒为 1，唯一能一次性覆盖全频的信号，输出直接就是 $h[n]$；
• 单频复指数 $e^{j\omega_0n}$：只在一个频点 $\omega_0$ 有非零频谱；
• 单频余弦 $\cos(\omega_0n)$：只在 $\pm\omega_0$ 两个频点有非零频谱；
• sinc 型信号如 $\frac{\sin(\pi n/5)}{\pi n/5}$：覆盖多个频带，但在频域是矩形窗，窗外频率仍然为零，不能算”全频覆盖”；
• 白噪声：功率谱平坦，能覆盖全频，但输出是统计量而非确定性 $h[n]$，考试较少考。

考试答 test signal 题时，关键判断标准是输入频谱 $X(e^{j\omega})$ 是否在所有频率上都非零。

4. 典型题精讲

例题 1：线性但时变

题目： 判断 $y[n]=nx[n]$ 是否线性、时不变。

解答：

线性：设 $x_1\to y_1=nx_1[n]$，$x_2\to y_2=nx_2[n]$。对 $x=ax_1+bx_2$，

$$y[n]=n(ax_1[n]+bx_2[n])=a nx_1[n]+b nx_2[n]=ay_1[n]+by_2[n].$$

所以线性。

时不变：原输入 $x_1[n]\to y_1[n]=nx_1[n]$。延迟输入 $x_2[n]=x_1[n-n_0]$，系统输出为

$$y_2[n]=n x_1[n-n_0].$$

而原输出延迟为

$$y_1[n-n_0]=(n-n_0)x_1[n-n_0].$$

一般 $n\ne n-n_0$，所以二者不等。系统时变。

答案： 线性但时变。

易错提醒： 显式出现 $n$ 不代表非线性；这里乘 $n$ 仍然满足叠加。

例题 2：LTI 稳定性

题目： LTI 系统 $h[n]=(0.8)^nu[n]$ 是否稳定？

解答：

检查绝对可和：

$$\sum_n|h[n]|=\sum_{n=0}^{\infty}(0.8)^n=\frac1{1-0.8}=5<\infty.$$

答案： BIBO 稳定。

易错提醒： 若 $h[n]=(1.2)^nu[n]$，级数发散，不稳定。

例题 3：级联系统长度

题目： 两个 FIR 系统级联，$h_1[n]$ 长度 4，$h_2[n]$ 长度 5。整体是否 FIR？长度是多少？

解答：

级联系统的总冲激响应：

$$h[n]=h_1[n]*h_2[n].$$

两个有限长序列卷积仍有限长，长度为

$$4+5-1=8.$$

答案： 整体是 FIR，长度 8。

例题 4：级联中含 IIR

题目： 系统 $H_1(z)=1+z^{-1}$ 与 $H_2(z)=1/(1-0.5z^{-1})$ 级联。整体是 FIR 还是 IIR？

解答：

整体系统函数：

$$H(z)=H_1(z)H_2(z)=\frac{1+z^{-1}}{1-0.5z^{-1}}.$$

分母仍有极点 $z=0.5$，通常对应无限长冲激响应。

答案： 整体是 IIR。

易错提醒： 串联一个 FIR 不会自动把 IIR 变成 FIR，除非分子刚好把分母极点完全抵消，并且题目允许这种抵消。

例题 5：输入输出谱辨识

题目： 某 LTI 系统输入 $X(e^{j\omega})$ 只在 $|\omega|<0.4\pi$ 非零。实验测得输出 $Y(e^{j\omega})$。能否由这次实验确定所有 $\omega\in[-\pi,\pi]$ 上的 $H(e^{j\omega})$？

解答：

LTI 系统满足

$$Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega}).$$

在 $|\omega|<0.4\pi$ 内，若 $X\ne0$，可以求

$$H(e^{j\omega})=\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}.$$

但在 $|\omega|\ge0.4\pi$ 的频率上，输入没有激发这些频率，即 $X=0$。即使 $Y=0$，也只能说明这次实验没有输出这些频率，不能说明系统在这些频率的增益一定为 0。

答案： 只能确定 $X\ne0$ 的频率范围内的 $H$；不能确定未激发频率上的 $H$。

易错提醒： $X=0$ 时不能除。写 $H=Y/X$ 前必须声明 $X(e^{j\omega})\ne0$。

例题 6：选择 test signal

题目： 如果希望完整测得一个未知 LTI 系统的冲激响应，应该输入单频正弦还是 $\delta[n]$？为什么？

解答：

输入 $\delta[n]$ 时，LTI 系统输出就是

$$h[n].$$

因此可以直接得到完整冲激响应。输入单频正弦或复指数只能测系统在该频率处的响应 $H(e^{j\omega_0})$，无法确定其他频率。

答案： 选 $\delta[n]$。单频信号只能测一个或两个频点，不足以确定完整系统。

易错提醒： 类似地，sinc 型信号如 $\frac{\sin(\pi n/5)}{\pi n/5}$ 虽然覆盖多个频带，但也不是全频覆盖——它在某些频率上频谱为零，仍然无法确定这些频率处的 $H(e^{j\omega})$。而 $\delta[n]$ 在所有频率上频谱恒为 1，是唯一能一次性激发全部频率的信号。

例题 7：含 IIR 子系统的级联系统（2025 Q2 型）

题目： 一个因果 LTI 系统由 3 个子系统级联组成：

• $h_1[n]=\delta[n]+2\delta[n-1]$
• 第二个子系统：$y[n]=x[n]-x[n-1]$（FIR）
• 第三个子系统：$y[n]=0.5y[n-1]+x[n]$（含反馈的 IIR）

(1) 求第三个子系统的冲激响应 $h_3[n]$。 (2) 哪个子系统的冲激响应最长？为什么？ (3) 求整体频率响应 $H(e^{j\omega})$。

解答：

(1) 求 $h_3[n]$：

第三个子系统的差分方程为

$$y[n]=0.5y[n-1]+x[n].$$

这是一个一阶 IIR 系统，因果条件下冲激响应为

$$h_3[n]=(0.5)^nu[n].$$

推导过程：令 $x[n]=\delta[n]$，则 $y[0]=0.5\times0+1=1$，$y[1]=0.5\times1=0.5$，$y[2]=0.5\times0.5=0.25$，……归纳得 $h_3[n]=(0.5)^n$，$n\ge0$。

(2) 最长冲激响应：

• $h_1[n]$：长度 2（FIR，只有 $n=0,1$ 两处非零）；
• 第二个子系统 $h_2[n]=\delta[n]-\delta[n-1]$：长度 2（FIR）；
• $h_3[n]=(0.5)^nu[n]$：无限长（IIR）。

第三个子系统的冲激响应最长，因为它是 IIR——反馈环路使输出永远不截断，冲激响应无限延伸。 整体系统也因此是 IIR。

(3) 整体频率响应：

分别求各子系统频率响应：

$$H_1(e^{j\omega})=1+2e^{-j\omega},$$ $$H_2(e^{j\omega})=1-e^{-j\omega},$$ $$H_3(e^{j\omega})=\frac{1}{1-0.5e^{-j\omega}}.$$

级联 LTI 系统的总频率响应等于各子系统频率响应相乘：

$$H(e^{j\omega})=H_1(e^{j\omega})\cdot H_2(e^{j\omega})\cdot H_3(e^{j\omega})=\frac{(1+2e^{-j\omega})(1-e^{-j\omega})}{1-0.5e^{-j\omega}}.$$

易错提醒：

• 第二个子系统题目给的是差分方程 $y[n]=x[n]-x[n-1]$，要先转成 $h_2[n]=\delta[n]-\delta[n-1]$，再求 $H_2(e^{j\omega})$。不要直接把差分方程当频率响应写。
• 判断”最长冲激响应”时，不能只看子系统个数或参数大小。关键看有没有反馈（分母）：FIR 无论参数多大都是有限长，IIR 只要有反馈且极点不在原点就无限长。
• 写整体 $H(e^{j\omega})$ 时，分式上下都保留 $e^{-j\omega}$ 的多项式形式即可，不需要化成数值或展开成部分分式，除非题目明确要求。

5. 易错点表

❌ 错误做法	✅ 正确做法	来源
判断线性只写一句“有平方所以非线性”	用 $ax_1+bx_2$ 按定义验证	系统性质题
判断时不变只看公式有没有 $n$	比较 $y_2[n]$ 和 $y_1[n-n_0]$	系统性质题
因果性只看有没有负下标	看 $y[n_0]$ 是否依赖 $x[n]$ for $n>n_0$	因果题
稳定性说“极点在单位圆内”但题目还没到 Z 域	ch4 用 BIBO 定义或 $\sum	h[n]
级联时把 $H$ 相加	级联 $H$ 相乘；并联 $H$ 相加	2025 Q2
级联 FIR 长度直接相加	长度为 $L_1+L_2-1$	级联系统
系统辨识直接写 $H=Y/X$	必须说明只在 $X\ne0$ 区域成立	2025 Q3
用单个正弦测完整系统	单频只能测一个/两个频点；$\delta[n]$ 可测 $h[n]$	2025 Q3

6. 本章 90 分检查清单

• 能按定义证明线性、时不变、因果、稳定。
• 能用 $h[n]$ 判断 LTI 系统因果和稳定。
• 能用卷积求 LTI 输出，并用长度公式检查。
• 能写出 $Y=HX$ 的频域输入输出关系。
• 能求级联和并联系统的整体 $H$ 与 $h$。
• 能判断级联系统整体 FIR/IIR 类型和冲激响应长度。
• 能说明 $H=Y/X$ 的可确定区域和不可确定区域。
• 能选择合适 test signal 来辨识系统。

7. 自测题与答案

题目

1. 判断 $y[n]=x[n]+2$ 是否线性。
2. 判断 $y[n]=x[n-1]+x[n]$ 是否时不变。
3. 判断 $y[n]=x[n+2]$ 是否因果。
4. LTI 系统 $h[n]=(0.5)^nu[n]$ 是否因果、稳定？
5. 两个 FIR 长度分别为 3 和 6，级联后长度是多少？
6. 级联系统 $H_1(e^{j\omega})$、$H_2(e^{j\omega})$ 的总响应是什么？
7. 并联系统 $H_1(e^{j\omega})$、$H_2(e^{j\omega})$ 的总响应是什么？
8. 已知某频率上 $X(e^{j\omega_0})=0$、$Y(e^{j\omega_0})=0$，能否确定 $H(e^{j\omega_0})$？
9. 输入 $e^{j\omega_0n}$ 到 LTI 系统，输出形式是什么？
10. 为什么 $\delta[n]$ 是系统辨识中最直接的测试信号？

答案

1. 非线性。零输入 $x[n]=0$ 时输出为 2，不满足线性系统零输入零输出；也不满足叠加原理。

2. 时不变。若输入延迟 $n_0$，输出为 $x[n-n_0-1]+x[n-n_0]$，等于原输出 $y[n-n_0]$。

3. 非因果。$y[n]$ 依赖未来输入 $x[n+2]$。

4. 因果，因为 $h[n]=0$ for $n<0$。稳定，因为

   $$\sum_{n=0}^{\infty}(0.5)^n=2<\infty.$$

5. 长度 $3+6-1=8$。

6. 级联总响应：

   $$H=H_1H_2.$$

7. 并联总响应：

   $$H=H_1+H_2.$$

8. 不能。因为 $Y=HX$ 在该频率变成 $0=H\cdot0$，任意 $H$ 都满足，无法唯一确定。

$$y[n]=H(e^{j\omega_0})e^{j\omega_0n}.$$

频率不变，只改变幅度和相位。

10. 对 LTI 系统，输入 $\delta[n]$ 的输出就是 $h[n]$。知道 $h[n]$ 就能通过卷积或频率响应描述完整系统。

8. 学习路线

1. 先背四个性质的定义：线性、时不变、因果、稳定。
2. 每个性质至少做两道证明题，训练按定义写步骤。
3. 再学 LTI 的卷积输出和频率响应。
4. 接着学级联/并联，这直接服务 2025 综合题。
5. 最后学系统辨识，重点记住 $H=Y/X$ 的边界：只在 $X\ne0$ 的频率可确定。

9. 和后续章节的关系

• 第5章 会把频域从连续的 DTFT 采样成 DFT 点。
• 第6章 会用 Z 变换进一步处理差分方程、极点、ROC 和稳定性。
• 第8章 会把系统函数画成直接型、级联型和并联型结构。

本章是系统题的入口：只要题目在问“这个系统是什么性质、多个系统怎么连、能不能从输入输出看出系统”，优先回到本章。