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课程笔记

第6章 Z 变换与系统函数

Z 变换、ROC、零极点、差分方程、系统函数、冲激响应、因果稳定和 Direct Form II 入口。

2026年6月26日 · 8 分钟阅读 · 数字信号处理

第6章 Z 变换与系统函数

📌 考试定位：本章对应 2023 Q1、2024 Q2、2025 Q4。核心能力是从差分方程、H(z)H(z)、零极点图、ROC、h[n]h[n] 和结构图之间互相转换。

0. 先用一句话抓住本章

Z 变换把序列和 LTI 系统放到 zz 平面里分析；考试真正考的是：同一个分式配不同 ROC 会对应不同序列，而系统函数 H(z)H(z) 的极点、零点和 ROC 决定因果性、稳定性、频率响应和实现结构。

题干出现这些关键词就翻本章：

  • Z-transform、ROC、inverse Z-transform；
  • pole-zero plot、unit circle、causal、stable；
  • difference equation、system function、impulse response；
  • H(ejω)=H(z)∣z=ejωH(e^{j\omega})=H(z)|_{z=e^{j\omega}}；
  • Direct Form II / canonical structure（结构细节见 第8章）。

最常见错误：只写 X(z)X(z) 不写 ROC；把“极点在单位圆内”当成所有稳定条件，却忘记它需要因果前提；从差分方程写 H(z)H(z) 时反馈项符号写反。

1. 30 秒公式速查

编号公式 / 结论名称看到什么题干就用
6.1X(z)=∑n=−∞∞x[n]z−nX(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}双边 Z 变换ZT 定义
6.2$a^nu[n]\leftrightarrow \frac1{1-az^{-1}},z>
6.3$-a^nu[-n-1]\leftrightarrow \frac1{1-az^{-1}},z<
6.4右边序列 ROC 在最外极点外ROC 规则因果系统
6.5左边序列 ROC 在最内极点内ROC 规则反因果序列
6.6双边序列 ROC 是极点之间的圆环ROC 规则双边序列
6.7DTFT 存在 iff ROC 包含单位圆单位圆条件频率响应是否存在
6.8因果 LTI：ROC 在最外极点外因果条件由 H(z)H(z) 判断因果
6.9BIBO 稳定：ROC 包含 $z=1$
6.10因果且稳定有理系统：所有极点在单位圆内常用结论题目已给因果
6.11H(z)=Y(z)/X(z)H(z)=Y(z)/X(z)系统函数差分方程到 H(z)H(z)
6.12$H(e^{j\omega})=H(z)_{z=e^{j\omega}}$频率响应
6.13x[n]∗h[n]↔X(z)H(z)x[n]*h[n]\leftrightarrow X(z)H(z)卷积性质时域卷积到 Z 域乘法
6.14延时 x[n−k]↔z−kX(z)x[n-k]\leftrightarrow z^{-k}X(z)延时性质差分方程写 H(z)H(z)

2. 5 分钟直觉

2.1 Z 变换为什么比 DTFT 多一个 ROC

DTFT 只看单位圆 z=ejωz=e^{j\omega}。Z 变换把频率点扩展到整个复平面：

z=rejω.z=re^{j\omega}.

于是

z−n=r−ne−jωn.z^{-n}=r^{-n}e^{-j\omega n}.

这里的 r−nr^{-n} 会改变级数收敛性。某些序列在单位圆不收敛，但在别的半径上收敛。因此 Z 变换必须写“哪里收敛”，这就是 ROC。

同一个代数分式如果 ROC 不同，时域序列可能完全不同：

11−az−1\frac1{1-az^{-1}}

配 ∣z∣>∣a∣|z|>|a| 是 anu[n]a^nu[n]；配 ∣z∣<∣a∣|z|<|a| 是 −anu[−n−1]-a^nu[-n-1]。

2.2 极点决定 ROC，零点决定频率凹陷

有理 Z 变换中，分母为零的位置是极点，函数在那里发散，所以 ROC 不可能包含极点。ROC 的边界由极点半径决定。

零点不决定 ROC，但它影响频率响应。单位圆上的点 ejωe^{j\omega} 如果靠近某个零点，∣H(ejω)∣|H(e^{j\omega})| 会变小；如果靠近某个极点，∣H(ejω)∣|H(e^{j\omega})| 会变大。

2.3 因果稳定不要背错条件

稳定的根本条件是：ROC 包含单位圆。

因果的根本条件是：ROC 在最外极点外。

只有当系统是 因果有理 LTI 系统 时，二者合起来才推出：所有极点必须严格在单位圆内。

所以考试答案要写清前提：

  • “因果且稳定，所以极点在单位圆内”是对的；
  • “稳定所以极点在单位圆内”不总是对，因为非因果稳定系统可以有极点在单位圆外，只要 ROC 包含单位圆。

3. 做题套路

套路 1：由差分方程求 H(z)H(z)

输入： 线性常系数差分方程。
输出： 系统函数 H(z)H(z)、零极点、可能的 ROC。
对应真题： 2023 Q1、2024 Q2、2025 Q4。

  1. 把所有 yy 项放左边，所有 xx 项放右边：

    ∑k=0Naky[n−k]=∑k=0Mbkx[n−k].\sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k].

  2. 零初始条件下做 Z 变换：

    y[n−k]↔z−kY(z),x[n−k]↔z−kX(z).y[n-k]\leftrightarrow z^{-k}Y(z),\quad x[n-k]\leftrightarrow z^{-k}X(z).

  3. 提出 Y(z)Y(z) 和 X(z)X(z)：

    (∑akz−k)Y(z)=(∑bkz−k)X(z).\left(\sum a_kz^{-k}\right)Y(z)=\left(\sum b_kz^{-k}\right)X(z).

  4. 写系统函数：

    H(z)=Y(z)X(z)=∑bkz−k∑akz−k.H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}.

  5. 若题目说 causal，ROC 在最外极点外；若题目说 stable，ROC 包含单位圆。

⚠️ 注意：如果差分方程写成 y[n]=0.7y[n−1]+x[n]y[n]=0.7y[n-1]+x[n]，先移项得 y[n]−0.7y[n−1]=x[n]y[n]-0.7y[n-1]=x[n]，所以分母是 1−0.7z−11-0.7z^{-1}。

套路 2：由 H(z)H(z) 判断因果稳定

输入： H(z)H(z) 的分式和极点。
输出： 因果性、稳定性、ROC。
对应真题： 2024 Q2、2025 Q4。

  1. 找所有极点半径。
  2. 若题目给 causal：ROC 在最外极点外。
  3. 判断单位圆是否在 ROC 中：若在，则稳定；若不在，则不稳定。
  4. 若题目要求“是否可能因果稳定”：检查所有极点是否在单位圆内。

例： 极点 0.50.5 和 1.21.2，若因果 ROC 为 ∣z∣>1.2|z|>1.2，单位圆不在 ROC，故不稳定。

套路 3：由 H(z)H(z) 求 h[n]h[n]

输入： 系统函数 H(z)H(z) 和 ROC / 因果性。
输出： 冲激响应 h[n]h[n]。
对应真题： 2023 Q1、2024 Q2。

  1. 把 H(z)H(z) 拆成标准项：

    A1−pz−1.\frac{A}{1-pz^{-1}}.

  2. 若 ROC 在 ∣z∣>∣p∣|z|>|p|，对应

    Apnu[n].Ap^nu[n].

  3. 若 ROC 在 ∣z∣<∣p∣|z|<|p|，对应

    −Apnu[−n−1].-Ap^nu[-n-1].

  4. 多个极点就部分分式逐项相加。

⚠️ 注意：没有 ROC 时，反 Z 变换不唯一。题目如果只说 “causal system”，就等价于告诉你取右边序列。

套路 4：表示互转总表

输入： 任一表示：差分方程、H(z)H(z)、零极点图、h[n]h[n]。
输出： 其他表示。
对应真题： 2024 Q2、2025 Q4 综合题。

已知转换方法检查点
差分方程Z 变换得 H(z)H(z)反馈项符号
H(z)H(z)分母根是极点，分子根是零点z−1z^{-1} 多项式可乘 zNz^N 转成 zz 多项式
H(z)H(z) + ROC部分分式求 h[n]h[n]ROC 决定左边/右边
H(z)H(z)令 z=ejωz=e^{j\omega} 得 H(ejω)H(e^{j\omega})单位圆必须在 ROC 中
H(z)H(z)画结构见 ch8DF-II 共用延时链

套路 5：2025 Direct Form II 入口

输入： H(z)H(z) 或差分方程。
输出： Direct Form II 结构参数。
对应真题： 2025 Q4。

本章只负责把系统函数整理成标准形式，具体画图见 第8章。

标准形式：

H(z)=b0+b1z−1+⋯+bMz−M1+a1z−1+⋯+aNz−N.H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_Mz^{-M}}{1+a_1z^{-1}+\cdots+a_Nz^{-N}}.

对应差分方程：

y[n]=∑k=0Mbkx[n−k]−∑k=1Naky[n−k].y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]-\sum_{k=1}^{N}a_ky[n-k].

Direct Form II 使用最少延时器，延时器数量通常为 max⁡(M,N)\max(M,N)。

4. 典型题精讲

例题 1：同一分式，不同 ROC

题目：

X(z)=11−0.8z−1.X(z)=\frac1{1-0.8z^{-1}}.

分别写出 ROC 为 ∣z∣>0.8|z|>0.8 和 ∣z∣<0.8|z|<0.8 的时域序列。

解答：

若 ∣z∣>0.8|z|>0.8，是右边序列：

x[n]=(0.8)nu[n].x[n]=(0.8)^nu[n].

若 ∣z∣<0.8|z|<0.8，是左边序列：

x[n]=−(0.8)nu[−n−1].x[n]=-(0.8)^nu[-n-1].

答案： 如上。

易错提醒： 只写 X(z)X(z) 不足以确定 x[n]x[n]。

例题 2：差分方程到 H(z)H(z)

题目： 已知

y[n]−0.6y[n−1]=x[n]+2x[n−1].y[n]-0.6y[n-1]=x[n]+2x[n-1].

求 H(z)H(z)。

解答：

Z 变换：

Y(z)−0.6z−1Y(z)=X(z)+2z−1X(z).Y(z)-0.6z^{-1}Y(z)=X(z)+2z^{-1}X(z).

提出：

(1−0.6z−1)Y(z)=(1+2z−1)X(z).(1-0.6z^{-1})Y(z)=(1+2z^{-1})X(z).

所以

H(z)=Y(z)X(z)=1+2z−11−0.6z−1.H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1+2z^{-1}}{1-0.6z^{-1}}.

答案： H(z)=1+2z−11−0.6z−1H(z)=\dfrac{1+2z^{-1}}{1-0.6z^{-1}}。

例题 3：因果稳定判断

题目： 因果系统极点在 z=0.5z=0.5 和 z=1.2z=1.2，是否稳定？

解答：

因果系统 ROC 在最外极点外：

∣z∣>1.2.|z|>1.2.

单位圆 ∣z∣=1|z|=1 不在 ROC 中，所以频率响应不收敛，系统不 BIBO 稳定。

答案： 不稳定。

例题 4：由 H(z)H(z) 求因果 h[n]h[n]

题目： 因果系统

H(z)=1(1−0.5z−1)(1−0.25z−1).H(z)=\frac{1}{(1-0.5z^{-1})(1-0.25z^{-1})}.

求 h[n]h[n]。

解答： 部分分式：

1(1−0.5z−1)(1−0.25z−1)=A1−0.5z−1+B1−0.25z−1.\frac{1}{(1-0.5z^{-1})(1-0.25z^{-1})} =\frac{A}{1-0.5z^{-1}}+\frac{B}{1-0.25z^{-1}}.

令 q=z−1q=z^{-1}。有

1=A(1−0.25q)+B(1−0.5q).1=A(1-0.25q)+B(1-0.5q).

比较系数：

A+B=1,A+B=1, 0.25A+0.5B=0.0.25A+0.5B=0.

解得 A=2A=2，B=−1B=-1。

因果 ROC 在最外极点外，所以：

h[n]=2(0.5)nu[n]−(0.25)nu[n].h[n]=2(0.5)^nu[n]-(0.25)^nu[n].

答案：

h[n]=[2(0.5)n−(0.25)n]u[n].h[n]=\left[2(0.5)^n-(0.25)^n\right]u[n].

例题 5：频率响应是否存在

题目： X(z)=1/(1−2z−1)X(z)=1/(1-2z^{-1})，ROC 为 ∣z∣>2|z|>2。它的 DTFT 是否存在？

解答： DTFT 存在要求单位圆 ∣z∣=1|z|=1 在 ROC 中。这里 ROC 是 ∣z∣>2|z|>2，不包含单位圆。

答案： DTFT 不存在。

易错提醒： 不能因为有代数表达式就直接令 z=ejωz=e^{j\omega}。

5. 易错点表

❌ 错误做法✅ 正确做法来源
Z 变换只写分式不写 ROCX(z)X(z) 必须配 ROC 才完整2024 Q2
认为零点决定 ROCROC 边界由极点决定ROC 判断
稳定直接说极点在单位圆内更完整：ROC 包含单位圆；因果稳定才推出极点在单位圆内稳定题
反 Z 变换不看 ROCROC 决定右边/左边/双边序列2023 Q1
差分方程反馈项符号写反先把 yy 项移到左边，再做 Z 变换2025 Q4
单位圆不在 ROC 还求 H(ejω)H(e^{j\omega})频率响应存在要求单位圆在 ROC 中频响题
Direct Form II 不先整理标准分母先化成 1+a1z−1+⋯1+a_1z^{-1}+\cdotsch8

6. 本章 90 分检查清单

  • 能写出 Z 变换定义和常用指数变换对。
  • 能解释为什么同一分式不同 ROC 对应不同序列。
  • 能根据右边/左边/双边序列判断 ROC。
  • 能根据 ROC 判断因果性、稳定性和频率响应是否存在。
  • 能从差分方程求 H(z)H(z)。
  • 能从 H(z)H(z) 找零点、极点并画极零图。
  • 能用部分分式求因果 h[n]h[n]。
  • 能把 H(z)H(z) 整理成 Direct Form II 的标准形式。

7. 自测题与答案

题目

  1. 写出双边 Z 变换定义。
  2. anu[n]a^nu[n] 的 Z 变换和 ROC 是什么？
  3. 为什么同一个 X(z)X(z) 不写 ROC 不完整？
  4. 因果系统极点在 0.20.2 和 0.70.7，是否稳定？
  5. 稳定系统的 ROC 必须满足什么条件？
  6. 差分方程 y[n]+0.3y[n−1]=x[n]−x[n−1]y[n]+0.3y[n-1]=x[n]-x[n-1] 的 H(z)H(z) 是什么？
  7. H(z)=1/(1−0.4z−1)H(z)=1/(1-0.4z^{-1}) 因果时的 h[n]h[n] 是什么？
  8. 什么条件下可以令 z=ejωz=e^{j\omega} 求频率响应？
  9. Direct Form II 为什么叫 canonical structure？
  10. 若 H(z)H(z) 的一个零点在单位圆上，对对应频率的幅度响应有什么影响？

答案

X(z)=∑n=−∞∞x[n]z−n.X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}.
anu[n]↔11−az−1,∣z∣>∣a∣.a^nu[n]\leftrightarrow \frac1{1-az^{-1}},\quad |z|>|a|.

  1. 因为同一分式配不同 ROC 会展开成不同方向的序列，例如右边序列或左边序列。

  2. 因果 ROC 在最外极点外，即 ∣z∣>0.7|z|>0.7，包含单位圆，所以稳定。

  3. ROC 必须包含单位圆 ∣z∣=1|z|=1。

(1+0.3z−1)Y(z)=(1−z−1)X(z),(1+0.3z^{-1})Y(z)=(1-z^{-1})X(z),

所以

H(z)=1−z−11+0.3z−1.H(z)=\frac{1-z^{-1}}{1+0.3z^{-1}}.
h[n]=(0.4)nu[n].h[n]=(0.4)^nu[n].

  1. 单位圆必须在 ROC 中，即频率响应/DTFT 存在。

  2. 因为 Direct Form II 共用前馈和反馈延时链，通常使用最少数量的延时器。

  3. 单位圆上对应角频率处，分子为零，幅度响应会降为 0，形成 notch / null。

8. 学习路线

  1. 先学 Z 变换定义和常用指数变换对。
  2. 重点练 ROC：右边、左边、双边三类要会画。
  3. 再学因果/稳定/频率响应存在的判断。
  4. 接着练差分方程 ↔H(z)\leftrightarrow H(z)。
  5. 最后练部分分式反 Z 变换和 Direct Form II 标准形式。

9. 和后续章节的关系

  • 第7章 会用零点位置讨论最小相位、最大相位和全通系统。
  • 第8章 会把本章的 H(z)H(z) 画成 DF-I、DF-II、级联和并联结构。
  • 第9章 的 IIR 设计最终也会得到一个稳定的 H(z)H(z)。