第9章 IIR 数字滤波器设计

📌 考试定位：本章对应 2023 Q4 的 IIR 双线性设计，也覆盖 2025 Q6 “任选 FIR/IIR 设计”。目标是会把数字指标变成模拟原型指标，完成 Butterworth 阶数估计和双线性变换步骤。

0. 先用一句话抓住本章

IIR 设计的主线是：把数字滤波器指标预畸变到模拟域，设计模拟低通原型，再用双线性变换映射回 $z$ 域。

题干出现这些关键词就翻本章：

• IIR filter design；
• Butterworth / Chebyshev / analog prototype；
• bilinear transform；
• prewarping / frequency warping；
• passband ripple、stopband attenuation；
• $\alpha_p$、$\alpha_s$、$\delta_p$、$\delta_s$；
• order of filter。

最常见错误：不做预畸变就直接用数字频率设计模拟原型；阶数算出小数后四舍五入而不是向上取整；把幅度 dB 换算用成 $10\log_{10}$。

1. 30 秒公式速查

编号	公式 / 结论	名称	看到什么题干就用
9.1	$\omega=2\pi f/F_s$	Hz 到数字频率	题目给 Hz/kHz
9.2	$\delta_s=10^{-\alpha_s/20}$	阻带 dB 到线性	stopband attenuation
9.3	$1-\delta_p=10^{-\alpha_p/20}$	通带衰减到线性下界	passband ripple
9.4	$\epsilon^2=10^{\alpha_p/10}-1$	Butterworth 通带参数	阶数公式
9.5	$A^2=10^{\alpha_s/10}$	Butterworth 阻带参数	阶数公式
9.6	$\Omega=\frac{2}{T}\tan(\omega/2)$	双线性预畸变	bilinear transform
9.7	归一化：$\Omega=\tan(\omega/2)$	归一化预畸变	题目省略 $T$
9.8	$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$	双线性变换	$H_a(s)\to H(z)$
9.9	$	H_a(j\Omega)	^2=\frac1{1+(\Omega/\Omega_c)^{2N}}$
9.10	$N\ge\frac{\log_{10}[(A^2-1)/\epsilon^2]}{2\log_{10}(\Omega_s/\Omega_p)}$	Butterworth 阶数	低通 IIR 设计
9.11	阶数必须向上取整	order selection	设计题
9.12	IIR 优点：低阶；缺点：相位非线性、稳定性需检查	FIR/IIR 选择	2025 Q6

2. 5 分钟直觉

2.1 为什么 IIR 设计常从模拟原型开始

模拟滤波器设计已经有成熟公式，尤其是 Butterworth、Chebyshev、Elliptic 这些原型。IIR 数字滤波器的经典思路是借用这些模拟原型：先在 $s$ 域设计一个稳定模拟滤波器，再通过映射变成 $z$ 域数字滤波器。

这样做的好处是：IIR 往往用较低阶数就能达到比较陡的幅度响应。代价是：相位通常不是线性的，且必须检查极点是否在单位圆内。

2.2 双线性变换为什么要预畸变

双线性变换

$$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

会把模拟 $j\Omega$ 轴一一映射到数字单位圆。它不会产生频谱混叠，而且能把模拟左半平面映到单位圆内，因此稳定性好。

但频率关系不是线性的：

$$\Omega=\frac{2}{T}\tan(\omega/2).$$

也就是说，数字频率刻度被弯曲了。如果你希望数字滤波器在 $\omega_p$ 处满足通带边缘，就必须先反算出模拟原型应当在

$$\Omega_p=\frac{2}{T}\tan(\omega_p/2)$$

处满足指标。这一步叫预畸变(prewarping)。

2.3 Butterworth 设计题在考什么

Butterworth 的特点是通带最大平坦。考试一般不要求你背所有极点表，而是考流程：

1. 频率换算；
2. 预畸变；
3. dB 指标换成 $\epsilon$ 和 $A$；
4. 用阶数公式求 $N$；
5. 选择截止频率 $\Omega_c$；
6. 写模拟原型或说明如何查表；
7. 用双线性变换得到 $H(z)$。

如果题目给的是低阶简单原型，比如一阶或二阶，则要能真的代入 $s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ 化简。

3. 做题套路

套路 1：IIR 双线性设计总流程

输入： 数字滤波器指标 $F_s$、$f_p/f_s$ 或 $\omega_p/\omega_s$、$\alpha_p/\alpha_s$。
输出： IIR 设计步骤、阶数、模拟原型和 $H(z)$。
对应真题： 2023 Q4、2025 Q6 可选。

1. 统一数字频率。 若题目给 Hz：

   $$\omega_p=2\pi f_p/F_s,$$ $$\omega_s=2\pi f_s/F_s.$$

   为避免符号冲突，本章用 $F_s$ 表示采样频率，$f_{st}$ 表示阻带边缘频率。

2. 预畸变到模拟频率。

   $$\Omega_p=\frac{2}{T}\tan(\omega_p/2),$$ $$\Omega_s=\frac{2}{T}\tan(\omega_s/2).$$

   若题目使用归一化双线性变换，则用 $\Omega=\tan(\omega/2)$。

3. dB 指标转换。

   $$\epsilon^2=10^{\alpha_p/10}-1,$$ $$A^2=10^{\alpha_s/10}.$$

4. Butterworth 阶数。

   $$N\ge\frac{\log_{10}[(A^2-1)/\epsilon^2]}{2\log_{10}(\Omega_s/\Omega_p)}.$$

   对结果向上取整。

5. 求截止频率。 常用通带边缘确定：

   $$\Omega_c=\frac{\Omega_p}{\epsilon^{1/N}}.$$

   也可用阻带边缘计算一个范围，按题目要求选择。

6. 写模拟 Butterworth 原型 $H_a(s)$。 若阶数较低，可查标准极点；若题目不要求展开，写出阶数、截止频率和变换步骤即可。

7. 双线性变换回数字域。

   $$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}.$$

8. 检查。 极点是否在单位圆内？通带/阻带边缘是否对应原数字频率？

⚠️ 注意：不能把 $\omega_p,\omega_s$ 直接代进模拟 Butterworth 阶数公式；双线性法必须先预畸变。

套路 2：一阶低通双线性变换

输入： 模拟一阶低通

$$H_a(s)=\frac{\Omega_c}{s+\Omega_c}.$$

输出： 数字一阶 IIR。
对应真题/复习题： 简化 IIR 设计题。

代入归一化双线性变换

$$s=\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}.$$

得到：

$$H(z)=\frac{\Omega_c(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})+\Omega_c(1+z^{-1})}.$$

整理：

$$H(z)=\frac{\Omega_c(1+z^{-1})}{(1+\Omega_c)+(\Omega_c-1)z^{-1}}.$$

归一化分母首项：

$$H(z)=\frac{\frac{\Omega_c}{1+\Omega_c}(1+z^{-1})}{1+\frac{\Omega_c-1}{1+\Omega_c}z^{-1}}.$$

也可写成：

$$H(z)=\frac{1-\alpha}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-\alpha z^{-1}},$$

其中

$$\alpha=\frac{1-\Omega_c}{1+\Omega_c}.$$

套路 3：FIR vs IIR 考场选择

输入： 2025 这类允许自选的滤波器设计题。
输出： 选择 FIR 或 IIR，并写理由。
对应真题： 2025 Q6。

选择 IIR 的理由可以写：

• IIR 通常用较低阶数满足相同幅度指标；
• Butterworth 原型通带最大平坦；
• 双线性变换保持稳定性且无频谱混叠。

但要承认代价：

• 相位通常非线性；
• 必须检查极点在单位圆内；
• 结构实现最好用二阶节或 DF-II。

如果题目要求 linear phase，优先选 FIR，见 第10章。

套路 4：判断设计方法混叠与频率扭曲

输入： impulse invariance vs bilinear transform。
输出： 优缺点对比。
对应复习题/概念题。

方法	优点	缺点	适用提醒
冲激响应不变法	时域冲激响应采样直观	频域会周期复制，可能混叠	不适合高通/带阻等非带限情况
双线性变换	稳定映射，无频谱混叠	频率非线性扭曲	必须预畸变

4. 典型题精讲

例题 1：dB 指标转换

题目： 通带最大衰减 $\alpha_p=1$ dB，阻带最小衰减 $\alpha_s=40$ dB。求 Butterworth 阶数公式中的 $\epsilon^2$ 和 $A^2$。

解答：

$$\epsilon^2=10^{\alpha_p/10}-1=10^{0.1}-1\approx0.2589.$$ $$A^2=10^{\alpha_s/10}=10^4=10000.$$

答案： $\epsilon^2\approx0.2589$，$A^2=10000$。

易错提醒： 这里因为用的是幅度平方响应，所以公式里出现 $10^{\alpha/10}$；若直接把幅度衰减换成线性幅度，则用 $20\log_{10}$。

例题 2：预畸变

题目： 采用归一化双线性变换，数字通带边缘 $\omega_p=0.4\pi$，阻带边缘 $\omega_s=0.6\pi$。求预畸变后的 $\Omega_p,\Omega_s$。

解答：

归一化预畸变：

$$\Omega=\tan(\omega/2).$$

所以

$$\Omega_p=\tan(0.2\pi),$$ $$\Omega_s=\tan(0.3\pi).$$

数值上：

$$\tan(0.2\pi)\approx0.7265,$$ $$\tan(0.3\pi)\approx1.3764.$$

答案： $\Omega_p\approx0.7265$，$\Omega_s\approx1.3764$。

易错提醒： 是 $\tan(\omega/2)$，不是 $\tan\omega$。

例题 3：Butterworth 阶数计算

题目： 已知预畸变后 $\Omega_p=1$、$\Omega_s=2$，$\alpha_p=1$ dB，$\alpha_s=30$ dB。求 Butterworth 最小阶数。

解答：

$$\epsilon^2=10^{0.1}-1\approx0.2589.$$ $$A^2=10^{30/10}=1000.$$

阶数：

$$N\ge\frac{\log_{10}[(1000-1)/0.2589]}{2\log_{10}(2/1)}.$$

先算：

$$\frac{999}{0.2589}\approx3858.$$ $$\log_{10}(3858)\approx3.586.$$ $$2\log_{10}2\approx0.602.$$

所以

$$N\ge5.96.$$

阶数必须向上取整：

$$N=6.$$

答案： 最小阶数为 6。

易错提醒： 不是四舍五入到 6 的巧合；即使算出 5.01，也要取 6。

例题 4：一阶低通双线性变换

题目： 归一化双线性变换下，模拟低通

$$H_a(s)=\frac{1}{s+1}$$

变换成数字滤波器。

解答： 代入

$$s=\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}.$$ $$H(z)=\frac{1}{\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}+1}.$$

通分：

$$H(z)=\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}+1+z^{-1}}=\frac{1+z^{-1}}{2}.$$

答案：

$$H(z)=\frac12(1+z^{-1}).$$

这是一个简单的二点平均 FIR。该例说明某些模拟一阶原型经特定归一化变换后可能得到非常简单的数字滤波器。

例题 5：方法对比

题目： 双线性变换和冲激响应不变法哪个会频谱混叠？哪个会频率扭曲？

解答： 冲激响应不变法对模拟冲激响应采样，频域会周期复制，因此模拟频谱若不带限，会发生混叠。双线性变换是一一映射，不发生频谱复制，所以无混叠；但频率关系是 $\Omega=\frac{2}{T}\tan(\omega/2)$，存在非线性频率扭曲。

答案： 冲激响应不变法会混叠；双线性变换不会混叠但会频率扭曲，需要预畸变。

5. 易错点表

❌ 错误做法	✅ 正确做法	来源
Hz 指标直接代入 IIR 公式	先转数字频率 $\omega=2\pi f/F_s$	2023 Q4
双线性设计不做预畸变	先算 $\Omega=\frac{2}{T}\tan(\omega/2)$	2023 Q4
把 $\tan(\omega/2)$ 写成 $\tan\omega$	必须先除以 2	prewarping
阶数四舍五入	阶数必须向上取整	Butterworth
幅度 dB 用 $10\log_{10}$	幅度比用 $20\log_{10}$；幅度平方公式才用 $10$	指标转换
IIR 设计后不检查稳定性	数字极点必须在单位圆内	IIR 实现
认为双线性保持相位线性	双线性不保证线性相位	FIR/IIR 选择
2025 自选题只写“选 IIR”	必须说明低阶优势、设计流程和稳定性检查	2025 Q6

6. 本章 90 分检查清单

• 能把 Hz 指标换成数字角频率。
• 能把 dB 衰减换成线性指标或 Butterworth 参数。
• 能写出双线性预畸变公式。
• 能使用 Butterworth 阶数公式，并向上取整。
• 能说明双线性变换无混叠但有频率扭曲。
• 能把简单模拟原型代入双线性变换得到 $H(z)$。
• 能说明 IIR 与 FIR 的选择依据。
• 能在自选设计题中完整写出 IIR 设计流程。

7. 自测题与答案

题目

1. IIR 相比 FIR 的常见优点和缺点是什么？
2. 数字频率 $\omega=0.5\pi$，归一化双线性预畸变后的 $\Omega$ 是多少？
3. 一般双线性变换公式是什么？
4. 双线性变换为什么要预畸变？
5. $\alpha_s=40$ dB 时，阻带线性幅度 $\delta_s$ 是多少？
6. Butterworth 阶数算得 $N\ge3.2$，实际取几阶？
7. Butterworth 幅度平方响应的形式是什么？
8. 冲激响应不变法的主要缺点是什么？
9. 如果题目要求严格线性相位，应优先选 FIR 还是 IIR？
10. IIR 设计完成后，为什么还要看极点位置？

答案

1. 优点：通常用较低阶达到较陡幅度响应，计算量低。缺点：相位通常非线性，稳定性需要检查，对量化更敏感。

$$\Omega=\tan(0.5\pi/2)=\tan(\pi/4)=1.$$

$$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}.$$

4. 因为双线性变换的频率关系是非线性的，$\Omega=\frac{2}{T}\tan(\omega/2)$。预畸变能让设计后的数字边缘频率落在目标位置。

$$\delta_s=10^{-40/20}=0.01.$$

6. 取 4 阶。

$$|H_a(j\Omega)|^2=\frac1{1+(\Omega/\Omega_c)^{2N}}.$$

8. 频域会周期复制，若模拟频谱不带限会产生混叠。

9. FIR。FIR 可通过对称系数实现精确线性相位。

10. 因为 IIR 稳定性取决于极点位置。因果 IIR 稳定要求所有极点在单位圆内。

8. 学习路线

1. 先掌握指标语言：通带、阻带、波纹、衰减。
2. 练 Hz 到数字频率，再练数字频率到预畸变模拟频率。
3. 背 Butterworth 幅度平方和阶数公式。
4. 做 2–3 个阶数向上取整题。
5. 练简单模拟原型代入双线性变换。
6. 最后把 FIR/IIR 选择表和第10章对照复习。

9. 和前后章节的关系

• 第6章 提供 $H(z)$、极点和稳定性判断。
• 第8章 提供 IIR 的 DF-II、级联和并联实现。
• 第10章 是 FIR 设计路线。若题目允许自选，先判断它更适合 IIR 还是 FIR。