第7章相位系统与线性相位 FIR

📌 考试定位：本章对应 2022 Q1、2024 Q3、复习题最小相位/均衡器/线性相位 FIR。常见考法是给零点或 FIR 系数，让你判断类型、构造同幅度最小相位系统、设计逆滤波器或均衡器。

0. 先用一句话抓住本章

本章研究的是滤波器的“相位和零点”：幅度响应一样的系统可以有不同相位；零点在单位圆内外决定最小相位、最大相位和逆系统稳定性；FIR 系数对称性决定线性相位类型。

题干出现这些关键词就翻本章：

FIR / IIR classification；
linear phase FIR、Type I / II / III / IV；
minimum phase、maximum phase、mixed phase；
allpass system、same magnitude response；
inverse filter、equalizer、stable inverse；
zeros inside / outside unit circle。

最常见错误：只看极点判断最小相位，忘记最小相位关键看零点；把线性相位四型的 $\omega=0$ 、 $\omega=\pi$ 强制零点记反；构造最小相位系统时只把单位圆外零点倒进来，却忘记补偿增益或全通因子。

1. 30 秒公式速查

编号	公式 / 结论	名称	看到什么题干就用
7.1	FIR： $h[n]$ 有限长	有限脉冲响应	判断 FIR/IIR
7.2	IIR： $h[n]$ 无限长	无限脉冲响应	反馈系统、极点非零
7.3	线性相位： $\theta(\omega)=-\alpha\omega+\beta$	linear phase	群延迟常数
7.4	群延迟： $\tau_g=\alpha$	constant group delay	波形不失真
7.5	FIR 对称： $h[n]=h[M-n]$	线性相位条件	Type I/II
7.6	FIR 反对称： $h[n]=-h[M-n]$	线性相位条件	Type III/IV
7.7	Type I：对称、奇数长度	最常用低通	FIR 设计
7.8	Type II：对称、偶数长度， $H(e^{j\pi})=0$	不能做普通高通	FIR 类型判断
7.9	Type III：反对称、奇数长度， $H(e^{j0})=H(e^{j\pi})=0$	Hilbert/微分器	类型判断
7.10	Type IV：反对称、偶数长度， $H(e^{j0})=0$	Hilbert/微分器	类型判断
7.11	最小相位：稳定因果且逆系统稳定因果	zeros inside unit circle	stable inverse
7.12	单位圆外零点 $z_0$ 映到 $1/z_0^*$	最小相位构造	same magnitude minimum phase
7.13	全通：$	A(e^{j\omega})	=1$
7.14	一阶全通： $A(z)=\frac{z^{-1}-a^*}{1-az^{-1}}$	极零倒共轭	allpass 因子

2. 5 分钟直觉

2.1 幅度和相位是两件事

滤波器的频率响应是复数：

H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}.

幅度决定哪些频率保留、哪些频率压掉；相位决定不同频率延迟多少。两个系统可以有完全相同的幅度响应，但相位不同，输出波形也可能不同。

全通系统(allpass)就是典型例子：

|A(e^{j\omega})|=1

对所有频率都成立。它不改幅度，但会改相位。

2.2 最小相位为什么看零点

稳定因果系统要求极点在单位圆内；逆系统 $1/H(z)$ 的极点来自原系统的零点。因此要让逆系统也稳定因果，原系统的零点也要在单位圆内。

所以最小相位不是“极点最小”，而是：系统和逆系统都稳定因果。对常见有理系统来说，这意味着极点和零点都在单位圆内（单位圆上的零点会让逆系统极点在单位圆上，通常不稳定）。

2.3 同幅度最小相位系统怎么构造

如果零点 $z_0$ 在单位圆外，直接保留它会让系统不是最小相位。把它换成

\frac{1}{z_0^*}

可以得到单位圆内的零点。为了保持单位圆上的幅度响应不变，需要把被换掉的部分放进一个全通因子里。实际考试常要求：

找出单位圆外零点；
倒共轭映到单位圆内；
写出最小相位系统零点；
说明剩余差异由全通因子补相位，不改幅度。

2.4 线性相位 FIR 四型不要死背，要按两个维度判断

先看系数：对称还是反对称。再看长度：奇数还是偶数。

长度	对称	反对称
奇数	Type I	Type III
偶数	Type II	Type IV

强制零点：

Type II 在 $\omega=\pi$ 为零；
Type III 在 $\omega=0$ 和 $\omega=\pi$ 都为零；
Type IV 在 $\omega=0$ 为零；
Type I 最灵活。

这张表比背一堆公式更有用。

3. 做题套路

套路 1：判断 FIR/IIR

输入： $h[n]$ 、差分方程、 $H(z)$ 或结构图。
输出： FIR / IIR。
对应真题/复习题： 分类基础题、2025 级联系统。

从三个角度判断：

看冲激响应： 有限长就是 FIR；无限长就是 IIR。
看差分方程： 若输出依赖过去输出，通常是 IIR；只依赖有限个输入，通常是 FIR。
看系统函数： 若分母不是纯常数，存在非零极点，通常是 IIR；FIR 的 $H(z)$ 是 $z^{-1}$ 多项式。

⚠️ 注意：某些 FIR 可以用递归结构实现，某些极零抵消也可能让表面 IIR 变 FIR。考试若没特殊抵消，按常规判断即可。

套路 2：判断线性相位 FIR 类型

输入： FIR 系数 $h[0],\ldots,h[M]$ 。
输出： 是否线性相位，属于 Type I–IV，适合什么滤波器。
对应真题： 2022 Q1、2024 Q3、FIR 设计题小问。

先数长度：
$N=M+1.$
比较两端系数：
- 若 $h[n]=h[M-n]$ ，对称；
- 若 $h[n]=-h[M-n]$ ，反对称；
- 若都不满足，不是这类线性相位 FIR。

查类型：

类型	条件	强制零点
Type I	对称、奇数长度	无
Type II	对称、偶数长度	$\omega=\pi$
Type III	反对称、奇数长度	$\omega=0,\pi$
Type IV	反对称、偶数长度	$\omega=0$

判断是否适合：普通低通首选 Type I；普通高通不要 Type II；反对称类型不适合普通低通。

套路 3：构造同幅度最小相位系统

输入： 一个稳定系统的零点，可能有单位圆外零点。
输出： 同幅度的最小相位系统和全通因子。
对应真题： 2024 Q3、复习题最小相位。

列出所有零点，计算模长。
单位圆内零点保留。
单位圆外零点 $z_0$ 替换为
$z_{min}=\frac{1}{z_0^*}.$
若是实系数系统，复零点要成共轭对处理。
写最小相位系统 $H_{min}(z)$ 的零点集合。
说明原系统可写为
$H(z)=H_{min}(z)A(z)\times C,$
其中 $A(z)$ 是全通， $C$ 是必要的常数增益补偿。

⚠️ 注意：若题目要求严格同幅度，常数增益不能乱丢。倒零点时幅度会差一个 $|z_0|$ 类型的常数，需要补偿。

套路 4：判断逆滤波器 / 均衡器稳定性

输入： 系统 $H(z)$ ，问逆系统 $G(z)=1/H(z)$ 是否稳定因果。
输出： 是否可实现稳定逆 / 均衡器。
对应真题： 2024 Q3、复习题 equalizer。

原系统若有零点在单位圆外，则逆系统有极点在单位圆外。
若要求因果稳定逆，逆系统极点必须在单位圆内。
因此原系统要最小相位，才有稳定因果逆。
若原系统不是最小相位，可以用最小相位部分加全通部分分解；只逆最小相位幅度，保留或补偿相位。

⚠️ 注意：单位圆上的零点会导致逆系统极点在单位圆上，通常不 BIBO 稳定。

4. 典型题精讲

例题 1：判断线性相位类型

题目： $h[n]=\{1,2,3,2,1\}$ ，判断是否线性相位，属于哪一型。

解答： 长度 $N=5$ ，奇数。最高索引 $M=4$ 。

检查对称性：

h[0]=h[4],\quad h[1]=h[3].

满足

h[n]=h[4-n].

所以它是对称、奇数长度 FIR。

答案： Type I 线性相位 FIR。

例题 2：反对称类型

题目： $h[n]=\{1,2,0,-2,-1\}$ ，判断类型。

解答： 长度 $N=5$ ，奇数， $M=4$ 。

检查：

h[0]=-h[4],\quad h[1]=-h[3],\quad h[2]=0=-h[2].

满足反对称。

答案： Type III 线性相位 FIR。它在 $\omega=0$ 和 $\omega=\pi$ 都强制为零，不适合普通低通或高通。

例题 3：最小相位判断

题目： 某稳定因果系统零点为 $0.4$ 、 $0.6e^{j\pi/3}$ 、 $0.6e^{-j\pi/3}$ 。是否最小相位？

解答： 所有零点模长分别为 $0.4,0.6,0.6$ ，都小于 1。系统已说明稳定因果，因此逆系统的极点也在单位圆内。

答案： 是最小相位系统。

例题 4：构造同幅度最小相位系统

题目： FIR 系统有零点 $z=2$ 。构造同幅度的最小相位零点，并说明全通因子。

解答： 零点 $z_0=2$ 在单位圆外。映到单位圆内：

z_{min}=\frac1{z_0^*}=\frac12.

因此最小相位系统应把零点 $2$ 替换为 $1/2$ 。

原来的零点因子可写成

1-2z^{-1}.

最小相位零点因子为

1-0.5z^{-1}.

二者在单位圆上的幅度相差一个常数因子，可由增益和全通因子补偿。对应全通结构本质上由极点 $0.5$ 和零点 $2$ 组成，只改变相位不改变幅度形状。

答案： 同幅度最小相位零点为 $0.5$ ；单位圆外零点被倒共轭进单位圆，差异由全通因子和增益补偿。

易错提醒： 若零点是复数 $re^{j\theta}$ ，倒共轭是 $(1/r)e^{j\theta}$ ，角度保持，半径取倒数。

例题 5：逆滤波器稳定性

题目： 稳定因果系统 $H(z)$ 有零点 $z=1.5$ 。它是否存在稳定因果逆系统？

解答： 逆系统

G(z)=\frac1{H(z)}

会把原系统零点变成逆系统极点。由于 $1.5$ 在单位圆外，逆系统有极点在单位圆外。若要求逆系统因果稳定，所有极点必须在单位圆内，因此不满足。

答案： 不存在稳定因果逆系统。原系统不是最小相位。

5. 易错点表

❌ 错误做法	✅ 正确做法	来源
最小相位只看极点	最小相位要看零点，逆系统极点来自原零点	2024 Q3
单位圆外零点直接删除	应倒共轭到单位圆内，并用全通/增益保持幅度	最小相位构造
Type II 用于普通高通	Type II 在 $\omega=\pi$ 为零，不适合普通高通	FIR 类型
Type III 用于普通低通	Type III 在 $\omega=0$ 为零，低通 DC 不能通过	FIR 类型
反对称中点不检查	奇数长度反对称中点必须为 0	Type III
全通理解成没有作用	全通不改幅度，但改相位	allpass
逆滤波器只写 $1/H$	还要检查逆系统是否因果稳定	equalizer

6. 本章 90 分检查清单

能从 $h[n]$ 、差分方程、 $H(z)$ 判断 FIR/IIR。
能判断 FIR 是否对称/反对称。
能按长度奇偶判断 Type I–IV。
能说出 Type II/III/IV 的强制零点。
能判断一个系统是否最小相位。
能把单位圆外零点倒共轭到单位圆内。
能解释全通因子为什么不改幅度。
能判断逆滤波器或均衡器是否稳定因果。

7. 自测题与答案

题目

FIR 和 IIR 的根本区别是什么？
$h[n]=\{1,3,3,1\}$ 属于哪种线性相位 FIR？
$h[n]=\{1,2,-2,-1\}$ 属于哪种线性相位 FIR？
Type II 在哪个频率强制为零？
Type III 在哪些频率强制为零？
稳定因果系统的零点都在单位圆内，是否最小相位？
零点 $z=3e^{j\pi/4}$ 的倒共轭位置是什么？
全通系统的幅度响应是什么？
原系统有单位圆外零点，逆系统是否可能因果稳定？
为什么线性相位 FIR 对波形保真重要？

答案

FIR 的冲激响应有限长；IIR 的冲激响应无限长。
长度 4 偶数，且对称，属于 Type II。
长度 4 偶数，且反对称，属于 Type IV。
Type II 在 $\omega=\pi$ 处强制为零。
Type III 在 $\omega=0$ 和 $\omega=\pi$ 处都强制为零。
是。稳定因果系统若零点都在单位圆内，则逆系统也稳定因果，满足最小相位定义。

z_{min}=\frac1{z_0^*}=\frac1{3e^{-j\pi/4}}=\frac13e^{j\pi/4}.

|A(e^{j\omega})|=1

对所有 $\omega$ 成立。

通常不可能。原系统单位圆外零点会变成逆系统单位圆外极点，因果逆系统不稳定。
线性相位意味着群延迟为常数，不同频率分量延迟相同，信号波形不容易因相位扭曲而失真。

8. 学习路线

先复习第6章零点、极点和单位圆。
学 FIR/IIR 分类，明确三种判断角度。
背线性相位 FIR 四型表，并重点记强制零点。
学最小相位定义：系统和逆系统都稳定因果。
练单位圆外零点倒共轭和全通分解。
最后做逆滤波器/均衡器稳定性题。

9. 和后续章节的关系

第8章会把线性相位 FIR 的对称性用于最省乘法器结构。
第10章的 FIR 窗函数法通常默认选择 Type I 线性相位结构。
第9章的 IIR 设计通常不保证线性相位，因此如果题目强调相位保真，FIR 往往更合适。

第7章 相位系统与线性相位 FIR